ВЫСОКОМОЛЕКУЛЯРНЫЕ СОЕДИНЕНИЯ, Серия А, 2012, том 54, № 9, с. 1423-1431
РЕОЛОГИЯ
УДК 541.64:532.135
АНИЗОТРОПИЯ ВЯЗКОУПРУГОСТИ ПОЛИМЕРОВ
© 2012 г. В. С. Волков
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт нефтехимического синтеза им. А.В. Топчиева РАН 119991 Москва, Ленинский пр., 29 Поступила в редакцию 11.12.2011 г. Принята в печать 27.03.2012 г.
Разработана директорная теория растворов и расплавов гибкоцепных полимеров, основанная на простом законе анизотропной релаксации напряжений. Для изучения его структуры использован спектральный подход. Представлено простейшее уравнение для директора, описывающее зависимость ориентации вязкоупругих анизотропных жидкостей от скорости сдвига. Рассмотрены течения, которые наиболее целесообразно использовать для определения материальных характеристик полимерных жидкостей с одним предпочтительным направлением. Также предложена новая классификация анизотропных жидкостей.
ВВЕДЕНИЕ
При течении полимерных жидкостей наблюдается анизотропия их реологических свойств. Имеющиеся экспериментальные данные указывают на необходимость учета этого факта при исследовании течений растворов гибкоцепных полимеров [1—5]. Для расплавов гибкоцепных полимеров также установлено, что течение нарушает изотропию их макроскопических свойств [6]. Важно подчеркнуть, что анизотропия реологических свойств характерна для всех ориентируемых полимерных сред. Наиболее ярко она проявляется в ЖК-рас-творах и расплавах полимеров [7]. В настоящее время сохраняется интерес к изучению реологии и молекулярной подвижности ЖК-полимеров [8—11]. Это обусловлено необыкновенным многообразием физических эффектов, связанных с анизотропией вязкости и релаксационных свойств этих сред.
Исследование особенностей течения полимерных жидкостей необходимо осуществлять с помощью реологических моделей анизотропных жидкостей. На существование в анизотропных жидкостях различного внутреннего трения по разным направлениям было указано еще в начале XX столетия [12]. В этом случае принципиально важен учет изменения ориентации главных осей реологической анизотропии при течении. В монографии [13] обобщены результаты экспериментальных исследований процессов ориентации различных полимерных систем.
В работах [14—19] полимерные растворы рассматривались как анизотропные вязкие жидкости. При этом не учитывались релаксационные
E-mail: vsvolk@mail.ru (Волков Валерий Степанович).
свойства этих сплошных сред, которые оказываются весомыми при описании нелинейных эффектов. Существование релаксационных свойств при течении полимерных жидкостей свидетельствует о наличие временной связи между тензорами напряжений и скоростей деформации. Это приводит к дополнительным потерям механической энергии по отношению к диссипативным потерям вследствие вязкости.
Анизотропия релаксационных свойств может быть описана в рамках теории вязкоупругих жидкостей с анизотропными временами релаксации
[20]. При этом весьма плодотворным оказывается спектральный подход, предложенный в работе
[21]. Он позволяет раскрыть структуру анизотропной вязкости и анизотропных времен релаксации для жидкостей различных типов.
В настоящей работе на основе спектрального подхода разработана директорная теория растворов и расплавов гибкоцепных полимеров. Она позволяет в простой форме учесть ориентацион-ную упорядоченность, возникающую при течении полимеров. Полученные результаты могут быть полезны для реологии не только полимеров, но и суспензий, магнитных и биологических жидкостей.
СПЕКТР СОБСТВЕННЫХ МОД
В реологии полимерных жидкостей вместо анализа обобщенного закона Ньютона [22] можно сформулировать более общую задачу. Она связана с установлением общей формы анизотропной нелинейной зависимости кинематических тензоров от напряжений, которая должна быть совместима с симметрией жидкости. Прежде все-
го, необходимо исследовать влияние скорости изменения тензора напряжений на поведение жидкости. Это позволяет в простой форме учесть релаксационные свойства, характерные для полимерных жидкостей. В настоящей работе ограничимся рассмотрением анизотропной функциональной связи вида
Сц = e„(Gke, Daке/Dt),
(1)
Ddij/Dt = d6jj/dt + CTie&ej - e
(2)
Do, Dt
= fii{eke, oke),
(3)
ijke
Ъц = - P&ij + &ij,
+ CTj = nijkeeke
ij ij ij
DSLke. Dt
(4)
деформации e¡j допускают спектральные разложения вида
j Z, em = Z eij, n -6
a=1
Da® ij a
T a-L +Gii
a Dt 1
a=1
(5)
здесь 5 у = рЪу + 5у — тензор динамических напряжений, а у — симметричный тензор напряжений, е у = (V, у + — симметричная часть градиента скорости. Характерной особенностью жидкостей является отсутствие касательных напряжений в состоянии покоя. Поэтому тензор напряжений, определяемый давлением р, изотропен. При спектральном представлении полного тензора напряжений а у давление определяется в
виде р = -ст(7/3. В определяющем уравнении (1) используется яуманновское определение скорости изменения напряжений
где Юу = (V,у - ^у-,)/2 — антисимметричная часть градиента скорости. В математическом отношении это простейшая инвариантная производная [23].
