ВЕСТНИК ЮЖНОГО НАУЧНОГО ЦЕНТРА Том 10, № 3, 2014, стр. 10-17
= МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
УДК 539.3
АНТИПЛОСКАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТОУПРУГОГО СЛОЯ
© 2014 г. М.О. Леви12, К.Л. Агаян3, Е.И. Ворович4
Поступила 18.04.2014
Рассмотрена динамическая задача о колебаниях электромагнитоупругого слоя под действием электрического потенциала, приложенного к невесомому гибкому электроду или штампу, находящемуся на поверхности среды. Среда выполнена из композитного материала с классом симметрии 2тт и геометрически представляет собой слой высотой к, верхняя граница которого предполагается электрически открытой и свободной от напряжений, нижняя граница электрически закрыта и жестко защемлена. Методами операционного исчисления задача сведена к интегральному уравнению первого рода. Построена функция Грина задачи о колебаниях среды под действием обобщенной нагрузки, исследованы ее свойства. Установлено влияние магнитных граничных условий на параметры контактного взаимодействия электрода с электромагнитоупругой средой для различных безразмерных частот. Исследованы свойства ядра интегрального уравнения. Решение интегрального уравнения строится обобщенным методом фиктивного поглощения. Численно получен результат распределения зарядов под электродом при заданном начальном потенциале в зоне контакта электрода для безразмерных частот ~ = 1,628; 2; 5. Проанализирована реакция среды при различных граничных условиях на поверхности и у основания слоя для разных символьных ядер интегрального уравнения. Все результаты исследования оформлены в виде графиков.
Ключевые слова: динамика, электромагнитоупругость, магнитное поле, сдвиговые волны, функция Грина, контактное взаимодействие, реакция среды, фиктивное поглощение.
ВВЕДЕНИЕ
В работах [1, 2] рассмотрены смешанные антиплоская и плоская задачи о взаимодействии одиночного электрода с электроупругим слоем. Исследовано влияние размерных параметров на распределение плотности заряда под электродом. В [3, 4] рассмотрены задачи контактного взаимодействия
1 Южный научный центр Российской академии наук (Southern Scientific Center of the Russian Academy of Sciences), 344006, г. Ростов-на-Дону, пр. Чехова, 41; e-mail: kalin@ssc-ras. ru
2 НИИ механики и прикладной математики им. И.И. Воро-вича Южного федерального университета (Southern Federal University, Research Institute MiPM I.I. Vorovich), 344090, г. Ростов-на-Дону, пр. Стачки, 200/1; e-mail: moderx@mail.ru
3 Институт механики Национальной академии наук Республики Армения (Institute of Mechanics of the National Academy of Sciences of Armenia), 375019, Республика Армения, г. Ереван, пр. маршала Баграмяна, 24б.
4 Донской государственный технический университет (Don State Technical University), 344000, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1.
полуограниченной электромагнитоупругой среды с движущимся штампом плоской и цилиндрической формы, а также с учетом различных условий на ее поверхности. Исследовано влияние магнитных условий на характеристики контактного взаимодействия. В работе [5] рассматривалась динамическая задача для предварительно напряженной магни-тоупругой полуограниченной среды, изучалось влияние начальных напряжений на спектральные характеристики задачи при различных магнитных граничных условиях. В работе [6] исследовано влияние начальных напряжений на динамику электроупругих сред без учета магнитного поля. В настоящей работе рассматриваются сдвиговые колебания электромагнитоупругого слоя, выполненного из материала класса 2тт, под действием осциллирующего электрического потенциала, приложенного к одиночному электроду. Исследуется влияние различных магнитных граничных условий на параметры процесса динамического взаимодействия.
1. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА О СДВИГОВЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЭЛЕКТРОМАГНИТОУПРУГОГО СЛОЯ
коэффициентами диэлектрической и магнитной проницаемости, а также магнитоэлектрическими коэффициентами, имеющими размерность Су [Н/м2], в у [Кл/м2], /у [Н/Ам], £у [Кл2/Нм2], Пу [Нс2/Кл2], gy [Н*с/В*Кл] (1,у = 1, 2, 3). Далее перейдем к без-
Введем в рассмотрение систему координат х1, х2, х3 и расширенные векторы перемещений [7] и = {м3, размерным параметрам, используя соотношения {, }} и напряжений д = {^3, ^5}где м3, q3, (к = 3) -компоненты векторов механических перемещений и напряжений, {, q4 - электрический потенциал и плотность распределения электрического заряда, }, q5 - магнитный потенциал и плотность распределения магнитного заряда. Рассмотрим задачу о сдвиговых колебаниях электромагнитоупругого слоя, занимающего область | х 1 | < з, | х31 < з, 0 < х2 < И, под действием обобщенной нагрузки (м - частота
колебаний, ? - время) дв = {q3в~т', q4в}, распределенной в области X на поверхности среды. Вне этой области поверхность среды свободна от механических напряжений, свободные заряды отсутствуют.
