М ЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 5 • 2015
УДК 532.529.2
АНИЗОТРОПНОЕ ВЛИЯНИЕ ЕСТЕСТВЕННОЙ КОНВЕКЦИИ
НА ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ В ЕМКОСТИ ПРИ НАЛИЧИИ УСТОЙЧИВОЙ ТЕМПЕРАТУРНОЙ СТРАТИФИКАЦИИ
© 2015 г. А. В. АНАНЬЕВ, В. В. МИРОНОВ, Л. А. МОИСЕЕВА, С. Г. ЧЕРКАСОВ
Исследовательский центр им. М.В.Келдыша, Москва e-mail: lida.moiseeva@mail.ru
Поступила в редакцию 28.11.2014 г.
Проведено численное моделирование нестационарной естественной конвекции в вертикальной цилиндрической емкости при подводе тепла сверху и сбоку. Выявлено анизотропное влияние интенсивной конвекции на поле температур. Показано, что температура в стратифицированной области хорошо описывается одномерным нестационарным уравнением теплопроводности с объемным источником тепла.
Ключевые слова: естественная конвекция, температурная стратификация, численное моделирование, локальная автомодельность.
Нестационарная естественная конвекция в вертикальной цилиндрической емкости изучается достаточно давно, в том числе и методами математического моделирования [1]. Наиболее простой для данного класса задач случай подвода тепла к жидкости — боковой [2], наиболее сложный — сбоку, сверху и снизу [3]. Дело в том, что при подогреве жидкости снизу образуется неустойчивая температурная стратификация, порождающая, как правило, конвективные структуры в виде нерегулярно всплывающих термиков, и задача становится трехмерной. Промежуточное положение занимает случай одновременного подвода тепла сбоку и сверху. Именно такая ситуация наиболее интересна с точки зрения некоторых технических приложений, например, связанных с хранением криогенных жидкостей в баках и емкостях различного назначения [4, 5].
По сравнению с предыдущими публикациями [6, 7], посвященными нестационарной конвекции в вертикальном цилиндре при комбинированном (сбоку и сверху) подводе тепла к жидкости, данная статья имеет два существенных отличия. Во-первых, в предыдущих публикациях основное внимание уделялось характеристикам конвекции при большом времени прогрева, в частности квазистационарному режиму, в котором течение становится стационарным, а скорость роста температуры жидкости одинакова во всех точках. В данной статье предмет исследования — существенно нестационарная стадия процесса при относительно небольшом времени прогрева. Во-вторых, ранее подвод тепла к жидкости сверху задавался в виде равномерно распределенного по свободной поверхности удельного теплового потока. При этом распределение температуры по свободной поверхности получалось из расчета, и было неоднородным. Отметим, что для указанных выше технических приложений наибольший интерес представляет случай, когда газ над жидкостью — только пар самой жидкости. В такой ситуации фазовые переходы эффективно препятствуют образованию температурных неоднородностей вдоль поверхности раздела фаз, поэтому в данной статье предполагается, что температура свободной поверхности жидкости изменяется во
времени неизвестным заранее образом, оставаясь однородной. Кроме того, заданная величина — средний по площади удельный тепловой поток, подводимый к жидкости через свободную поверхность. Такая постановка граничного условия не традиционна. Для ее численной реализации предложен специальный вычислительный алгоритм.
1. Постановка задачи. Рассматривается нестационарная ламинарная естественная конвекция в вертикальном цилиндрическом сосуде радиуса Я, частично заполненном жидкостью до высоты Ь. Свободная поверхность жидкости предполагается плоской при отсутствии на ней трения. Предполагается также, что поля скорости и температуры осесимметричны, угловая составляющая скорости отсутствует.
В начальный момент времени жидкость неподвижна и однородно прогрета до температуры Т0. Дно емкости теплоизолировано. На боковой стенке задан постоянный во времени и равномерно распределенный по площади удельный тепловой поток На свободной поверхности жидкости заданная величина — средний по площади удельный тепловой поток qs. Предполагается однородность температуры на этой поверхности в процессе нагрева.
Система уравнений естественной конвекции (двумерные нестационарные уравнения Навье—Стокса в приближении Буссинеска [8]) в переменных вихрь — функция тока — температура (ю, у, 9) имеет следующий безразмерный вид:
1 ( дю , , (дю ю\ . дю| т. 59 . д2ю . 1дю . д2ю ю ¡л
—I--+ и I---) + ы— I = Ка--1--- +----1--- —- (1.1)
Рг^д/о \дг г/ дг) дг дг2 г дг дг г
дV 1ду , дV /1 0ч
2 + 2 = ®г (1.2)
дг г дг дг
г ж+д (гив)+д (г^в)=д (г щ+г дв (1.3)
дЬо дг дг дг\ дг/ дг
0 = /-('/'- т0) Ка = 4
qWR уаХ
Здесь и, м — составляющие скорости по осям г, г соответственно (ось г направлена вверх), 9, Т — безразмерная и размерная температуры жидкости; Бо — число Фурье (безразмерное время); Яа, Рг = v/a — числа Рэлея и Прандтля; X, в, а — коэффициенты теплопроводности, теплового расширения и температуропроводности жидкости, V — кинематический коэффициент вязкости; g — ускорение массовой силы. В качестве
масштабов длины, времени и скорости используются величины R, R /а и a/R соответственно. Безразмерные координаты при этом изменяются в диапазонах: 0 < г < 1, 0 < г < Н = L/R. Вихрь ш и функция тока у введены соотношениями
ды ди 1 ду 1 ду
ю =---, и =---, ы = —-
дг дг г дг г дг
Динамические граничные условия для рассматриваемой задачи имеют следующий вид:
Ч г=0 = М г=1 = Ч г=0 = Ч ,=Н = 0 (1.4)
= 1 г=0 = 1 1=Н _ 0 (1.5)
ду дг
_ ду
г=1 дг
г=0
4 Механика жидкости и газа, № 5
Тепловые граничные условия для уравнения энергии (1.3):
= 1
59 дг
г=0
д9
дг
= 0, —
г=0
12г
д9
дг
йг = у,
г=Н
дг дг
г=1
= 0
0
У = ^, =9| г=н
Начальные условия:
®1 Бо=0 = Ч Ро=0 = 91 Ро=0 = 0
2. Численный метод. Для численного решения задачи (1.1)—(1.3) используется метод сеток. Сетка для вихря и функции тока (основная сетка) строится обычным образом: так, чтобы крайние узлы сетки совпадали с границами расчетной области. Шаги основной сетки по вертикали I задаются постоянными, а шаги сетки по радиусу Н1 — переменными. Сетка для температуры строится таким образом, что внутренние узлы для температуры располагаются в центрах ячеек, образованных основной сеткой. Кроме того, вводятся дополнительные узлы для температуры, расположенные вне расчетной области, на таком же расстоянии от границ расчетной области, что и ближайшие внутренние узлы.
