Автоматика и телемеханика, № 5, 2011
Линейные системы
© 2011 г. Ю.П. НИКОЛАЕВ, д-р физ.-мат. наук (Московский институт электромеханики и автоматики)
АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ СПЕЦИАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ, ПОСТРОЕННЫХ ИЗ КЛАССИЧЕСКИХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ, С УЧЕТОМ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Рассматриваются полиномы Чебышева, Эрмита, Лежандра, Гегенбауэра. Из ортогональных полиномов по предлагаемому алгоритму формируются специальные полиномы комплексной переменной. Доказывается устойчивость синтезированных полиномов при номинальных значениях их коэффициентов. Выводятся простые необходимые условия робастной устойчивости полиномов общего вида. С их помощью анализируется влияние параметрической неопределенности на устойчивость специальных полиномов.
1. Введение
Классические ортогональные полиномы [1-6] широко применяются в вычислительной математике, в математической физике, в теоретической физике, в квантовой механике, математической статистике, в цифровой обработке сигналов, электротехнике и в других научных дисциплинах. Значительный интерес к этому классу полиномов во многом обусловлен их уникальными экстремальными и аппроксимативными свойствами. Существенными для прикладных задач теории управления являются также фундаментальные свойства нулей ортогональных полиномов.
На базе классических ортогональных полиномов возможно и формирование специальных полиномов, предназначенных для решения новых задач, в частности новых задач теории устойчивости динамических систем. Так, например, в [7] специальные полиномы, сконструированные с применением полиномов Чебышёва первого рода, позволили получить интересные результаты по геометрии многомерных областей устойчивости. В то же время следует отметить, что данная тематика еще недостаточно разработана.
В статье делается попытка анализа устойчивости множества специальных полиномов, построенных по предлагаемому в работе алгоритму из классических орто-тональных полиномов. Исследование устойчивости проводится как при номинальных значениях коэффициентов полиномов (доказывается устойчивость полиномов), так и при произвольной неопределенности коэффициентов (находятся необходимые условия устойчивости и анализируется их выполнение).
2. Постановка задач
Рассматриваются следующие классы (последовательности) ортогональных полиномов: полиномы Чебышёва первого рода Т„(х); полиномы Чебышёва второго рода U„(x); полиномы Эрмита, широко применяющиеся в физике (physicist' Hermite polynomials), они обозначаются как Hphys(x); полиномы Эрмита, использующиеся
в теории вероятностей (probabilists' Hermite polynomials) Hnrob(x); полиномы Ле-жандра Pn(x); полиномы Гегенбауэра (ультрасферические полиномы) C^(x). Здесь и далее x е М.
Примечание. Полиномы Лагерра не вошли в этот перечень - см. раздел 3. Ставятся следующие задачи:
• разработать алгоритм синтеза специальных вещественных полиномов Pn(s), s е С произвольной степени п из ортогональных полиномов конкретного класса;
• доказать устойчивость сформированного множества специальных полиномов при номинальных значениях их коэффициентов;
• выбрать пучок тестовых прямых с центром в номинальной точке пространства коэффициентов и разработать с его использованием метод оценки необходимого коэффициентного запаса устойчивости (робастной устойчивости) полиномов и модификацию метода для специальных полиномов.
Множество используемых в работе классических ортогональных полиномов будем в дальнейшем обозначать через ЛП :
(1) ЛПЕ) = Tn(x) и Un(x) и Hnhys(x) и Hnrob(x) и Pn(x) и C*(x),
а для множества специальных полиномов будет применяться символ вПЕ):
(2) вПЕ) = ^n(Tn) и Bn(Un) и Bn(Htys) и Вп(ЩгоЬ) и Bn(Pn) и BnC).
