научная статья по теме АНИЗОТРОПИЯ В НЕЛИНЕЙНОЙ РЕОЛОГИИ ПОЛИМЕРОВ Физика

Текст научной статьи на тему «АНИЗОТРОПИЯ В НЕЛИНЕЙНОЙ РЕОЛОГИИ ПОЛИМЕРОВ»

ВЫСОКОМОЛЕКУЛЯРНЫЕ СОЕДИНЕНИЯ. Серия А, 2014, том 56, № 5, с. 575-581

ТЕОРИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 541.64:532.135

АНИЗОТРОПИЯ В НЕЛИНЕЙНОЙ РЕОЛОГИИ ПОЛИМЕРОВ

© 2014 г. В. С. Волков

Институт нефтехимического синтеза им. А.В. Топчиева Российской академии наук

119991 Москва, Ленинский пр., 29 Поступила в редакцию 04.12.2013 г. Принята в печать 05.04.2014 г.

Сформулирована теория, описывающая поведение жидкостей с анизотропными временами релаксации на основе расширенной (локально-неравновесной) термодинамики необратимых процессов. Предлагаемая теория создает основу общего подхода к исследованию анизотропии реологических свойств ориентируемых полимерных жидкостей. Рассмотрены одноосные течения сдвига и растяжения вязкоупругой жидкости с одним предпочтительным направлением. Характер полученных вискозиметрических функций указывает на важную роль макроскопических ориентационных эффектов в реологии полимерных сред.

БО1: 10.7868/82308112014050162

При течении полимерных жидкостей наблюдается коллективная ориентация макромолекул под действием гидродинамических сил потока, что приводит к анизотропии молекулярного переноса количества движения и их реологических свойств. Поэтому реологические уравнения состояния, с помощью которых можно описать движение таких сплошных сред, должны учитывать их макроскопическую ориентацию. Имеющиеся экспериментальные данные указывают на то, что анизотропия реологических свойств характерна для гибкоцепных и жесткоцепных полимеров [1— 11]. Таким образом, различные полимерные жидкости можно упорядочить одной объединяющей идеей.

Многие считают, что феноменологическая теория наследственных сред, развитая в работах Noll и Coleman, при соответствующей конкретизации в состоянии описать все существенные нелинейные свойства растворов и расплавов гибко-цепных полимеров [12—14]. Следует, однако, отметить, что цитируемая теория не является достаточно общей для вязкоупругих жидкостей, поскольку в основу положен принцип отсутствия предпочтительных направлений в среде. Так что рассматриваемый подход относится только к изотропным вязкоупругим жидкостям.

В работе [15] ориентируемые полимерные жидкости рассматриваются как вязкоупругие анизотропные жидкости. Исследование общих свойств жидкостей можно упростить, если использовать спектральный подход, предложенный в работе [16]. Спектральный подход позволяет исследовать анизотропию вязкости и времен релаксации жидкостей различных типов. На этой осно-

E-mail: vsvolk@mail.ru (Волков Валерий Степанович).

ве дана классификация полимерных сред и разработана директорная теория растворов и расплавов гибкоцепных полимеров [15]. Она позволяет в простой форме учесть ориентационную упорядоченность, возникающую при течении таких полимеров.

В настоящей работе представлен термодинамический подход к построению реологических уравнений состояния жидкостей с анизотропными временами релаксации. Он базируется на обобщенной термодинамике необратимых процессов, которая не использует принцип локального равновесия. Таким образом, удается учесть нелинейное взаимодействие главных релаксационных процессов в области нелинейной вязко-упругости полимеров.

ТЕРМОДИНАМИКА АНИЗОТРОПНЫХ ЖИДКОСТЕЙ

В случае анизотропных жидкостей тензор напряжений может быть представлен в виде

Су = -рЪу + Су. (1)

При спектральном представлении полный тензор напряжений а у определяется в виде суммы шарового тензора и девиатора СТу, которые ортогональны между собой. В данном случае давление р равно

р = -сй/3. (2)

Девиатор СТу определяется реологическим уравнением состояния конкретной анизотропной жидкости.

В этом разделе основной задачей является формулировка определяющих уравнений жидкостей с анизотропными временами релаксации на основе расширенной термодинамики необратимых процессов. Для простоты ограничимся толь-

ко изотермическими процессами. Рассмотрим среду, характеризуемую выражением свободной энергии

/ = /(С у), (3)

которая определена непосредственно через напряжения. Для описания состояния сплошной среды вдали от локального равновесия в качестве независимой термодинамической переменной предпочтительнее использовать компоненты динамического тензора напряжений [17]. Выбор скалярной функции / зависит от природы изучаемой жидкости. В общем случае она является анизотропной функцией тензорного аргумента сту. Это означает, что / также зависит от векторов или тензоров, которые задают выделенные направления в среде.

