ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 464, № 3, с. 279-283
ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ
УДК 62-50
АНИЗОТРОПИЙНАЯ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ НЕСТАЦИОНАРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ НА КОНЕЧНОМ ГОРИЗОНТЕ © 2015 г. В. Н. Тимин, А. П. Курдюков
Представлено академиком РАН А.Б. Куржанским 02.03.2015 г. Поступило 14.05.2015 г.
Решена задача многокритериальной анизотропийной робастной фильтрации на конечном горизонте для линейной дискретной нестационарной системы с наблюдаемым и оцениваемым выходами. Получено достаточное условие существования многокритериального оценивателя при ограниченности анизотропийных норм подсистем заданными пороговыми значениями. Алгоритм оценивания основывается на рекуррентном решении системы матричных неравенств.
Б01: 10.7868/80869565215270055
ВВЕДЕНИЕ
Одной из фундаментальных проблем в задачах управления и цифровой обработки сигналов является задача оценивания состояния системы или некоторого оцениваемого выхода системы на основе наблюдаемого зашумленного выхода. При синтезе фильтра Калмана [1], который является оценивателем состояния системы, предполагается, что модель динамики процесса и статистические характеристики шумов модели и измерения точно известны. Однако фильтр Калмана, минимизирующий след матрицы ковариаций ошибки оценивания, не является робастным, т.е. может потерять устойчивость при малых возмущениях математической модели системы [2].
Другим подходом к задаче фильтрации, отличным от построения фильтра Калмана (или оптимального Д2-фильтра [1]), является До-фильтр (см., например, [3]), который является робастным и учитывает неопределенность в модели объекта. Алгоритмы Дот-фильтрации принадлежат классу минимаксных алгоритмов, при которых минимизируется среднеквадратический коэффициент усиления по энергии для наихудшего случая входного возмущения.
Стратегии Д2- и Д^-оценивания базируются на различных предположениях о статистических характеристиках входных сигналов. В задачах Д2-оценивания предполагается, что внешнее возмущение является гауссовским белым шумом.
Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова Российской Академии наук, Москва E-mail: timin.victor@rambler.ru, akurd@ipu.ru
В задачах Дот-оценивания внешнее возмущение предполагается квадратично-суммируемым.
Д2- и До- фильтры эффективно функционируют в случае, когда входные возмущения имеют характеристики, соответствующие предположениям о них в соответствующих подходах. Применение Д2-фильтра (фильтра Калмана) в случае с сильно "окрашенным" входным возмущением, сильно отличающимся от гауссовского белого шума в смысле рассогласования Кульбака-Лейб-лера [4], обычно приводит к неудовлетворительным ошибкам оценивания, а Д^-оцениватель, рассчитанный на наихудший случай входного возмущения, при входном возмущении в виде белого или слабо "окрашенного" шума является излишне перестраховочным (консервативным).
Одно из направлений синтеза "промежуточных" оценивателей для линейных дискретных стационарных систем опирается на разработанную анизотропийную теорию стохастической оптимизации [5]. Синтез анизотропийного оценивателя сводится к решению уравнений Риккати [6] или линейных матричных неравенств [7-9].
В последние годы развивается подход к построению нестационарной теории анизотропий-ного робастного управления и фильтрации. В работе [10] были даны определения анизотропии случайного вектора и анизотропийной нормы системы, которые соответствовали новым задачам нестационарной анизотропийной теории управления и фильтрации на конечном горизонте. Следующей важной работой в построении анизотро-пийной теории для систем на конечном горизонте явилась работа [11], в которой была доказана теорема об ограниченности анизотропийной нормы для линейной нестационарной системы.
Результаты данной работы позволили подойти к задаче фильтрации для линейных нестационарных систем на конечном горизонте [12]. В работе [12] рассматривается частный случай, когда размерности оцениваемого выхода и внешнего возмущения совпадают.
