ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2010, том 36, № 9, с. 843-848
НЕУСТОЙЧИВОСТИ ^^^^^^^^^^^^^^ ПЛАЗМЫ
УДК 533.951.8, 523.947
АНИЗОТРОПНАЯ МГД И НЕКОТОРЫЕ РЕШЕНИЯ
© 2010 г. В. Д. Кузнецов*, Н. С. Джалилов*, **
* Институт земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн им. Н.В. Пушкова РАН (ИЗМИРАН),
Московская область, Троицк, Россия ** Шамахинская астрофизическая обсерватория им. Н.Туси НАНАзербайджана, Баку
Поступила в редакцию 14.10.2009 г.
Окончательный вариант получен 18.02.2010 г.
В рамках анизотропной магнитной гидродинамики, основанной на 16-ти моментном приближении, проанализированы МГД-волны и неустойчивости бесстолкновительной плазмы с анизотропным давлением и показано их хорошее соответствие низкочастотному пределу кинетического описания. Установлено, что учет тепловых потоков приводит к асимметрии фазовых скоростей волновых мод по отношению к направлению теплового потока, к сильному взаимодействию мод между собой, особенно обратных мод (распространяющихся против направления теплового потока). Корректно описан порог зеркальной неустойчивости. При резонансном взаимодействии трех обратных мод (быстрые звуковые, медленные магнитозвуковые и медленные звуковые) в условиях возникновения классической шланговой неустойчивости возникает новой тип неустойчивости, максимальный инкремент которой превышает максимум инкремента обычной шланговой неустойчивости. Полученные результаты позволяют считать использованное приближение анизотропной МГД, в отличие от известного ЧГЛ-приближения, корректным для описания крупномасштабной динамики бесстолкновительной анизотропной плазмы (солнечная корона и солнечный ветер, ионосфер-но-магнитосферная плазма).
1. ВВЕДЕНИЕ
2. ВОЛНЫ И НЕУСТОЙЧИВОСТИ
Магнитогидродинамическое (МГД) описание космической плазмы широко применяется для изучения различного круга явлений — устойчивости магнитных конфигураций, ударных волн, течений, волновых процессов и т.д. В ряде случаев, когда плазма является бесстолкновительной, в ней заметную роль может играть анизотропия давлений, и тогда для описания динамики такой плазмы используются различные приближения анизотропной МГД [1—3]. Примерами таких сред являются плазмы солнечной короны, солнечного ветра, магнитосферы и ионосферы Земли. Хорошо известны ограничения анизотропной МГД в виде приближения Чу— Голдбергер—Лоу (ЧГЛ) [1]. Более последовательной и полной является анизотропная МГД на основе 16-ти моментного приближения [2]. Между тем вытекающие из этого приближения решения не были в достаточной мере изучены. Здесь мы рассмотрим некоторые из них, связанные с малыми возмущениями, и проведем сравнение с низкочастотным пределом кинетического описания, чтобы определить ограничения этого приближения и его корректность для МГД описания крупномасштабной динамики бес-столкновительной и анизотропной плазмы.
Исходим из приведенной в [2, 3] системы уравнений (см. также [4]). Эти уравнения, в отличие от ЧГЛ — МГД-уравнений, включают два дополнительных уравнения эволюции тепловых потоков и не предполагают сохранение двух адиабатических инвариантов. Рассмотрим линейные волны и неустойчивости однородной безграничной одножидкостной плазмы, характеризуемой параметрами У0, В0, ро, р10, р]]0, S\0 и ^, где У0 — отличная от нуля скорость течения плазмы вдоль магнитного поля (наблюдаемые течения в магнитных трубках в солнечной короне, в солнечном ветре и магнитосфере Земли), с которой связаны два тепловых потока £10 и £ц0. Здесь £10 — продольный тепловой поток, связанный с р10, а £ц0 — продольный тепловой поток, связанный с рц0. Вводим следующие обозначения: ю = ю0 + (У0 • к) — частота колебаний в движущей системе отсчета, к — волновое число, 0 — угол между волновым вектором и невозмущенным магнитным полем и
а = р±, с,2 = р,р= = ^, I = ес82 Рц Р 4прц с,,
Си к, С,,к „ SI
ю ю р,Си рс
(1)
где для простоты записи индексы "0" опущены. Линеаризация исходной системы уравнений при-
водит к двум независимым дисперсионным уравнениям, одно из которых описывает несжимаемые возмущения — прототипы альфвеновских волн (индекс fh от fire hose) и связанную с ними шланговую неустойчивость. Эти моды описываются известным дисперсионным уравнением
П2(а + р-1) = 1. Или
(!)
,2 f ! 2
к.' ^ "^
1 -
Pw - Pi
V
cos
(2)
С П8 + С6 П6 + с4 П4 + с2 П2 + Со + + т(с7 П7 + с5 П5 + Сз П3) = 0,
(3)
2.1. Продольное распространение
Для распространения волн вдоль магнитного поля (I = 1) дисперсионное уравнение (3) переходит в
(П2 - 1W - 1] [3(П2 - 1 + V2T3): X (п2 - 1 -V2/3) - 4уп3] = о,
где ц = а + в -1.
(4)
2pmag J
Апериодическая шланговая неустойчивость возникает, если а + в < 1 или если p > pL + 2pmag. Максимальный инкремент достигается при параллельном распространении, cos2 9 = 1. Свойства этих мод не изменяются при учете тепловых потоков. Здесь решение совпадает с ЧГЛ приближением и с соответствующим низкочастотным пределом кинетического решения [5, 6].
