КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2015, том 53, № 5, с. 414-420
УДК 519.688+531.36
АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ РАВНОВЕСИЙ ВЫТЯНУТОГО ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ГИРОСТАТА СРЕДСТВАМИ СИМВОЛЬНО-ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
© 2015 г. А. В. Банщиков, С. В. Чайкин
Институт динамики систем и теории управления СО РАН, г. Иркутск bav@icc.ru, schaik@yandex.ru Поступила в редакцию 29.08.2013 г.
Используя идеи Ляпунова в исследовании устойчивости движения по уравнениям первого приближения, в пространстве введенных параметров выделены области, в которых обеспечивается устойчивость, неустойчивость или гироскопическая стабилизация относительных равновесий указанного в заголовке орбитального гиростата с постоянным вектором гиростатического момента. В частности, сформулирован результат о неустойчивости и невозможности гироскопической стабилизации одного класса (из двух имеющихся) равновесий системы. Исследования выполнены с помощью программного комплекса LinModel и функций символьно-численного моделирования пакета компьютерной алгебры Ма^етаНса.
Б01: 10.7868/80023420615050027
ВВЕДЕНИЕ
Рассматриваемое здесь твердое тело с зафиксированной в нем осью вращающегося с постоянной относительной угловой скоростью маховика, уравновешенного статически и динамически, является стационарным гиростатом. Система движется по кеплеровой круговой орбите в центральном ньютоновском поле сил вокруг притягивающего центра, при этом пренебрегаем взаимным влиянием движения гиростата относительно его центра масс и перемещением последнего с постоянной орбитальной угловой скоростью ю по упомянутой выше траектории — так называемая ограниченная постановка задачи. Данная работа продолжает исследования устойчивости относительных равновесий по уравнениям первого приближения, выполненные ранее для сплюснутого осесимметричного гиростата [1]. При этом ряд результатов имеют принципиальные различия с аналогичными из [1]. Например, все относительные равновесия третьего класса (классификация дана ниже) для вытянутого гиростата являются неустойчивыми и не могут быть гироскопически стабилизируемы, а среди относительных равновесий третьего класса для сплюснутого гиростата из [1] имеются как устойчивые, неустойчивые, так и гироскопически стабилизируемые.
Получение необходимых условий устойчивости относительных равновесий орбитального гиростата с произвольным эллипсоидом инерции по линейному приближению ранее выполнялось при условии, что ось вращения уравновешенного ма-
ховика параллельна какой-либо оси главного центрального эллипсоида инерции системы (см., например, [2, 3]). Достаточные условия устойчивости относительных равновесий орбитального гиростата для различных вариантов расположения оси вращения маховика в его корпусе рассматривались многими авторами. Так в работах [4, 5] изучаются области в пространстве параметров, в которых имеется различное число относительных равновесий системы, и приводятся достаточные условия их устойчивости. Изучение устойчивости равновесий по линейному приближению, представленное здесь, дополняет эти исследования. Библиография близких результатов, кроме известных обзоров (например, В.А. Сарычева, В.М. Морозова, В.Н. Рубановского, А.В. Докучаева), имеется также в [6]. В отличие от относительных равновесий в [7] изучаются периодические движения осесим-метричного спутника-гиростата с гиростатиче-ским моментом вдоль оси симметрии.
1. ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ РАВНОВЕСИЯ
Для описания движения системы вводятся две правые прямоугольные декартовы системы координат с полюсами в центре масс O системы. Oyk — орбитальная система координат (ОСК) (a k — орт соответствующей оси), ось Oy3 которой направлена по радиусу-вектору, проведенному из притягивающего центра в центр масс гиростата; ось Oy2 перпендикулярна плоскости орбиты, при этом
ю = юя 2, где ю = |. Жестко связанная с корпусом гиростата (твердым телом) система координат Oxk (ik — орт оси Oxk) имеет оси, направленные по главным центральным осям инерции гиростата. В этих осях матрица компонентов тензора инерции I диагональная [I ] = diag( A, B, C), при этом оси всегда возможно выбрать так, что h1 = 0, hj > 0
(j = 2, 3), где hk — компоненты вектора гиростати-ческого момента системы, деленные на ю, и B = A > C (равенство B = A отражает то, что эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения и что Ox3 является осью симметрии, вдоль которой эллипсоид инерции гиростата вытянут).
Отметим, что в [1] рассматривался случай B > A = C, h3 = 0, hl > 0, h2 > 0 и эллипсоид инерции гиростата сплюснут вдоль оси симметрии.
Для определения взаимного расположения осей Oyk и Oxk используются направляющие косинусы akj = я k • i j, определяемые самолетными углами а, в, у (см., например, [8]). Так, компоненты вектора я 2 в осях Oxk есть соответственно a21 = sin р, a22 = cos в cos у, a23 = - cos в sin у. Ниже посредством направляющих косинусов a2k определяются любые другие a1J и a3 j. Если в уравнениях движения гиростата приравнять нулю производные по времени всех входящих в них величин, то получим хорошо известные уравнения, определяющие относительные равновесия (состояния покоя корпуса гиростата относительно ОСК) [2, 8, 9]:
a23, Ps 1.0
^ Pc
Рис. 1. Графическое представление решений системы (3) или (4).