Предлагаемая работа ставит и решает задачу многокритериальной анизотропийной робастной фильтрации на конечном горизонте для линейной дискретной нестационарной системы с наблюдаемым и оцениваемым выходами, используя свойства монотонности решения разностного уравнения Риккати [13] и метод рекуррентного решения разностных матричных неравенств [14].
КРИТЕРИИ ОГРАНИЧЕННОСТИ АНИЗОТРОПИЙНОЙ НОРМЫ В ТЕРМИНАХ МАТРИЧНЫХ НЕРАВЕНСТВ
Пусть дана линейная дискретная нестационарная система F0:N:
Ч+1
= Акхк + В^,
хп = 0,
(1)
1-к = СкХк + ОкКк, на целочисленном интервале к е [0,Щ] с состоянием хк е Кп, выходом гк ^ Кг и входом е Кт. Матрицы Ак, Вк, Ск, и Бк соответствующих размерностей при г < т являются известными и действительными. Обозначим через |||-?0:Щ|а а-анизо-тропийную норму системы F0:N на целочисленном интервале к е [0, Щ]. Поставим следующую задачу.
Задача 1. Для заданных матриц Ак, Вк, Ск, Бк в (1) и заданных чисел а > 0 и у > 0 найти условия, при которых |||/0:^||а < У •
Достаточные условия критерия ограниченности а-анизотропийной нормы заданным пороговым значением у сформулированы в терминах матричных неравенств в следующей теореме.
Тео р ема 1. Пусть дана линейная дискретная нестационарная система F0:N (1), вещественные числа а > 0 и у > 0. Тогда а-анизотропийная норма 11^11 < у, если существуют положительно определенные матрицы Рк = Рк > 0 для к е [1, Щ] и
¥к = ¥к > 0 для к е [0, Щ], удовлетворяющие матричным неравенствам
-Рк+1 0 АкРк 0 -и 21г СкРк РкАк РкСк -Рк 0
^к^к ВТ
к^к ш
Вк Ок
0
< 0,
(2)
¥ к IГ СкРк Бк
РкСк ОТ
-Рк 0 0 -1„
< 0,
N
П^ ^ к)
1 2а > ег
к=0
И
2Л
1 , И
N+1
(3)
(4)
с начальным условием Р0 — 0, где вещественное число ц > 0 принадлежит интервалу у-2(1 - е~2а/(т(Щ+1))) < < И-2 < т1и(у~2,||/0:Щ|;2).
Доказательство основывается на свойстве монотонности решения разностного уравнения Риккати [13] и применении леммы Шура.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИИ
Рассмотрим линейную дискретную нестационарную систему F0:N с вектором состояния хк е Кп, оцениваемым вектором гк е Мг, входным вектором
е Кт и измеряемым вектором выхода ук е Кр:
Хк+1 = АкХк + ^Вц^к, Хк=0 = 0,
I=1
ь
Ук = СУкХк + ТРу*™*, к е [0, N],
I=1
ь
Zk = С1кХк + ТР^к,
(5)
I=1
В, е Кпхт, Сук е
ррхп
с матрицами Ак е Кп
Бш е Кр™', Си е Кгап, е Кгхщ, где размерности удовлетворяют соотношениям г < т и т = т1 + + т2 + ...+ ть.
Пусть существует дополнительная априорная информация о статистических характеристиках каждого 1-го входного сигнала Щ, на основе которой можно ввести ограничение на уровень его анизотропии А(Щ) < а, где значение а1 будет определять меру статистической неопределенности входного сигнала Щ.
Задача 2. Определить оценки ^ — 1^к|к} выходной последовательности Z = {1к} по предыстории измерений выходной последовательности ¥= {у, у < к}.