3. Построение специальных полиномов
Ставится задача синтеза специального вещественного полинома
(3) Pn(s) = OnSn + an-isn-1 + ... + aq sq + ... + a0,
где s - комплексная переменная, из пары классических ортогональных полиномов
к
(4) рк (x)=Y^ 4к)xi, x е М, к = п - 1 ,п,
i= 0
принадлежащих одному и тому же классу ортогональных полиномов, например классу полиномов Эрмита.
Предварительно уточним исходные данные. Для синтеза будут использоваться только те последовательности (классы) ортогональных полиномов из множества ЛП , все полиномы которых можно представить в виде:
(к+1)/2
(5) рк(x) = ± ^ (-l)rb^x2r-1 для нечетных к,
r = 1 к/2
(6) рк(x) = (-l)rbrк)x2r для четных к, к > 0; все br > 0.
r=0
Подчеркнем, что в соответствии с условиями (5), (6) один полином из пары соседних ортогональных полиномов (4), выбранных для синтеза, обязательно является нечетным, другой - четным.
Формулы (5), (6) можно интерпретировать, как требование одинаковой четности степени ортогонального полинома, степеней всех его мономов и, соответственно, индексов его коэффициентов, а также положительности всех его коэффициентов br.
Утверждение 1. Условиям формул (5), (6) удовлетворяют полиномы всех последовательностей классических ортогональных полиномов за исключением полиномов Лагерра Ь„(х).
Доказательство утверждения выходит за рамки статьи.
Для решения поставленной задачи предлагается следующий алгоритм.
Алгоритм синтеза специального полинома Рп(з)
1. Выберем пару соседних ортогональных полиномов _р„_!(ж), р„(х) заданного класса.
2. Уточним знак каждого из двух выбранных ортогональных полиномов:
р„-1(ж) := ^п¿1)рп_1(ж), р„(х) := ^п¿о)р„(х) при п = 2т; £>„-1(х) := ^п¿о)р„-1(х), р„(х) := ^п¿1)р„(х) при п = 2т + 1.
Здесь т = 0,1,...; ¿о, ¿1 - см. (4).
3. Учтем, что для действительной и мнимой части синтезируемого полинома выполняются соотношения:
Ие Рп(^ж) = ао — а2Ж2 + а4х4 — .. ., 1тРп(^'ж) = а1х — азх3 + а5х5 — ...,
где з =
4. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной х в уравнениях
• Рп-1(х) = 1т Р„(», р„(х) = Ие Р„(^'х) - для п = 2т,
• Рп-1(х) = ИеР„(», р„(х) = 1тР„(^'х) - для п = 2т + 1,
найдем вектор коэффициентов полинома Р„(в):
а = [а„, а„-1,.. ., ао] = [Ь„, Ь„-1,.. ., Ьо].
Пример. Пусть требуется сформировать специальный полином Р„(в), п =6, из ортогональных полиномов Чебышева второго рода ^„(х).
Для этого в соответствии с предложенным алгоритмом выберем пару ^б(х) = = ¿5х5 + ¿зх3 + ¿1х = 32х5 — 32х3 + 6х, ^е(х) = ¿6х6 + ¿4х4 + ¿2х2 + ¿о = 64х6 — — 80х4 + 24х2 — 1, принадлежащую ^„(х).
Скорректируем знак выбранных для синтеза ортогональных полиномов Ь^(х), ^в(х) с учетом знаков их младших коэффициентов ¿1 =6, ¿о = —1 и перейдем к обозначениям (5), (6) для указанных полиномов:
Р5(х) = ^п ад(х) = ^5(х) = 32х5 — 32х3 + 6х,
р6(х) = ^п ¿о)^6(х) = —^6(х) = —64х6 + 80х4 — 24х2 + 1.
Учтем, что для синтезируемого полинома 1тР6(^'х) = а5х5 — азх3 + а1х, ИеР6(^'х) = = —а6х6 + а4х4 — а2х2 + ао.
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях переменной х в уравнениях Р5(х) = 1тР6(», Р6(х) = ИеР6(^'х). Найдем: а5 = 32, аз = 32, а1 =6; а6 = 64, а4 = 80, а2 = 24, ао = 1.
