ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 2, 2014
УДК 621.01
© 2014 г. Ройзман В.П.
АНАЛОГИИ ПРИ СОЗДАНИИ БЕЗРЕЗОНАНСНЫХ КОНСТРУКЦИЙ, БЕСКРИТИЧЕСКИХ РОТОРОВ И СТЕРЖНЕЙ, НЕ ТЕРЯЮЩИХ УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ СЖАТИИ
Обращается внимание на аналогии в явлениях потери устойчивости при сжатии длинных стержней и достижении критических частот вращения гибких валов, а также возможности заимствования и взаимоиспользования практики недопущения этих опасных состояний. Показаны способы создания безкритических роторов, безрезонансных конструкций и стержней, не теряющих устойчивость при сжатии.
Сравним в линейной постановке решения задач о нахождении критических сил продольно-сжатого упругого стержня-вала постоянного по длине круглого поперечного сечения, опирающегося по концам на шарнирные опоры и критических частот вращения этого же стержня-вала или равных им собственных частот поперечных (из-гибных) колебаний. В обоих случаях используются интегро-дифференциальные зависимости теории изгиба [1, 2].
При продольном изгибе внешней нагрузкой является изгибающий момент Ыг, который создается продольной сжимающей силой Р , умноженной на плечо (рис. 1), каковым является начальный прогиб вала у = /(г) или даже эксцентриситет.
В основу дальнейшего вывода положено приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня-вала
Е10Су' = , (1)
где Мг = -Ркру; Е — модуль Юнга материала стержня, 10С — осевой момент инерции поперечного сечения круглого стержня-вала (рис. 1).
Уравнение (1) приводится к виду
у" + к\у = 0, где к =-у/Ркр/Е1 ос. (2)
При рассмотрении критических частот вращения вала внешней нагрузкой являют-
2
ся силы инерции интенсивности д = тую равномерно распределенных по длине единичных масс вала т при прогибе у = /(г), где ш — угловая скорость вращения вала.
Чтобы перейти от выражения (1) к д, нужно дважды продифференцировать исходное уравнение изогнутой оси вала-стержня. Тогда получим
Е1 осу1У = Ч = тут2. (3)
Выражение (3) приводится к виду у1У - к^у = 0, где к2 — 4 тюкр/Е/ ос.
Общее решение дифференциального уравнения второго порядка (2) должно содержать две произвольные постоянные А1 и В1, а четвертого порядка (3) — четыре А2, В2, С2, Д2. Решение уравнения (2)
Рис. 1 Рис. 3
Рис. 1. К выводу формулы Эйлера и критической частоты вращения
y = Ai cos kxz + Bi sin kiz, а решение уравнения (3)
y = A2 cos k2z + B2 sin k2z + C2ek2z + Д2в~к2Z.
(4)
(5)
В решениях обоих уравнений (4) и (5) произвольные постоянные определяются из граничных условий, т.е. из условий закрепления концов стержня-вала на опорах. Так как стержень-вал свободно опирается на опоры, одна из которых шарнирно-непо-движная, а другая — шарнирно-подвижная, то постоянные интегрирования определяются из условий равенства нуля прогибов и изгибающих моментов на этих опорах, т.е.
y = 0 при z = 0 и z = l, У" = 0 при z = 0 и z = l.
Подставив эти условия в (4) и (5) и решив полученные уравнения, найдем, что Ai = A2 = C2 = Д2 = 0 и B sin kil = 0 для задачи о нахождении критических сил Эйлера и B2 sin kl = 0 для задачи о нахождении критических частот вращения. Это возможно при условии, что либо Б1 и B2 равны нулю, либо sin к} = 0 и sin kj = 0.
Если B1 и B2 равны нулю (а все остальные произвольные постоянные также равны нулю), то прогибы y отсутствуют, что противоречит условию задачи. Значит равенства нулю Bl и B2 не могут быть условиями для определения критических сил и критических скоростей, так как при этих силах и скоростях прогиб стержня-вала не может быть равным нулю всегда. Если же принять sin kil = 0 и sin k2l = 0, то постоянные Bl и B2 могут принимать любые произвольные значения и прогиб y может быть любым, в том числе и бесконечно большим. Это соответствует состоянию безразличного равновесия, т.е. вращению вала на критической скорости или потере устойчивости этого же стержня-вала под действием критической сжимающей силы.
Следовательно, условия sin k} = 0 и sin kj = 0 могут служить для определения величины критических сил и критических скоростей.
Оба условия выполняются в том случае, если kil = пи и kql = nn, где n = 1, 2, 3,..., n — натуральный ряд чисел. Отсюда ki = k2 = nn/l, т.е.
k2 =
2 2 n п
EI о
P =
* кр
2 2 n п
EIoc - формула Эйлера,
(6)
4 4 k24 = n П
mm
кр
2 2 n П
l 4 EIос
частот вращения.
EIo
- формула для критических
Рис. 2. Формы потери устойчивости при критических силах и критических частотах вращения: а — первая форма, б — вторая, в — третья, г — п-я форма
Ркр
А
Jrrh
P,
кр б
В
¡ A
в 1/3
P/n
кр
г
Таким образом, стержень-вал имеет бесконечно большое число критических сил Эйлера и критических скоростей вращения, которые соотносятся между собою как квадраты натуральных чисел n.