тогда и только тогда, когда {И|| 1а2, 1а2||а2} « ^ {Зк е (1, 2, 3) И||Охк, а2||И}. В этом случае из первого уравнения системы (1) получаем, что а1 и а 3 будут параллельны, соответственно, другим координатным осям Ох;-(/ Ф к). В рассматриваемом случае такое невозможно (Н1 = 0, Н^ > 0). Если один из векторов, например, а1 = (1а2 + И) х х а2 Ф 0, а а2 х (1а2 + Ь/4) = 0, то достраиваем но-
{я11я3 = 0, я11 я2 =-a1h, я31я2 =-я^/4}. (1) вый вектор я3 = я1 хя2 (очевидно, я1 =
Используя соотношения а1 = а2 х а3, а3 = а1 х а2, запишем систему эквивалентных им уравнений в следующем виде [10]:
3 - ^ ((1я2 + h) Х я2)я3 - 0,
(я2 Х (1я2 + h/4)>1 - 0} о [я2 - 1, ((1я2 + h) Х я2)(я2 Х (1я2 + h/4)) - 0, 1((1я2 + h) Х я2)1(я2 Х (1я2 + h¡4)) - 0.
(2)
Замечание 1. Векторные произведения соответствующих векторов, стоящие в скобках, могут одновременно обратиться в ноль, очевидно,
а 3 = а3/|а3|) и проверяем выполнение уравнения а11а3 = 0. В случае, если оно выполнено, заключаем о наличии относительных равновесий гиростата, определяемых ортами {± а^а^, а2, ± а3/ |а3|}. Орт а2, который можно определить, например, двумя углами, находится из системы уравнений (2), приобретающей следующий вид:
{а 2 = 1, а 2 х (1а2 + Ь/ 4) = 0}. Эти уравнения определяют также зависимость между Нк.
С учетом условий В = А > С и Н1 = 0 после простых преобразований уравнения (2) запишем в эквивалентной форме
a21 = 0, a¿ + a^3 = 1,
< Ta22h3 - a23h2 - 4(B - C)a23a11 = 0, я1 = ±(1я2 + h) x я2, я3 = я1 x , ^¿3 - a23h2 - (B - €^^^23 = 0, я3 = ±я2 x (1я2 + V4 ), я1 = я2 X я^|а3
Первое уравнение в (3) (или, соответственно, в (4)) задает гиперболу (см. рис. 1) с горизонтальной асимптотой а23 = Н3/(4(В - С)) (соответ-
(3)
(4)
ственно a23 = h3/(B - C)) и вертикальной асимптотой a22 = -h2/(4(B - C)) (соответственно a22 = = -h2/(B - C)).
Замечание 2. Пересечение этой гиперболы с единичной окружностью всегда будет в точках 1 и 2, определяемых значениями (а22)1 и (а22)2 на рис. 1, так как правая ветвь гиперболы проходит через точку (0, 0) — центр окружности. При определенных параметрах системы (например, при
2 2
достаточно малом к = Н2 + Н3) пересечение возможно также в точках 3 и 4, определяемых, соответственно, значениями (а22)3 и (а22)4 или точки 3 и 4 могут совпадать или даже отсутствовать (см. [4, 5, 10]).
Очевидно, каждая точка пересечения гиперболы (3) (или (4)) с окружностью а22 + а23 = 1 определяет тройку координат (а2), I = 1,4 в Охк вектора ф2);:
(a2)i = (0, (a22)b Vi - (^22)1), («2)2 = (0, («22)2, - V 1 - (^22)2),
(«2)3 = (0, (042)3, - (fl22)2), (^2)4 = (0, («42)4, (04)T)
Замечание 3. В соответствии с замечанием 1 и формулами для определения а3 и a1 в (4) (или a1 и a 3 в (3)) по каждому (а 2) вычисляются две двойки единичных векторов {±ф 1)1, ±ф 3)} и уже вместе с
каждым вектором (a 2) полностью определяются два относительных равновесия системы.
В соответствии с используемыми здесь для определения взаимного расположения осей Оук и Охк самолетными углами и принятой классификацией относительных равновесий гиростата (см., например, [8, 9]), уравнения (3) определяют относительные равновесия (а = 0, р = 0, у = 0) "второго класса":
(5)
а = а0 = пп (п = 0, 1); в = в 0 = 0;
Y = у 0: cos у 0(4(B — С) sin у 0 + h3) + h2 sin y 0 = 0,
а уравнения (4) определяют относительные рав новесия "третьего класса":
а = а 0 = п/2 + пп; в = в 0 = 0;
Равновесия второго класса характеризуются тем, что ось Ox1, которой перпендикулярен гиро-статический момент системы, направлена (в ту или другую сторону) по касательной a1 к орбите в центре масс гиростата, а две другие оси Ox 2 и Ox3 не совпадают ни с одним из ортов ±a 2. В равновесиях третьего класса ось Ox1 связанной системы координат направлена либо по a3, либо по -a3; две другие оси не совпадают ни с одним из ортов ±a 2.
2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ РАВНОВЕСИЙ ВТОРОГО КЛАССА
2.1. Построение модели и параметризация задачи. Линеаризованные в окрестности (5) уравнения движения гиростата около центра масс имеют вид:
Mq + Gq + Kq = 0, (7)
где q = (а, р, y) — вектор отклонений от невозмущенного движения (производные берутся по безразмерному времени т = ю t); M > 0 — положи -тельно-определенная матрица кинетической энергии; G — кососимметричная матрица гироскопических сил; K — симметричная матрица потенциальных сил.
Построение модели, а именно нелинейных уравнений движения гиростата в форме Лагран-жа 2 рода, их линеаризация в окрестности решения (5) (т.е. получение в аналитическом виде матриц M, G, K) проведено с помощью программного комплекса LinModel [11], описание которого приведено в [12].
Введем безразмерные параметры:
H2 = h2/B; H3 = h3/B; J = C/B;
Pc = «22 = cos Y0; ps = «23 =- sin J0, при этом очевидно
-1 < pc < 1; H3 > 0; H2 > 0; 0 < J < 1;
(9)
(8)
Pc * 0; ps = ±41 - pc2).
Y = у0: cos y0((B - C)sin
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.