ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2014, № 1, с. 137-143
СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ
УДК 621.313
АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ГИБРИДНЫХ МАГНИТНЫХ ПОДШИПНИКОВ © 2014 г. В. Е. Вавилов, А. А. Герасин, Ф. Р. Исмагилов, И. Х. Хайруллин
Уфа, ФГБОУВПО Уфимский государственный авиационный технический ун-т Поступила в редакцию 03.06.13 г., после доработки 16.09.13 г.
Представлена математическая модель бесконтактных подшипников, состоящих из высококоэрцитивных постоянных магнитов и электромагнитной системы управления. С помощью данной модели доказывается устойчивость ротора на таких подшипниках методом Ляпунова.
Б01: 10.7868/80002338814010132
Введение. При проектировании систем автоматического управления (САУ) особое место отводится анализу их устойчивости, так как устойчивость является одним из важнейших показателей работоспособности САУ.
В работах отечественных и зарубежных авторов [1—3] достаточно полно изучен вопрос устойчивости систем электромагнитного подвеса ротора и разработаны математические модели, учитывающие допущения разного уровня, от простейших одномассовых моделей до моделей, учитывающих процессы в стали сердечника электромагнита.
Системы электромагнитного подвеса имеют ряд недостатков, таких как сравнительно большие массогабаритные показатели (масса радиального электромагнитного подшипника с тяговым усилием 120 Н составляет 0.65 кг без учета массы блока управления [1]), сложность системы управления (системы полного электромагнитного подвеса имеют минимум 10 каналов управления, из которых 8 приходится на радиальные электромагнитные подшипники и 2 — на осевые), а также энергетические потери, которые для ротора массой 12 кг составляют 103 Вт. Для решения указанных недостатков авторами была предложена оригинальная конструкция магнитного подвеса, определяемая как гибридный магнитный подшипник (ГМП) [4, 5].
В предложенной конструкции радиальная жесткость обеспечивается коаксиально расположенными одноименными полюсами кольцевых высококоэрцитивных постоянных магнитов, а осевая — управляемым электромагнитным подшипником. Тем самым снижаются массогабаритные показатели системы, масса постоянных магнитов с силами отталкивания 120 Н составляет 0.15—0.2 кг в зависимости от марки магнита, снижается количество каналов системы управления (в предлагаемой конструкции максимальное число каналов составляет два, которые приходятся на осевые электромагнитные подшипники). Для предложенной конструкции необходимо разработать математическую модель для оценки и обеспечения устойчивости.
1. Объект исследования. Объектом исследования в данной работе является ГМП (рис. 1), причем сверху изображено равновесное состояние ротора на ГМП, где Б1, Б2 — диаметр неподвижного и подвижного магнита соответственно; I — активная длина постоянных магнитов; d — толщина постоянного магнита; 5 г — радиальный воздушный зазор; 5 г — осевой воздушный зазор, а снизу при наличии осевого смещения ротора, где — осевые силы отталкивания соответ-
ственно в первом и втором ГМП; — силы соответственно в первом и втором электромагните, г — осевое смещение.
Для упрощения математического анализа к объекту исследования применяются следующие допущения:
радиальная жесткость ротора на ГМП полностью обеспечивается постоянными магнитами, радиальные смещения отсутствуют;
постоянные магниты рассматриваются как два коаксиально расположенных соленоида, при этом магнитный момент соленоида равен магнитному моменту постоянных магнитов;
применяются постоянные магниты одной марки, одинаковой толщины и длины;
угловые перемещения ротора не учитываются;
Рис. 1. Гибридный магнитный подшипник
температурные условия окружающей среды, а также в обмотках электромагнита на протяжении всего рабочего процесса постоянны, что позволяет принимать сопротивление обмоток электромагнита постоянным;
изменение индуктивности от тока в обмотках не учитывается.
2. Математическое описание объекта. Так как постоянные магниты рассматриваются как два коаксиально расположенных соленоида, необходимо рассмотреть картину их магнитного поля. Напряженности магнитного поля в центре соленоида, эквивалентного внешнему и внутреннему постоянному магниту соответственно, определяются в виде [6]
Н - т Н - 7
1
1 +
(Д + 0.5ф \
I
н2 = ^
2 I
1
1 +
(Д - 0.5^\
I
где Н1, Н2 — напряженность магнитного поля в первом и втором соленоиде соответственно; / — сила тока в обмотках эквивалентного соленоида; w — число витков эквивалентного соленоида.
Применяя принцип наложения полей и условия эквивалентности постоянного магнита и соленоида / = I (/ — намагниченность постоянных магнитов), а также учитывая смещения вдоль оси г, определим магнитную индукцию в центре радиального воздушного зазора двух коаксиально расположенных постоянных магнитов:
Б = -Д5,
Ио
(2.1)
где Бъ — индукция в воздушном зазоре ГМП; ц 0 = 4п10 — магнитная проницаемость вакуума, а также обозначено
Д =
1
1
1 +
(Д - 0.50
I - г ) V V I + г
Осевая составляющая силы отталкивания постоянных магнитов определяется согласно упрощенной формуле Максвелла [7]
^ =
б21 .