Краевая задача о сдвиговых колебаниях элек-тромагнитоупругого слоя описывается уравнением движения слоя [8, 9] (нижним индексом после запятой отмечены производные по соответствующей координате)
е15 = е15 ? с44 е 24 = е 24 A с44
f15 = ~ f15 f ? с44 f24 = f24 ' f ? с44
f11 = f11 ü ? с44 f 22 = f 22 с44
П11 = П11 f ? с44 n22 = П22 f с44
g'11 = ki g 22
g11 ? с44 = g 22 с44
h' = 1, p' = 1, ~
Vse
ке = 1010Н/Кл kf = 107 м/А kg = 109B ■ Кл/м2 ■ c.
sef
^7 ,,/л и _1Л91
(с55 u 3,1+ е 15 ф,1 +f15 }д) + + (с 44 u 3,2 + е 24 ф,2 +f24 },2),2 = t
ô2 u 3
dt2
уравнением электростатики
(e15 u 3,1 - f11 Ф,1 - g 11 },l),1 +
+ (e24u3,2 - f22Ф,2 - g22 $ },2),2 =
уравнением магнитостатики
(/15 U3,1 - g 11 {,1 - П11 },1),1 + + (f24 u3,2 - g22{,2 - П22 $ },2),2 = 0,
(1)
(2)
(3)
механическими и электрическими граничными условиями на поверхности слоя x2 = h:
q3, x 1, Х3 ! X,
С 44 U 3,2+ e 24 {,2 +/24 },2 = '
е24 u 3,2 - f 22 Ф,2 — g22 },2
[0, X1, X3 g X, q 4, X1, X3 ! X,
0,
X ъ X3
g X,
и на основании слоя х
2
0
u3 = 0, ф = 0.
(4)
(5)
(6)
Здесь Vsef - скорость сдвиговой волны в электро-магнитоупругой среде, ke, k, kg - обезразмерива-ющие константы. Линейные параметры отнесены к характерному размеру задачи, плотность - к характерной плотности среды. Ниже будут рассматриваться следующие задачи 1-4 в зависимости от магнитных граничных условий.
x2 = h: } = 0, |x1|,|x31 < 3, 1. MC/MC " j (7)
[x2 = 0: } = 0, |x 1|,|x31 < з;
x2 = h: f24(u2,3 + u3,2) - g22{,2 - П22},2 =
= 0, | x1 |, | x31 < 3,
x2 = 0: /24(u2,3+ u3,2)- (8)
- g22{,2- П22},2 = 0, |x 1|,|x3 | < 3; x2 = h: } = 0, |x 1|,|x31 < 3,
x2 = 0:/24(u2,3 + u3,2) - g22{,2 - П22},2 = = 0,| x1 |, | x 3|< 3;
(9)
x2 = h: f24(u2,3 + u3,2) - g22{,2 - П22},2 = = 0, |x 1 |, |x31 < 3,
x2 = 0:} = 0, |x 1|,|x31 < 3.
2. MO/MO
3.MC/MO
4. MO/MC
(10)
Обозначения МО и МС соответствуют магнитоот-Участвующие в формулах (1)-(6) константы с у, крытым и магнитозакрытым граничным условиям
в,, /, являются компонентами соответственно тен-
Ч ^ У
зоров упругих, пьезоэлектрических и пьезомаг-нитных констант материала, константы еу, п у, giy -
на верхней и нижней гранях слоя соответственно. Поскольку колебания предполагаются установившимися, происходящими по гармоническому зако-
ну, все функции представляются в виде Г = Г0 е '. Далее экспоненты и штрихи опущены.
2. РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
Применим к системе уравнений (1)-(3) преобразование Фурье по координате х1 (а - параметр
преобразования Фурье; = 'аП; -д—^ = -а2 V).