Оцениватель Е будем искать в классе причинных дискретных линейных нестационарных систем следующей структуры:
ь
АНИЗОТРОПИЙНАЯ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ НЕСТАЦИОНАРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ 281
Пк+1 = АкПк + Кк(ук - СУкПк) = = (Ак - КкСУк)Пк + КкУк, П0 = 0
^к|к = СчПк + Мк(ук - СукПк) =
= (С,к - МкСук)Пк + МкУк,
где цк — оценка состояния системы (5) в момент к. Обозначим через Д = {пк} последовательность оценок состояния для всех целочисленных к е [0, N1.
Таким образом, последовательности матриц коэффициентов усиления Кк е Кпхр и Мк е Кгхп для к е [0,N фильтра или оценивателя выхода Zявля-ются неизвестными и подлежат определению. Из уравнений системы (5) и оценивателя (6) определим систему или оператор Тем, определяющую ошибку оценивания состояния Ех = X - Н = {б% = хк - цк} и оцениваемого выхода Е г = Z - Н = {б ^ = 1к - к\к} на интервале [0,
ь
е хк+1 = (Ак - КкСук )е х* + - КкБу1к М,
1=1
е хк=0 = 0, (7)
ь
е^ = (С^ - МкСук )ехк + Ж* - Мк^ук Мк.
=1
Ошибка оценивания бг ,к\к в момент к от /-го внешнего возмущения Щ из (7) определяется подсистемой ТЕ м следующего вида:
является суммой е ,к\к ошибок оценивания по
ь
(6) каждому /-му каналу в момент к, т.е. егк = г к.
¿=1
Задача многокритериальной субоптимальной анизотропийной фильтрации состоит в следующем.
З ад ач а 3. Для заданной системы (5) на интервале к е [0,N1, уровней анизотропии аI > 0 групп входного возмущения Щ и пороговых значений у(- > 0, / = 1, ..., Ь, на множестве оценивателей вида (6) найти фильтр или оцениватель Е выхода Z такой, чтобы для всех Ь каналов одновременно выполнялись неравенства на а/-анизотропийные нормы
ех„к+1 = (Ак - КкСук)ех„к + (Дк - КкВу., к,
- х,, к=0
= 0,
(8)
'г,-,к|к
=(С^ - МкСук)бх,к + ^ - МкОукм-к.
Каждая подсистема ТЕМ, входом которой является 1-е внешнее возмущение а выходом — ошибка оценивания ег ,к\к, определяет /-й канал. Каждая подсистема зависит от неизвестных и одинаковых для всех каналов матриц Кк и Мк коэффициентов усиления оценивателя (6). В силу
ь
линейности системы при условии е хк = ^е х ,к об-
=1
щая ошибка оценивания выхода б г,к\к в момент к
< Уь - =
1,2,..., Ь.
(9)
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИИ
Величина /-й составляющей ошибки оценивания ег ,к\к в момент к от /-й группы внешнего возмущения определяется значением а(-анизо-тропийной нормы подсистемы ТЕМ. с представлением в пространстве состояний (8). Структура разностных матричных неравенств (2)—(4) теоремы 1 такова, что позволяет непосредственное применение этой теоремы для поиска неизвестных последовательностей матриц Кк и Мк коэффициентов усиления оценивателя (6) в задаче многокритериальной фильтрации.
Справедлива теорема существования фильтра (6) выхода Z в терминах матричных неравенств при заданных у; > 0 пороговых значениях а(-ани-зотропийных норм по каждому каналу системы на заданном интервале времени к е [0,N].
Теорема 2. Пусть для линейной дискретной нестационарной системы с реализацией в пространстве состояний (5) на интервале [0, N заданы Ь чисел у(- > 0 и а! > 0. Оцениватель Е выхода Z с реализацией в пространстве состояний (6), гарантирующий одновременное выполнение Ь неравенств (9), существует, когда существуют положительно
т
определенные матрицы Р1к = Р1к > 0, к е [1, N] и
т
¥к = ¥,к > 0, к е [0,N], удовлетворяющие Ь
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.