Итак, вектор коэффициентов синтезируемого полинома Р6(в):
а = [64, 32, 80, 32, 24, 6, 1].
Отметим, что действительная (мнимая) часть синтезированного полинома Pe(s) при мнимом значении аргумента s = jx равна с точностью до знака соответствующему ортогональному полиному Чебышева второго рода: RePg(jx) = — Ue(x), Im Pe(jx) = U5(x).
Примечание. В дальнейшем коэффициентами ортогональных полиномов будем называть для удобства изложения модули их коэффициентов di в формуле (4), т.е. параметры br в (5), (6).
4. Анализ устойчивости специальных полиномов при номинальных значениях коэффициентов
Остановимся на исследовании устойчивости специальных полиномов (3) произвольного порядка при номинальных значениях их коэффициентов. Как показано выше, эти номинальные значения равны значениям соответствующих коэффициентов анализируемых семейств ортогональных полиномов, принадлежащих множеству ЛП .
Теорема 1. Все специальные полиномы Pn(s) е Bn при номинальных значениях их коэффициентов устойчивы.
Доказательство этого и других утверждений приводится в Приложении.
5. Необходимые условия устойчивости полиномов. Показатели устойчивости
Рассматривается полином Pn(s) = ^П=о aqsq, п > 3, с вещественными положительными коэффициентами.
Введем систему показателей устойчивости или систему параметров [8]:
(7) = <z = 0,l,...,n-3.
aq+1aq+2
Теорема 2 [8,9]. Необходимым условием устойчивости полинома Pn(s) является выполнение неравенств
(8) Mq < 1, Ч = 0,1,...,п — 3.
Коротко остановимся на «физической» интерпретации показателей устойчивости Mq. Сформируем из исходного полинома Pn(s) семейство парциальных (partial) полиномов третьего порядка:
(9) p3q)(s) = aq+3S3 + aq+2S2 + aq+1s + aq, q = 0, 1,...,п — 3.
Количество таких парциальных полиномов равно п — 2. Для устойчивости каждого парциального полинома p^q)(s) требуется выполнение неравенств
(10) ai > 0, V г = q, ...,q + 3,
/щ . aq+1
(И) aq<aq+2-.
aq+з
В правой части неравенства (11) - граничное значение коэффициента aq полинома p3q)(s). Если коэффициент aq равен своему граничному значению, то:
P^\s) = aq+з + +
V aq+3 J \ aq+3/
Т.е. полином имеет в этом случае пару сопряженных чисто мнимых корней
в 12 = ±з и потому находится на границе устойчивости. Из изложенного
следует
Утверждение 2. Показатель устойчивости определяемый соотношением (7), равен коэффициенту ад анализируемого полинома Рп(«), деленному на граничное значение того же коэффициента для вспомогательного полинома третьего порядка
Другая редакция неравенств (8):
(19) < < < "'З-1 < аЧ < а'9+1 < < а"~2
а2 аз ад+1 ад+2 ад+з а„
6. Показатели устойчивости специальных полиномов и их анализ
Перейдем к специальным полиномам. Вначале определим показатели устойчивого)
сти для всех Р„(в) € В„ .
Используем следующие аналитические формулы для коэффициентов классических ортогональных полиномов, полученные на основании данных работ [1—6]:
п + д- 2\( (п + д\}
Т 2"-1 V 2 )■ „ 2« V 2
О Т. = п----^-, , 0
9 д\ (п~д\ ' 9 д\ Гп-д\,
2 \ 2
9 д\ (п-д V' 9 <?! / п-
22
ЪР=2~П (п + ЯУ- ЪС = (Л)(п+9)/2
я- ,
2 ) \ 2 ) \ 2
Примечание. Здесь (А)(„+д)/2 - символ Похгаммера (РосНдашшег Ь.).
Отметим, что при выводе формулы для коэффициентов в (13) использо-
валась изве
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.