Используя уравнение сохранения энергии, уравнение баланса энтропии и формулу (3), можно получить выражение для производства энтропии Р в вязкоупругих жидкостях с симметричным тензором напряжений

д/ п&у

TP, = СТ ив,, -

уу

до у Dt

(4)

Для рассматриваемого случая они представляют собой квазилинейные соотношения между термодинамическими силами и потоками. Анизотропные свойства вязкоупругих жидкостей (6) характеризуются тензорами вязкости п уке и времени релаксации Туке. Они обладают теми же свойствами внутренней симметрии, что и тензор упругости анизотропных твердых тел. Из выражения (6) следует, что для анизотропных жидкостей главные оси тензоров еу и стке, вообще говоря, не совпадают друг с другом. Исследование анизотропных жидкостей (6) связано с установлением общих свойств материальных тензоров Пуке и Туке. Для жидкостей с анизотропией самого общего вида они выражаются через спектральные разложения [16]

П ijke = X1

I

при n < 6,

Здесь T — температура, а ву = (v¡ч- + v, ,)/2 — симметричная часть градиента скорости; D6y/Dt = = da j /dt + a ie<aej — ®ie(7 eJ — коротационная производная по времени, где Юу = (v, у - vj-i)/2 — антисимметричная часть градиента скорости. Производство энтропии в соответствии со вторым законом термодинамики положительно и обращается в нуль в состоянии термодинамического равновесия.

Определим выражения для термодинамических сил и потоков. Если df /дсту является непрерывной функцией напряжений а у, то ее можно аппроксимировать полиномом. Применение формулы Гамильтона—Кели позволяет свернуть его до квадратичного. Ограничиваясь только линейными относительно & у членами, получим соотношение df /da, = ^ykeo ke. В этом случае производство энтропии (4) определяется в виде

TPS = СТkeFke . (5)

Отсюда следует, что в обобщенной термодинамике вязкоупругих анизотропных жидкостей выражение для производства энтропии представляет собой билинейную комбинацию обобщенных термодинамических сил Fke = eke - цkeiJDoу/Dt и потоков ст ke.

Из уравнения (5) для жидкостей с произвольной анизотропией свойств получаем следующее компактное определяющее соотношение

D& k

ijke '

ke

Dt

+ Gу - njkeeke

(6)

4ПаР-уке, Т1]ке / ,Таауке а=1 а=1

которые вводят инвариантные параметры анизотропной вязкоупругости па, Та. Они являются собственными значениями тензоров вязкости и времени релаксации. Эти макроскопические параметры не определяются в неравновесной термодинамике. Явные выражения для них можно получить только в рамках мол екулярно-кинетических теорий.

По термодинамическим соображениям па и та всегда неотрицательны. Это можно показать, используя уравнение (6) и спектральное разложение обратного тензора вязкости в выражении (5). Тогда получаем следующее каноническое представление производства энтропии:

п

ТР5 = /-1аа при п < 6. (7)

а=1 Па

Здесь введены интенсивности главных напряже-

/ а ач 1/2 а а ~ г

ний Ста = (СтуСту)х , где Сту = ауке<5ке. Собственные

тензоры аауке определены в работе [16]. Необходимое и достаточное условие неотрицательности производства энтропии (7) — неотрицательность главных вязкостей па. Дополнительно из условий термодинамической устойчивости можно показать, что собственные значения тензора цуке также не могут быть отрицательными. Отсюда следует, что главные времена релаксации т а, которые являются собственными значениями тензора

Туке = ПутпИтпке, положительны.

ТРАНСВЕРСАЛЬНАЯ ИЗОТРОПИЯ

Рассмотрим простой случай, когда ориентация полимерных жидкостей при ламинарном течении может быть описана лишь одним единичным вектором п, который называется директором. Все на-

правления, перпендикулярные к п, полностью равноправны. Поэтому в таких жидкостях существует трансверсальная изотропия. В данном случае материальные тензоры Цуке и Туке принимают простой вид.

Для несжимаемых трансверсально-изотроп-ных жидкостей реологическое уравнение (6) может быть представлено в виде [15]

а у = а у + а у + 4, (8)

где &у, ст|, Sу — поперечный и продольные тензоры напряжений. Если градиент скорости не очень велик, то они определяются релаксационными уравнениями первого порядка

Дри II ||

1 1 у + ст у = 2П| 4, ( 9)

т

■ Ъц = 2ц1еУу, Т||

т

^ Ап(7;7 | | „ | |

0| | д?+^ = 2^| |уу.

Система уравнений (8) и (9) вводит поперечную моду и два типа продольных мод, связанных с анизотропной релаксацией напряжений. Она также демонстрирует существование в вязкоупру-гих анизотропных жидкостях нелинейного взаимодействия собственных мод. Первые два уравнения характеризуют продольное и поперечное вяз-коупругие сопротивления при сдвиге вдоль и поперек директора, а третье — вязкоупругое сопротивление при растяжении в направлении ориентации жидкости. Отличительная особенность анизотропной релаксации напряжений в полимерах заключается в том, что времена релаксации поперечного и продольных напряжений различны.

Представление (8) называется спектральным разложением тензора напряжений. Модальные тензоры напряжений являются его спектральными составляющими. Модальные тензоры скоростей деформации имеют следующий вид:

4 = еу -еу -УI Уу = 2^(Ч -8у), (10)

еУ = П1еееу + е1еПеу — 2пукееке.

Следует подчеркнуть весьма важное обстоятельство: спектральные составляющие симметричных тензоров напряжений и скоростей деформации взаимно ортогональны. Модальные скорости изменения напряжений определяются уравнениями

в а ц

тг

Жу

ВиСТ,-,- А|СТ у

у

Д||СТ у

м

тг тг ат

1 П ^ ке,

~ Пь-

Дбу

2

ке

т

-(3пу - 5 у),

(11)

■ + ■

Лбуе

т т т

где Пу = ППу и Пуке = ППуПкПе.

Пеу 2пуке

Вст

ке

Систему уравнений (8) и (9) можно свести к одному уравнению:

Всту ^ ч ДиСТу ч ВиСТу

у + (©н-х х)-^ + (Х

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Физика»