Соотношение (1) удобно разрешить относительно скорости изменения напряжений. В этом случае для напряжений получаем релаксационное уравнение первого порядка
Они представляются в виде суммы взаимно ортогональных тензоров
ake^ke = 0, e^eí = 0, если a Ф в (6)
Любой симметричный тензор второго ранга можно разложить на сумму попарно ортогональных симметричных тензоров [24]. Такое представление называется спектральным разложением тензора. Для изотропной жидкости спектральным разложением является представление тензора напряжений в виде суммы шарового тензора и деви-атора, которые ортогональны между собой.
Система уравнений (5) описывает собственные моды рассматриваемых анизотропных жидкостей, связанные с релаксацией напряжений.
Выражение Da6y/Dt = a°¡keD(jke/Dt определяет главные скорости изменения напряжений. Ортогональные напряжения ay и скорости деформа-
ции e¡¡ имеют вид
которое не содержит других производных, кроме первой. Из этого уравнения следует, что знание напряжения в начальный момент времени заменяет информацию о предыстории течения. Если градиент скорости не очень велик, то для жидкостей с произвольной анизотропией свойств из уравнения (3) получаем следующие компактные определяющие соотношения
Вязкоупругие свойства таких жидкостей характеризуются тензорами вязкости Цуке и времени релаксации 1уке. Они обладают той же внутренней симметрией, что и тензор упругости анизотропных твердых тел. В работе [21] показано, что в этом случае тензоры напряжений СТу и скоростей
"у
а а ~ а а
Яу = ауке<5 ке, еу = аукееке (7)
Разложения (5) основываются на спектральном представлении тензоров вязкости и времени релаксации. При исследовании их структуры большую роль играют идемпотентные и взаимно орто-
а
гональные тензоры а уке, для которых
Лукеак етп Лаа утп (8)
Такие тензоры называются собственными тензорами, а соответствующие им характеристические числа па — собственными значениями тензора вязкости. В рассматриваемом случае тензоры Цуке и туке коммутируют между собой и поэтому имеют общие собственные тензоры.
Спектрами тензоров называют совокупности их собственных значений. В общем случае спектры симметричных тензоров вязкости и времени релаксации состоят из шести действительных чисел. Некоторые из них могут совпадать друг с другом. Отсюда следует, что анизотропные жидкости можно классифицировать в зависимости от числа различных собственных значений па, та и их кратности. По числу различных собственных значений анизотропные жидкости можно разбить на группы, которые подразделяются на подклассы в зависимости от кратности собственных значений. Более детальная классификация анизотропных жидкостей должна учитывать
также вид собственных тензоров. В случае полной анизотропии все собственные значения, называемые главными вязкостями и временами релаксации, различны
П1 * П2 * Пз * П * П5 * Пб, X! * Т2 * Т3 * Т4 * Т5 * Тб Случай частичной изотропии определяется спектром собственных мод, состоящим из простых и кратных собственных значений
(9)
Пк
(10)
(11)
CTj + Sj,
где , <5д, — поперечная и две продольные (относительно директора) составляющие тензора напряжений. Собственные моды опреде-
ляются релаксационными уравнениями первого порядка
0 1 DHàj
Dlg у
Dt
+ <3у
Dt
■ + CTj
2ni ee
А\Рч 1 At
(13)
• + sj = |Y I
■ — Цтк •••, Тт —Тк — ... — Ттк ••• (к * т * ...) Анизотропные жидкости такого типа могут обладать одной или несколькими плоскостями изотропии. Вырожденным случаем является полностью изотропная жидкость, для которой все главные вязкости и времена релаксации равны между собой
Первые два уравнения относятся к эффектам сдвига, а третье дает соотношение для растяжения. Поперечный и продольные тензоры скоростей деформации имеют вид
4 = eij - 4 - Y j, Y j = 2 nkeeke(3nij - 5у ),
(14)
е.. = и. e ■
'he-ej
' eienej ^2nijkeeke
П1 = П2 = Пз = П4 = П5 = Пб,
Т1 = т2 = т3 = т4 = т5 = тб
В такой жидкости любое направление является главным. Поэтому изотропные жидкости можно рассматривать как частный случай анизотропных, обладающих полной симметрией свойств.
Спектральная теория позволяет также решить довольно сложную проблему сравнения тензорных свойств жидкостей. Анизотропия вязкоупру-гой жидкости тем меньше, чем ближе друг к другу все главные вязкости и времена релаксации.
ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНАЯ ВЯЗКОУПРУГОСТЬ
Гибкие цепные молекулы или образованные ими комплексы в ламинарном потоке ориентируются преимущественно в одном направлении. Поэтому далее растворы и расплавы гибкоцепных полимеров рассматриваются как анизотропные вязкоупругие жидкости, характеризующиеся одним предпочтительным направлением. Каждая частица такой сплошной среды помимо обычных трансляционных степеней свободы обладает также ориентационными (вращательными) степенями свободы. Направление преимущественной ориентации среды определяется единичным вектором п, который обычно называется директором.
Как показывает спектральный анализ [21], вязкоупругие свойства несжимаемой трансве
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.