Для численного решения уравнений переноса вихря (1.1) и энергии (1.3) используется метод переменных направлений, позволяющий применять алгоритм скалярной прогонки. В уравнении переноса вихря в направлении, вдоль которого на данном полушаге по времени выполняется прогонка, используется монотонная аппроксимация конвективных членов [9]. В уравнении энергии, записанном в дивергентной форме, в направлении применения прогонки используется аппроксимация конвективных членов [10]. Она представляет собой модификацию монотонной аппроксимации на случай такой формы уравнения. В направлении, по которому на данном полушаге прогонка не выполняется, конвективные члены в обоих уравнениях аппроксимируются симметричными разностями. Разностное уравнение для функции тока решается методом разделения переменных. Для этого функция тока и правая часть уравнения представляются в виде дискретных рядов Фурье по оси г. Для суммирования рядов используется алгоритм быстрого преобразования Фурье [11]. Условия прилипания на твердых границах реализуются в соответствии с методикой Грязнова—Полежаева [12], для чего после решения разностного аналога уравнения (1.2) с граничными условиями (1.4) значения функции тока в узлах, отстоящих на один шаг основной сетки от твердых границ, "подправляются" по формулам, обеспечивающим аппроксимацию условий прилипания (1.5) с третьим порядком точности. Подробности разностной схемы изложены в работах [1, 10]. Оригинальный элемент данной работы — граничное условие для температуры на поверхности жидкости в форме (1.8). Для его численной реализации используется специальный вычислительный алгоритм.
Расчеты проводились на сетке, имеющей 75 узлов по горизонтали и 129 узлов по вертикали. Шаг сетки вдоль радиуса был минимальным у стенки и равнялся 0.0025. Шаг по времени составлял 10-5. Расчеты выполнялись при фиксированных значениях числа Прандтля Рг = 1 и степени заполнения Н = 2.
3. Результаты численного моделирования и их анализ. Рассмотрим предварительно ситуацию, когда тепло подводится к жидкости только сверху и сила тяжести отсут-
ствует. Тогда жидкость прогревается сверху вниз, и одномерное поле температуры Т1 описывается следующей задачей теплопроводности:
дТ1 д % —1 =а—1,
д1
дZ2
д% дZ
= 0, X
Z=0
д% дZ
= Чб ,
Z=1
Т1\I=0
= %0
(3.1)
Здесь ^ — размерные время и вертикальная координата. Отметим, что и при наличии силы тяжести прогрев жидкости описывался бы задачей (3.1), поскольку при одномерном прогреве жидкости сверху вниз конвекция не возникает. Таким образом, генератор конвективного течения в рассматриваемых условиях — одновременное наличие силы тяжести и бокового подвода тепла.
Рассмотрим теперь случай, когда боковой подвод тепла имеется, но конвекция отсутствует по причине отсутствия силы тяжести. При этом уравнение энергии (1.3) превращается в двумерное нестационарное уравнение теплопроводности
= -д (г 20) + г
дг
59
дБо дг \ дг
(3.2)
В дальнейшем для анализа влияния конвекции на температурную стратификацию, т.е. на распределение температуры в вертикальном направлении, будем использовать среднюю по горизонтали температуру жидкости
Ф = 12г 9йг
(3.3)
Интегрируя (3.2) по радиусу с учетом граничных условий, получим следующую одномерную задачу теплопроводности для температуры ф:
5ф = 52ф 2 дф
дБо дг
дг
г=0
= 0, 5Ф
дг
г=н
= У, ф Ро=0 = 0
(3.4)
Запишем теперь одномерную задачу (3.1) в безразмерном виде, используя те же масштабы безразмерных величин, что и в уравнении (3.4)
591 5Бо
5291 " дг2'
59
дг
= 0,
г=0
591 дг
= ^ 91 Ро=0 = 0
(3.5)
г=Н
Сравнивая (3.4) и (3.5), видим, что решение задачи (3.4) можно записать в виде
ф = 91 + 2Бо (3.6)
Поскольку в одномерной задаче ф = 9, из (3.6) следует, что при отсутствии конвекции добавление бокового
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.