дх 1 дх 1
Получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений
С55 $ С-«2 U3)+ С44
д U3 дх 2
+ е 15 $ (-a2 Ф)+ е24
д2 Ф^, , д2 W 2
■+/i5 $ (-a2 W)+f24 - —2
е 15 $ (-a2 U3)+ е24
- вп $ (-a2Ф) + в22д Ф ~ ' -2
дх 2
д2Ф
дх2
fi5 $ (-a2 U3)+f24
д2 U3 дх2
дх 2
д2Ф
- gii $ (-a2 W)- g22
дх 2 д2 W
■ = -рм2 U3
- gii $ (-a2Ф) + g22 ~ - nii $ (-a2 W) - П22 дх 2
дх 2
д2 W дх 2
-Ах i),
0.
(ii)
Решение системы уравнений (11) будем искать в разованные по Фурье граничные условия (4)-(10).
Получим систему линейных алгебраических уравнений, которую представим в матричном виде [10] A • C = Q, (14)
где C = {С1, С2, С3, С4, С5, С6} - искомые коэффициенты, Q = {^3, Q4, Q5, 0, 0, 0} - компоненты вектора нагрузки.
Матрица А для задачи 1 имеет вид
111 112 52 113 53 111 С1 112 с2 113 с3
121 122 52 123 53 121 С1 122 с2 123 с3
у51 51 У52 s2 У53 53 У51 с 1 У52 с2 у53 с3
A = '
виде (к = 1, 2, 3)
3
V3(a, х2) = /У3к[Ск сЬ $кх2 + Ск+3сЬ вкх2 ],
к =1
3
Ф(а, х 2) = / у 4к [ Ск сИ + Ск+3 сИ ад], (12)
к =1
3
а, х2) = /У5к[СксИскх2 + Ск+3 сИскх2] .
к =1
Постоянные Ск находятся при подстановке выражений (12) в преобразованные по Фурье граничные условия (4)-(6) и в зависимости от типа задачи -условия (7)-(10).
Участвующие в формулах (12) параметры бк удовлетворяют характеристическому уравнению
с44 с55 а2+ Р~2 е24 е 15 а2 ¡24 ^ - /15 а2
е24 v2- еi5a2
f24 V - fi5a2
-822v2 + Siia2 -g22v2+ giia2 -g22 v2k+ gii a2 -П22 v2 + nii a2
= 0 .
где
(i3)
Неизвестные ypk (k = i, 2, 3) являются нетривиальными решениями системы
(С44 v2 - С55 a2 + Р~2)У3k + (е24 v2 - е i5 a2)У4k + + (f24V - fi5a2)y5k = 0,
(c24 v2 - еi5 a2)У3k + (-822 v2 + 8ii a2)У4k +
+ (-g22 v2+ gii a2)y5k = 0,
(f24V2 - fi5a2)У3k + (-g22 v2+ gii a2)y4k + + (-П22 v2 + nii a2)y 5k = 0.
У 3i У 32 У 33 0 0 0
У 4i У 42 У 43 0 0 0
. У 5i У 52 У 53 0 0 0
l ik = c44 y3k + е24y4k +f24y5k ,
12k = С24y3k - 822y 4k f22y5k ,
(i5)
13к с24У3к - §22у4к - П22 у5к ,
зр = ар $Ъ(арЬ), ср = ^ сИ(ар к).
Дисперсионное уравнение задачи представляется выражением
det(A) = 0.
Решая систему (14) относительно Ск, получаем следующие формулы (к = 1, 2, ..., 6):
( Д^3+ A2kQ4+ ДзkQ5)
Ck
An
(i6)
Для отыскания неизвестных коэффициентов Ск где Д0 = det ^ Дш - алгебраическое дополнение подставим представление решения (12) в преоб- элемента матрицы A с номером 'к.
С учетом выражений (12), (13) и (14) решение краевой задачи 1 представляется в виде
и(х 1, X2)
1
^ /к(X1- Р,
- р, x2, м)д(Р)dp, (17)
В случае, когда в области x1 £ [-1, 1] на поверхности слоя задано распределение потенциала Ф(х^ = ф0, в выражении (17) необходимо положить x2 = И. В этом случае формулы (17) и (18) представляются в виде 1
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.