М- 0
Осевая составляющая силы отталкивания, Н
50 г
- расчетные данные
---экспериментальные данные [8]
40
30
20
10
0.2 0.3
Осевое смещение, мм
Рис. 2. Зависимость осевой составляющей силы отталкивания от осевого смещения
0
С учетом (2.1) и принимая площадь взаимодействия 5 = п Б1, а / = Д/и0, осевую составляющую силы отталкивания постоянных магнитов определим в виде
^ = Д2^^, (2.2)
М- 0
где Вг — остаточная индукция постоянных магнитов; Б = (+ Б2)/2 — средний диаметр по воздушному зазору.
Применение выражения (2.2) для расчета осевой составляющей силы отталкивания постоянных магнитов в ГМП приведет к значительной погрешности, но для анализа устойчивости точность расчета силы отталкивания является не определяющим фактором, а анализ зависимости, построенной по выражению (2.2) (рис. 2), показал полную качественную сходимость с экспериментальными данными, полученными авторами [8].
Определим область использования выражения (2.2). Для этого необходимо решить следующие неравенства:
(Б1 + 0.5й)2 > (Б2 - 0.5й)2, (2.3)
(( + г)2 > (( -г)2. (2.4)
Неравенство (2.3) показывает, что внешний диаметр кольцевого магнита ГМП всегда больше внутреннего диаметра. Тогда область использования выражения (2.2) с учетом того, что 8г = Б2 - , имеет вид й >5г, г > 0.
Таким образом, выражение (2.2) справедливо тогда, когда толщина постоянного магнита больше радиального воздушного зазора ГМП и осевое смещение больше либо равно нулю.
Силы притяжения в первом и втором электромагнитных осевых подшипниках описываются соответственно выражениями [9]
Рг _
_ А8г (
2 15г - г
д = ^
8 г + г у
(2.5)
где Ь0 — индуктивность обмотки электромагнита; 12 — токи соответственно в первом и втором электромагните. Область использования выражений (2.5) определяется неравенством 8г > г.
При отсутствии смещения система находится в равновесном состоянии, и поскульку параметры электромагнитов полностью одинаковы, в равновесном состоянии по их катушкам протекает одинаковый ток 10. Тогда при появлении смещения ротора в направлении оси г силы в электромагнитных осевых подшипниках
р = Мг | 1 о -1
1 2 15, - г.
Р _
_ I 1о + I
2 18 г + г.
где I — изменение тока в системе управления.
Уравнение движения ротора на ГМП вдоль оси г с учетом постоянной времени измерения датчиков положения у, у (йг/йг) = 5г - г, имеет вид
т (у 4 + 41 = - ^
I йг3 йг2) 2
I о -1
8г - г.
I о +1
8 г + г,
^ (Я2 + Р),
И о
(2.6)
где т — масса ротора, а также 1
=■
1
1 + ((Р + 0.5й)
I + г
1 +
(А - о.5й) I - г
Совместно с выражением (2.6) необходимо учитывать инерционность обмотки электромагнита, что можно сделать, решая совместно с выражением (2.6) следующее выражение:
1 = £ (ип- - * %),
(2.7)
где ипри — приращение напряжения в обмотках электромагнита; — сопротивление обмоток электромагнита.
3. Анализ устойчивости гибридного магнитного подшипника. Для анализа устойчивости ГМП внесем в выражение (2.6) выражение (2.7), что приведет к исходной функции для анализа. Производится интегрирование исходной функции по времени
т [у ^ + ^ Г й г йг
|Ойг.
(3.1)
Здесь использованы следующие обозначения:
е =
р1х =
[Р1Х
Р
2 х\
10 - £Гпри -10 йг 8 7 - г
М- о
р2х =
I о +
й1
£(ипри ~ * йг 8 7 + г
Закон управления положением ротора на ГМП принимается в следующем виде: хйг
I = аг + в
йг
(3.2)
где а — коэффициент управления по перемещению; в — коэффициент демпфирования колебаний в системе.
Умножим левую и правую части уравнения (3.1) на выражение (3.2) и перенесем два из четырех слагаемых из левой части произведения направо:
т^(аг + ур4 | = (аг + вйг) \Ойг - т йг V йг2) йг *
й г V й г
2\
(3.3)
Рис. 3. Имитационная компьютерная модель ГМП
Используя известное преобразование подобных выражений для систем электромагнитного подвеса [10], (3.3) можно представить в виде
d dt
Yp(f) +1 a(z)2 + ayzdZ = (ya-P) [dA + ~(jz • (3.4)
\dtJ 2 dt \dtJ m dt J
Производится анализ правой части выражения при различных значениях коэффициентов управления р, ay. Произведение ay рассматривается в данном случае в связи с тем, что коэффициент управления a пропорционально зависит от постоянной времени датчика перемещения. Подынтегральная функция — отрицательно определенная функция. При этом она сохраняет свою отрицательность при условии р > ay. В левой части дифференцируемое выражение является функцией Ляпунова. При этом правая часть — ее производная. Как было доказано в работе [10], дифференцируемое выражение есть определенно-положительная функция при условии р > ay. Тогда очевидно, что левая часть — определенно-положительная функция, а правая — ее производная с противоположным знаком, что согласно теореме Ляпунова, говорит об устойчивости системы ГМП, при этом область устойчивости ГМП определяется при р > ay.
4. Верификация теоретических результатов. Для проверки теоретических выводов авторами была разработана имитационная модель в программном комплексе Matlab Simulink, реализующая выражение (2.6) с учетом
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.