научная статья по теме АНАЛОГ КРИТИЧЕСКОГО СЛУЧАЯ А.М. МОЛЧАНОВА ДЛЯ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ Автоматика. Вычислительная техника

Текст научной статьи на тему «АНАЛОГ КРИТИЧЕСКОГО СЛУЧАЯ А.М. МОЛЧАНОВА ДЛЯ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ»

Автоматика и телемеханика, № 6, 2015

Линейные системы

© 2015 г. А.И. ДВИРНЫЙ, канд. физ.-мат. наук (dvirny@mail.ru) (UiT Арктический университет Норвегии, Тромсе, Норвегия), В.И. СЛЫНЬКО, д-р физ.-мат. наук (vitstab@ukr.net) (Институт механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины, Киев)

АНАЛОГ КРИТИЧЕСКОГО СЛУЧАЯ А.М. МОЛЧАНОВА ДЛЯ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ1

Исследован аналог критического случая А.М. Молчанова для систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием. Используя метод сравнения Матросова - Васильева, получены достаточные условия устойчивости по Ляпунову. Приведен пример, иллюстрирующий полученные результаты.

1. Введение

Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием применяются для описания различных реальных систем, включая управляемые системы, в которых вектор состояния может претерпевать мгновенные изменения в некоторые моменты времени. Примерами таких систем являются некоторые модели химической кинетики [1], шагающие и прыгающие аппараты [2], модели механических систем при действии ударных сил. Исследование динамики этих систем приводит к необходимости развития теории устойчивости решений систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием (импульсных систем) в критических случаях. Для обыкновенных дифференциальных уравнений исследование устойчивости критических положений равновесия начинается с работ А.М. Ляпунова [3]. Современная точка зрения на проблему устойчивости критических положений равновесия и достаточно полный обзор результатов в этом направлении изложены в [4]. Исследование критических положений равновесия можно разделить на три этапа: приведение системы дифференциальных уравнений возмущенного движения к нормальной форме, обоснование принципа сведения, на основе которого исследование устойчивости исходной системы сводится к исследованию некоторой модельной системы (сужения исходной системы на центральное многообразие), и, наконец, исследование устойчивости критического состояния равновесия модельной системы. Исследование модельной системы требует привлечения специальных методов, например прямого метода Ляпунова, методов теории симметрии или метода сравнения. Чаще всего используется прямой метод Ляпунова со специально сконструированной функцией. Важный класс модельных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, для которых известны алгебраические условия асимптотической устойчивости критических положений равновесия, представляет собой автономные системы

1 Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Верховной Рады Украины.

обыкновенных дифференциальных уравнений, правая часть которых удовлетворяет условию Важевского. Эти результаты получены в [5] и существенно развиты и обобщены в [6] для различных классов монотонных динамических систем. Более общие результаты, касающиеся проблемы устойчивости решений нелинейных неавтономных систем дифференциальных уравнений, монотонных относительно произвольного телесного конуса, получены в [7, 8] на основе метода сравнения (обобщенно — метода редукции) Матросова - Васильева [9-11]. В [12] этот метод получил дальнейшее развитие. Результаты эффективны не только для автономных систем, но могут быть применены и к исследованию устойчивости решений неавтономных систем.

Проблема устойчивости критических положений равновесия для систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием [13] является недостаточно изученной [14-16]. Обобщению прямого метода Ляпунова и его обращению для систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием посвящены многие работы [17-20]. В частности, в [17] впервые был применен метод векторных функций Ляпунова для анализа критических случаев и рассматривался особенный в смысле А.М. Ляпунова случай, для которого характерна неасимптотическая устойчивость. В [20] методом векторных функций Ляпунова изучался общий в смысле А.М. Ляпунова случай нулевых корней, для которого характерна асимптотическая устойчивость.

В настоящей статье рассматривается задача об устойчивости критического состояния равновесия одного класса импульсных систем. Рассматриваемый класс систем представляет аналог одного из классических критических случаев для систем обыкновенных дифференциальных уравнений — случая n-пар чисто мнимых корней линейного приближения при отсутствии нетождественных резонансов [4]. Этот случай с исчерпывающей полнотой исследован А.М. Молчановым в [4, 21]. В этом случае проблема устойчивости критического положения равновесия является алгебраически разрешимой [22].

2. Постановка задачи

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с импульсным воздействием четного порядка:

(1) "¡77 ■!,./(,;, 1фтк,

x(t + 0) = Bx(t)+ g(x(t)), t = тк,

где x € R2r, A, B - действительные постоянные (2r x 2г)-матрицы, f (0) = 0, g(0) = 0, {тк- последовательность моментов импульсного воздействия, имеющая единственную точку сгущения на бесконечности. Предположим, что матрица А имеет г пар чисто мнимых собственных значений ±iu)s, ojs € М, ojs ф 0, s = 1, г, а матрица В имеет г пар собственных значений e±t/3s, Ps^'IttZ, s = l,r, лежащих на единичной окружности комплексной плоскости C.

Пусть AB = BA и функции f (z) и g(z) представляют собой голоморфные функции в некоторой достаточно малой окрестности точки z = 0, разложения

в ряды Тейлора которых не содержат линейных членов. Тогда система (1) может быть приведена к виду [4]:

, 3

^ = £ /й^т+оаи3), ^Фти,

(2) Н+31М|=2

ws(t + 0) = eies Ws(t)+ £ gS(w(t)r + o(||w(t)||3), t = rfc.