Второе дисперсионное уравнение описывает сжимаемые возмущения
где « = а2(1 — /), г = / — р — а(2 — /), с8 = 3(2« + г), с7 = -4(3« + г), с6 = 2«(2у2 — 5) + 3(1 — Зг), C5 = 4(« + + г — /), с4 = 2« + 7г — 9/, с3 = 4/, с2 = 7/ — г, с0 = —/. Коэффициенты этого уравнения с0-8 являются действительными функциями параметров а, р, у и I, и, следовательно, решения являются либо действительными, либо комплексно сопряженными. При ненулевых начальных потоках, у ф 0 (у х V0/cn), присутствие нечетных коэффициентов с3, с5 и с7 приводит к тому, что комплексные
фазовые скорости V = 11/2/п становятся разными для волн, бегущих вдоль или против теплового потока, т.е. имеет место асимметрия волн в отношении распространения волн относительно теплового потока. Формально это связано с тем, что в дисперсионном уравнении слагаемое, пропорциональное у, содержит нечетные степени волнового вектора к, поэтому одновременная смена знака у к и у не меняет уравнения, а в противном случае дисперсионное уравнение изменяется. Причина такой асимметрии, как можно установить из исходных уравнений, в том, что при наличии тепловых потоков (течений) возмущения давления плазмы при распространении вдоль и против теплового потока будут различаться, что и отражается в свойствах волн.
Рассмотрим некоторые случаи, для которых уравнение (3) может быть решено аналитически.
2.1.1. Беспотоковый случай, у = 0. Ввиду у = 0 моды не зависят от направления и являются симметричными. Идентификация мод зависит от значения параметра ц. При у = 0 максимальное
2
значение п определяется последним множителем уравнения (4) и при ц < ц0 = 1 /(1 + ^2/3) колебания с минимальной фазовой скоростью определяются из второго множителя уравнения
(4). В этом случае решение ц = 1 соответствует быстрым звуковым модам (аналог ионнозвуковой ветви в кинетике) с фазовой скоростью
V/2 = Vph/ с,2 = 1/п2 = 1, а цп2 = 1 описывает медленные магнитозвуковые (ММЗ) моды с фазовой
2 2
скоростью Vsm = 1/п = а + р -1. Третий множитель в уравнении (4) дает решение п2 = 1 - V 2/3 (фазовая скорость V/m = 1/п2 = 3(1 + V2/3)), которое соответствует быстрым магнитозвуковым
(БМЗ) модам, а четвертое решение П ! = 1 + 72/3
(фазовая скорость V^s = 1/П = И о) — медленным звуковым модам. В этом случае неустойчивость возможна только для ММЗ-мод при ц < 0. По сравнению с ЧГЛ-приближением появляются две дополнительные моды, связанные с включением в исходные уравнения двух тепловых потоков. Фазовые скорости этих двух быстрых и медленных звуковых мод (обозначим их метками / и ) находятся между модифицированными фазовыми скоростями быстрых и медленных магнито-звуковых мод (обозначим последние метками /т и sm). На фазовой диаграмме для этих мод применимо следующее соотношение между фазовыми
скоростями Vs2m < V,2 < V/2 < V/m. Здесь знак "<" указывает на то, что при некоторых значениях параметров волновые ветви могут пересекаться (резонансные области). Положение волн альфве-новского типа на фазовой диаграмме произвольно и определяется значениями параметров а, р и I. В рассматриваемом случае (ц < ц0) моды альф-веновского типа сливаются с ММЗ-волнами:
V/ = Vs2m. С ростом ц фазовая скорость мод альф-веновского типа может совпадать с фазовой скоростью каждой из указанных выше мод. Например, если ц = 1/(1 - д/2/3), тогда V/ = V/m.
2.1.2. Случай ненулевых начальных потоков,
у ф 0. В кинетическом приближении случай у ф 0 соответствует выбору начальной функции распределения со сдвигом по скорости, т.е. несимметричной функции, означающим ненулевой поток плазмы и тепла.
При уф 0, наряду с двумя симметричными модами, определяемыми первыми двумя множителями уравнения (4) и рассмотренными в предыдущем разделе, третий множитель в (4) дает четыре решения, которые соответствуют асимметричным модам, распространяющимся вдоль и против теплового потока. Для рассмотренного в предыдущем
разделе случая ц < ц0 = 0.55 это прямая (Vfm) и обратная (Vfm) БМЗ, и прямая (Vs+) и обратная (Vs-) медленная звуковая мода.
Для у ф 0, помимо зеркальной (mirror), возможно возникновение еще одной неустойчивости. В этом легко убедиться, рассмотрев предел
Y > 1. В этом случае четыре решения, зависящие
от y , имеют вид: V1 ~ 3/4y 1, V2 ~ (4y)13 1,
V3 4 ~ (4y)13(- 1 ± /л/3)/2, и последнее решение дает колебательную неустойчивость. Для положительных фазовых скоростей получим: V+ = V1 <§ 1, Vf = 1, Vfm = V2 > 1. Для отрицательных скоростей: Vs- = -1, Vfs = ReV), Vfm = Re(V^). Отсюда можно сделать вывод об основной роли тепловых потоков: 1) обратные звуковые моды являются более быстрыми, чем прямые звуковые волны,
I Vs> V+ и | V- > Vf+; для БМЗ-мод мы имеем обратную ситуацию: прямые БМЗ-моды распространяются в два раза быстрее, чем обратные
БМЗ-моды, Vfm = 2|Vfm|; ММЗ-моды остаются симметричными; если стремить у к нулю, то асимметрия мод исчезает; 2) неустойчивость имеет резонансное происхождение, она развивается, когда две или более моды пересекаются. Апериодическая зеркальная неустойчивость возникает при нулевых фазовых скоростях ММЗ-мод,
V sm = Vsm = 0. Колебательная неустойчивость возникает, если обратные быстрые звуковые и обратные БМЗ-моды взаимодействуют м
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.