АНИЗОТРОПИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МОНОКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ НАНОПЛЕНОК И НАНОПРОВОДОВ ПРИ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ
И. И. Кулеев* И. Г. Кулеев, С. М. Бахарев
Институт физики металлов Уральского отделения Российской академии наук 620990, Екатеринбург, Россия
Поступила в редакцию 26 февраля 2014 г.
Исследовано влияние фокусировки фононов на фононный транспорт в монокристаллических наноплен-ках и нанопроводах в режиме граничного рассеяния. Проанализированы зависимости теплопроводности и длин свободного пробега фононов от геометрических параметров наноструктуре различной анизотропией упругой энергии при диффузном рассеянии фононов на границах. Показано, что анизотропия теплопроводности для наноструктур из кубических кристаллов с положительной (LiF, GaAs, Go, Si, алмаз, YAG) и отрицательной (CaFa, NaCl, YIG) анизотропией упругих модулей второго порядка качественно различается как для нанопленок, так и для нанопроводов. Определены ориентации плоскостей монокристаллических пленок и направления потока тепла, обеспечивающие максимальную или минимальную теплопроводность в плоскости пленки для кристаллов обоих типов. Для нанопроводов с квадратным сечением величины теплопроводности зависят главным образом от направления теплового потока, а в достаточно широких нанопленках они в значительной степени определяются ориентацией плоскости пленки.
DOI: 10.7868/S0044451014090120 1. ВВЕДЕНИЕ
Большой интерес в последнее десятилетие вызывают исследования фононного транспорта в нанопленках и нанопроводах [1 4]. Он связан с широким использованием наноструктур в микроэлектронике. Длины свободного пробега фононов для них в широком температурном интервале оказываются больше или сравнимы с характерными размерами наноструктур. Поэтому рассеяние фононов на границах играет важную роль в теплосопротивлении и приводит к значительному уменьшению теплопроводности наноструктур по сравнению с величинами в объемных материалах. Для объемных кристаллов кремния [5] граничное рассеяние фононов вносит заметный вклад в теплосопротивление при температурах, меньших 30 40 К, однако для кремниевых нанопленок толщиной 50 им, согласно оценкам [6, 7], оно остается эффективным вплоть до комнатных температур.
E-mail: kuleev'fflimp.uran.ru
В настоящей работе мы рассмотрим особенности фононного транспорта в наноструктурах с различным типом упругой анизотропии в рамках феноменологического подхода Казимира МакКарди [5,8]. В этом методе предполагается, что при диффузном рассеянии фононов абсолютно шероховатая поверхность поглощает все падающие на нее фононы, а затем переизлучает их как абсолютно черное тело с интенсивностью, зависящей от локальной температуры.
Впервые задачу о теплопроводности диэлектрического цилиндра бесконечной длины в этой модели рассмотрел Казимир [8]. Он показал, что в модели изотропной среды длина пробега фононов равна диаметру цилиндра. Позже в работах [9] было рассмотрено влияние частично зеркального отражения фононов от поверхности образца и его конечной длины на теплопроводность в режиме граничного рассеяния. В частности, было показано, что учет конечной длины приводит к уменьшению теплопроводности по сравнению с бесконечным образцом. Согласно [10,11], диффузный характер рассеяния фононов реализуется, если геометрические параметры шероховатостей на границе образца будут больше или
сравнимы с длиной волны фонола. Следует отмстить, что перед измерением теплопроводности объемные образцы кремния предварительно обрабатывались наждаком [5], для того чтобы обеспечить полностью диффузное рассеяние фононов границами.
Основной задачей настоящей работы является анализ влияния анизотропии упругой энергии на фононный транспорт в монокристаллических нано-пленках и нанопроводах при диффузном рассеянии фононов на границах. Известно [12 15], что анизотропия упругой энергии кубических кристаллов приводит к неколлинеарности фазовой и групповой скоростей фононов и к их фокусировке. Экспериментальные исследования [5] показали, что при достаточно низких температурах, когда длина свободного пробега фононов превышает поперечный размер образца, фокусировка фононов приводит к двум эффектам в теплопроводности объемных кристаллов Si и CaF-2. Первым эффектом является зависимость теплопроводности от направления теплового потока: для образцов Si с квадратным сечением в направлении [100] она оказалась на 50 % больше, чем в направлении [111], а для CaF2 наоборот: для направления [111] она оказалась на 40% больше, чем для направления [100].
Вторым эффектом, является зависимость теплопроводности от ориентации боковых граней образца. Для двух одинаковых образцов с прямоугольным сечением и градиентом температуры в направлении [110] теплопроводность для образца с широкой гранью {100} оказалась на 33% выше, чем для образца с широкой гранью {110}. Поэтому для корректного описания анизотропии теплопроводности к (Г) и длин свободного пробега Л в монокристаллических наноструктурах следует ввести два ориента-ционных параметра. Эти параметры учитывают зависимости кинетических характеристик от направления [1(■*/')] теплового потока, где угол -ip определяет его направленно для выбранного сечения кубического кристалла с ориентацией {J} относительно осей кристалла. Поэтому, в отличие от изотропной среды, они могут быть представлены в виде
Ниже будет показано, что ориентационные параметры н {--0 могут быть определены через компоненты групповой скорости, параллельные и перпендикулярные направлению теплового потока.