В обоих случаях имеем задачу о собственных значениях и приходим к одинаковому условию нахождения ряда критических сил и ряда критических частот вращения через одинаковые выражения £ = £2 = nn/l, поэтому в общем виде
И2 2
^кр(юкр) = ^1,2 ,
где 5i2 — коэффициенты, зависящие от длины, жесткости и массы; 5j = EI ос;
82 = V EI ос/т.
Из уравнений (4) и (5) следует, что уравнение упругой линии стержня-вала имеет вид y = B sin kz. Следовательно, в обоих случаях форма изогнутой оси вала при его вращении на критической скорости и такого же продольно-сжатого стержня при действии критической силы соответствуют синусоиде. Для первой критической скорости и первой критической силы форма изогнутой оси содержит одну полуволну синусоиды, для второй критической скорости и второй критической силы — две полуволны синусоиды, т.е. полную волну (синусоиду), а для третьей — три полуволны синусоиды и т.д. Таким образом, каждому значению критической силы и критической скорости соответствуют свои идентичные друг другу формы потери устойчивости (рис. 2).
Такая аналогия при выводе формулы Эйлера и критической скорости вращения стержня-вала, сходство полученных формул для значений критических сил и скоростей (отличия лишь в численных значениях коэффициентов при и2л2/12), идентичность форм потери устойчивости позволяют предположить, что методы борьбы с опасными критическими состояниями и методы недопущения этих состояний должны быть аналогичными и могут заимствоваться из практики эксплуатации конструкций, склонных к потере устойчивости. Это действительно так.
Если воспользоваться тем обстоятельством, что высшие (чем первая) формы потери устойчивости сами по себе неустойчивы без наличия промежуточных опор в узлах форм, то можно прийти к следующему методу недопущения критических состояний стержня-вала (рис. 2).
Чтобы не допустить на практике проявления первой критической силы и первой критической скорости нужно в середине длины стержня-вала в т. А разместить легкий подшипник с радиальным зазором, равным допустимому прогибу стержня-вала. Тогда, как только значения сжимающих сил и (или) скоростей вращения приблизятся к критическим значениям и начнут расти прогибы, стержень-вал, теряя устойчивость, коснется опоры в пучности синусоиды, то есть посередине длины l. Эта длина разобьется на две половины и теперь для него критической силой будет
2 ПМ и НМ, № 2
33
а критическом скоростью
т
4п2 Е IЧ т
т.е. вал выдержит рост сжимающей силы до Ркр2 и скорость вращения до юкр2. Чтобы не допустить проявления второй критической силы и второй критической скорости нужно в точках стержня В и Д, где должны иметь место пучности при потере устойчивости, соответствующей значениям второй критической силы и второй критической скорости разместить легкие подшипники с зазором, равными допустимому прогибу. Тогда как только значения скоростей вращения и сжимающих сил приблизятся ко вторым критическим значениям, вал, теряя устойчивость по второй форме изгиба, коснется опор в точках В и Д и его длина как бы разделится на три части длиной I/3
каждая. Теперь для него критической силой будет Ркр = (9п2/12)Е/т;п, а критической
скоростью юкрз = (9п2/12)у1 Е1 /т и стержень-вал выдержит рост сжимающей силы до Ркр и частоты вращения до юкр.
Идея создания стержня, не имеющего на практике критических сил, т.е. не теряющего устойчивости от продольной сжимающей силы и такого же как стержень, вращающегося вала, не имеющего критических скоростей, основана на автоматических изменениях жесткости системы стержень (вал)-опора. Например, на изменении длины стержня-вала между опорами при приближении к значениям критических сил или критических частот вращения, а после их прохождения — на возвращении к прежнему значению. Это дает возможность устранить потерю устойчивости при разгоне вала до рабочих частот вращения или при росте сжимающей силы до максимально-допустимого значения, определяемого из условия прочности. При этом для устранения критических состояний стержня-вала по одной, двум, трем и т.д. собственным формам потери устойчивости опоры-ограничители прогиба следует устанавливать в местах максимальных прогибов (пучностей) соответствующих форм. Если необходимо устранить потерю устойчивости по всем критическим формам, то устанавливают одну такую опору-ограничитель прогиба по всей длине стержня-вала (рис. 3).
При приближении значения сжимающей силы к очередному критическому значению или частоты вращения к очередной критической скорости в соответствующих сечениях стержня-вала начнут возрастать прогибы. При выборе зазора стержень-вал соприкоснется с ограничителями прогиба, установленными в указанных сечениях, и таким образом получит дополнительные опоры, укорачивающие его длину между опорами. Из формул (6) и (7), видно, что изменяет (увеличивает) значение критической силы и критической частоты вращения. Следовательно, стержень-вал уже не будет находиться в состоянии безразличного равновесия, означающего потерю устойчивости, и сможет безболезненно перенести прохождение через значение сжимающей силы или частоты вращения, которые теперь, при касании об опоры, уже не являются критическими. При приближении частоты вращения или значения сжимающей силы к следующему критическому значению другие сечения стержня-вала коснутся ограничителя прогиба и произойдет изменение жесткости системы, аналогичное опи
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.