M+H=2

Здесь и далее используются мультииндексные обозначения: если и = (-1,... ...,иг) € Сг, V = (и1,... ,иг) € Ъ+, то = w11 .. , | = ^ + ... + иг,

г

(ш, V) = £ wsvs. 8=1

Используя метод нормальных форм А. Пуанкаре [4, 22], нетрудно показать, что при выполнении одного из дополнительных условий:

(У^-^ - егв | + V - - = о) Л Л (/^И^-^ - егвз] = гдЦ [(и, V - - и]

или

^v-») - eies | + | (Ш, V - ^ - Ws| + I/W | + |gVS) I = 0

где в = 1,1' и \и\ + = 2, или \и\ + = 3, существует преобразование переменных (сохраняющее свойство устойчивости тривиальной особой точки), приводящее систему (2) к виду:

^ - Zs ( iUs + ^A8i\zi\2 I + °(II-H3)> t Ф Tk,

dt

(3) 4 l=*

r

Zs(t + 0)= Zs(t)^s Í1 + j=] BsiIzi (t)|2J + o(l|z(t)||3), t = Tk,

где zs € C, Asi, В si eC, s,l = T~r, s^l.

Для исследования устойчивости критического состояния равновесия zs = = 0, s = 1,г, системы (3) в дальнейшем будет использован метод сравнения Матросова - Васильева.

3. Вспомогательные результаты

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с импульсным воздействием вида:

(4) ! = /(ж)'

Ax(t) = g(x(t)), t = Tk,

где х € Мга, f € С 1(Мга; Мга), [тк— последовательность моментов импульсного воздействия, имеющая единственную точку сгущения на бесконечности, Дх(Ь) = х(Ь + 0) — х(Ь), д € С 1(Б; Мга), Б — открытая связная окрестность точки х = 0, f (0) = 0, д(0) = 0. Предположим, что х = 0 — изолированное состояние равновесия системы (4), а решение х(Ь; хо) задачи Коши с начальными условиями х(0; хо) = хо, хо € Б существует и единственно [13]. Считаем также, что в точках Ь = тк, к € М, функция х(Ь; хо) является непрерывной слева, т.е. х(тк — 0;хо) = х(тк;хо). Обозначим через ш+(хо) правый конец максимального интервала существования решения задачи Коши соответствующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений без импульсного воздействия, а через 0+(хо) — правый конец максимального интервала существования решения задачи Коши системы (4).

Обозначим через К телесный конус в пространстве Мга [23], К * — сопряженный конус.

Определение 1 [24]. Функция f € С(Мга;Мга) является квазимонотон-

к

но неубывающей относительно телесного конуса К, если для любых у ^ х и ф € К * таких, что из (ф,у—х) = 0 следует неравенство (ф, f (у) — f (х)) ^ 0.

Определение 2. Функция f € С(Мга;Мга) называется локально неубывающей на множестве N относительно телесного конуса К, если существует окрестность N точки х = 0 такая, что для любых у,х € N из

кк неравенства у ^ х следует неравенство f (у) ^ f (х).

Напомним определения монотонных и позитивных относительно конуса дифференциальных уравнений. Обозначим через N С Б некоторую окрестность точки х = 0.

Определение 3. Система дифференциальных уравнений (4) называет-

к

ся локально позитивной относительно конуса K, если из условий x0 ^ 0 и

к

xo € N следует неравенства x(t; xo) ^ 0 при всех t € [0, (xo)).

Определение 4. Система дифференциальных уравнений (4) называется локально монотонной относительно конуса K, если из условий

кк x0 ^ y0 и xo, y0 € N следуют неравенства x(t; x0) ^ x(t; y0) при всех t €

€ [0, Q+(x0)) П [0, Q+(y0)). "

Введем множество {ws}r=i С K, относительно которого предположим, что существуют положительные постоянные ös > 0 и s = l,r такие, что w = = ^S=i ösws € int K. Такое множество будем называть допустимым.

Сформулируем основные предположения, которым удовлетворяет рассматриваемая система дифференциальных уравнений с импульсным воздействием:

1) функция f (x) является квазимонотонно неубывающей относительно конуса K;

2) существуют функции Si € Ыр(Шг] М), г = 1,2,..., г, такие, что при всех а3 ^ 0 и« = 1, г выполняются неравенства

f Е

aiWi

к <

•)Wi

4i=1

i=1

3) существует окрестность N точки х = 0 такая, что функция х + д(х) является локально неубывающей на множестве N относительно телесного конуса К;

4) существуют функции Уг € Ь-ф(Мг; М), ¿ = 1,2,..., г, такие, что при всех а3 ^ 0 и« = 1, г выполняются неравенства

£

4i=1

aiWi

к <

i=1

Vi(ai

,ar )wi;

g

5) функции 5s(o;i,... ,ar), s = 1 , г, обладают свойством: если as ^ 0 при всех s = 1, г и од = 0, то Sk(cti,..., ar) ^ 0;

6) функции as + Vs(ai,... ,ar), s = 1 , г, обладают свойством локальной позитивности относительно конуса R+r, т.е. существуют положительные числа s = 1,г, такие, что

а.8 + ^(аь ...,аг) ^ 0

при всех 0 ^ а8 ^ а0.

Метод сравнения Матросова - Васильева позволяет установить оценки решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, необходимые для дальнейшего изложения.

Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений

(6) § = /(г)-

Наряду с системой дифференциальных ура

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Автоматика. Вычислительная техника»