Предложенный метод учета фокусировки фононов является актуальным, поскольку в значительном число публикаций, посвященных исследованию фононного транспорта в пленках и нанопроводах,
эти эффекты не учитывались. Так, например, в работах [6,15,16] для граничного рассеяния в наноструктурах на основе кремния и алмаза использовалась теория Казимира [8], справедливая только для модели изотропной среды. А при изложении экспериментальных результатов в обзорах [1 3] не указывались направления теплового потока и ориентации плоскостей пленок относительно кристаллографических осей. Нами будет показано, что изменение ориентации плоскости пленки может приводить к изменению значений теплопроводности в 2 3 раза. Поэтому отсутствие такой информации делает эти данные практически бесполезными. Следует отметить, что ориентационные зависимости теплопроводности определяются типом анизотропии упругой энергии.
Для количественной характеристики упругой анизотропии кубических кристаллов ранее формально вводился фактор анизотропии [17]
А = 2С44/(сц - с12),
где сij упругие модули второго порядка. В работе [18] показано, что влияние анизотропии упругой энергии на спектр и векторы поляризации колебательных мод определяется безразмерным параметром
к -1= (С'12 + 2С'44 - Сц)/(Сц - с44).
В зависимости от знака параметра к — 1 все кубические кристаллы могут быть разделены на кристаллы с положительной, к — 1 >0 (LiF, GaAs, Ge, Si, алмаз, YAG), и отрицательной, к — 1 <0 (CaF2, NaCl, YIG), анизотропией упругих модулей второго порядка (см. табл. 1). Для изотропных сред параметр к = 1. Вид спектра и поведение векторов поляризации колебательных мод для кристаллов первого (k — 1 > 0) и второго типа (k — 1 < 0) качественно различаются (подробнее см. [18]). Проведенный нами анализ показал, что направления фокусировки фононов для каждой из акустических мод в кристаллах одного типа совпадают, тогда как для кристаллов разного типа они различаются. Это должно приводить к качественному различию анизотропии теплопроводности в кристаллах разного типа.
Целыо настоящей работы является исследование анизотропии теплопроводности в режиме граничного рассеяния и ее зависимостей от геометрических параметров для наноструктур из кристаллов первого и второго типа. К сожалению, при исследовании теплопроводности наноструктур [1 4] не были рассмотрены такие важные проблемы, как влияние упругой анизотропии кубических кристаллов на зависимости длин пробега фононов от геометрических
Таблица 1. Упругие модули второго порядка с-,-,- [1012 дин/см2], плотность р [г/смл] и параметр анизотропии
& — 1 для исследованных кубических кристаллов
Соединенно Cll Cl2 Cii Р к -1
GaAs [19] 1.1904 0.5384 0.5952 5.317 0.90
Се [20] 1.289 0.483 0.671 5.32 0.87
LiF [21] 1.246 0.424 0.649 2.646 0.78
Si [22] 1.677 0.65 0.804 2.3301 0.67
Алмаз [23] 10.76 1.25 5.76 3.512 0.40
YAG [24] 3.281 1.064 1.137 4.55 0.03
NaCl [25] 0.575 0.099 0.133 2.214 ^0.48
CaF-2 [26] 1.74 0.56 0.359 3.211 ^0.33
YIG [24] 2.69 1.077 0.764 5.17 ^0.04
параметров пленок, от направлений теплового потока и ориентации плоскости пленки относительно осей кристалла. Решение этих проблем позволяет определить ориентации плоскостей пленок и направлений потока тепла, обеспечивающие максимальный или минимальный теплоотвод от элементов полупроводниковых микросхем. Эти проблемы являются актуальными для полупроводниковых пленок, широко используемых в микроэлектронике [1 4, 27 29] и являются предметом изучения настоящей работы.
В работах [30,31] нами были получены аналитические решения задачи о диффузном рассеянии фононов на границах образцов конечной длины с круглым, квадратным и прямоугольным сечениями и определены релаксационные функции с учетом фокусировки фононов. Эти решения позволили объяснить оба эффекта в теплопроводности объемных кристаллов Si в работе [32] и согласовать температурные зависимости теплопроводности с экспериментальными данными [5] во всем исследованном интервале температур. Использование результатов работ [30,31], а также параметров ангармонического рассеяния, найденных в [32] для объемных кристаллов Si, позволило адекватно описать температурные зависимости теплопроводности кремниевых нанопроводов диаметрами 56 и 115 нм в температурном интервале от 20 до 300 К. Однако в работе [7] (в отличие от [32]) для согласования результатов расчета с экспериментальными данными [4] нам пришлось учесть частичную зеркальность отражения фононов от границ нанопроводов.
Итак, результаты работ [7,32] свидетельствуют
о том, что аналитические решения [30,31], вполне обоснованы и согласуютс
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.