АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК, 2011, том 45, № 6, с. 552-559
УДК 523.98
АППРОКСИМАЦИЯ 11-ЛЕТНИХ ЦИКЛОВ СОЛНЕЧНОЙ АКТИВНОСТИ
© 2011 г. Е. М. Рощина, А. П. Сарычев
Государственный астрономический институт им. П.К. Штернберга, МГУ, Москва
Поступила в редакцию 03.02.2011 г.
Предлагается аппроксимировать каждый 11-летний цикл солнечной активности функцией с тремя свободными параметрами. Первый параметр задает положение цикла на оси времени. Второй показывает продолжительность фазы роста индекса активности, а третий — максимум сглаженного значения индекса. Для циклов №№ 8—23 значения этих параметров в целом не противоречат аналогичным по смыслу характеристикам цикла, полученным из наблюдений стандартным способом.
ВВЕДЕНИЕ
Задача аппроксимации изменений солнечной активности внутри 11-летнего цикла была поставлена более 70 лет назад. В работе Stewart и Panofsky (1938) начальный рост активности было предложено аппроксимировать степенной функцией, а спад активности — экспонентой:
R (t) = a (t -t0) e
b -c(t-to)
(1)
(
R(t) = a (t -10)3
\
-i
- const
(2)
У
где a, b, t0 — эмпирические параметры; const — фактор асимметрии, одинаковый для всех циклов. Недавно Волобуев проанализировал выбранную им ап-
проксимирующую функцию, возрастающую как квадрат времени, а затем убывающую пропорционально экспоненте этого квадрата (Волобуев, 2008; \0lobuev, 2009):
R(t) = | ^
t—o Td ) 2
(3)
Здесь R(t) — зависимость относительного числа пятен от времени; t0 — стартовое время цикла, отождествляемое с моментом минимума активности; a, b, c — эмпирические параметры. Функцию (1), как и аппроксимирующие функции иного вида, обычно используют для анализа формы прошедших циклов и для прогноза наступающих циклов (Волобуев, 2009; Elling, Schwentek, 1992; Hathaway и др., 1994; De Meyer, 2003; VOlobuev, 2009). Длительные вариации индекса солнечных пятен можно представить в виде цепочки частично перекрывающихся функций, каждая из которых задается небольшим числом параметров. Характеристики некоторых аппроксимирующих функций из ранних публикаций содержатся в монографии Витинского, Копецкого и Куклина (1986). Работы (Nordemann, 1992; Nordemann, Triwedi, 1992; Li, 1999; Lasheng и др., 2005; Sa-barinath, Anilkumar, 2008) дополняют список статей последних десятилетий, посвященных математическому описанию формы 11-летних циклов.
В работе Hathaway и др. (1994) было предложено описывать цикл функцией, сначала возрастающей пропорционально кубу времени, а затем убывающей как экспонента квадрата времени:
Здесь Ts, Td — эмпирические параметры, имеющие размерность времени. Было найдено, что эти параметры связаны зависимостью, близкой к линейной. Волобуев (2008) показал, что погрешности аппроксимации для функций (2), (3) близки по величине и что они меньше, чем при аппроксимации функцией вида (1), которая подробно исследована De Meyer (2003).
В следующем разделе функция (3) будет преобразована так, чтобы ее свободные параметры одновременно являлись традиционными характеристиками цикла, определяемыми из наблюдений. Здесь же будут рассмотрены основные свойства этой функции. В третьем разделе статьи, основываясь на опубликованных результатах регулярных наблюдений, найдем значения свободных параметров для циклов №№ 8—23 по цюрихской нумерации. Четвертый раздел посвящен сравнению этих параметров с аналогичными по смыслу традиционными характеристиками цикла, известными из наблюдений. В последнем разделе будут сформулированы основные выводы из настоящей работы.
СВОЙСТВА АППРОКСИМИРУЮЩЕЙ ФУНКЦИИ
Функцию (3) можно преобразовать к виду, более соответствующему рассматриваемой задаче. Для этого обозначим символом Ям величину Ям =
= (Т/Т)2/г, а величину Та обозначим буквой Т без индекса. Теперь функция (3) приобретает такой вид
R (t) = R
■M
t -10
(4)
В дальнейшем предполагается, что функция (4) равна нулю при I < 10. Легко установить, что ЯМ является максимальным значением функции (4), которое достигается при I = 1М = 10+Т. Величина Т показывает промежуток от стартового времени цикла 10 до момента максимума 1М, т.е. продолжительность ветви роста цикла. Все три параметра 10, Т, ЯМ функции (4) представляют общепринятые характеристики 11-летнего цикла: 10 — начало цикла; Т— длительность фазы роста; ЯМ — максимальное для данного цикла значение индекса активности Я. Заметим, что параметр 10 функции (4) может не совпадать с месяцем минимальной активности Солнца, который обычно считается началом очередного цикла. Различаться могут также общепринятые значения Т, ЯМ и соответствующие параметры функции (4). Вообще говоря, аппроксимацию (4) можно рассматривать как способ определения традиционных характеристик цикла 10, Т, ЯМ. Это свойство функции (4) выделяет ее из других аппроксимирующих функций. Функция (4) получена путем тождественного преобразования функции (3) и замены заранее заданной величины 10 в функции (3) на свободный параметр 10 аппроксимации (4). Использование трех свободных параметров вместо двух должно улучшить качество аппроксимации.
При анализе функции (4) можно использовать ее сходство с функцией распределения Максвелла по тепловым скоростям частиц. Чтобы выявить это сходство, нужно разделить функцию (4) на величину интеграла
г!/2
jR (t) dt = ey-RMT » 1.205RMT.
(5)
teff = t0 + j(t - t0)R(t)dt / jR(t)dt = t0 + 2n 12 x
t0 / t0
x T * t0 + 1.1287".
(6)
В соотношении (6) учтено, что, согласно определению (4), нуль-пунктом шкалы времени внутри цикла является момент 10. По аналогии с распределением Максвелла можно найти дисперсию а2 и среднее квадратичное отклонение а от середины цикла 4а-:
а = (3/2 - 4/л)1/2 Т - 0.476Т.
В нашем случае смысл величины а состоит в том, что примерно 2/3 полной суммы индекса за цикл (5) формируется в интервале
(4а -а) < г < (гея- + а), т.е. в промежутке времени
(г0 + 0.652Т) < г < (г0 + 1.605Т).
Если расширить временной интервал до
(?еяя - 2а) < г < (?еяя + 2а), (7)
то внутри него окажется около 95% полной суммы индекса за цикл. Такой вывод следует из анализа распределения Максвелла (Щиголев, 1962). Протяженность интервала (7), примерно равную 4а « 2Т, можно считать условной длиной цикла (в соотношении (4) формально предполагается, что цикл продолжается от стартового времени I = 10 до I = да).
Моде распределения Максвелла, т.е. наиболее вероятной скорости молекулы, в нашем случае соответствует момент максимума цикла 1М = 10 + Т. Еще одной стандартной характеристикой распределения является медиана. Значения скорости молекулы, меньшие и большие медианы должны быть равновероятны. Применительно к циклу активности медиана показывает момент ?тей, который делит полную сумму индекса за цикл на две равные части (МшъШа, иИсИ, 1998). Величину ?тей можно вычислить, исходя из соотношения:
Получившаяся функция будет соответствовать нормировке распределения Максвелла и отличаться от этого распределения только обозначениями (имеется в виду распределение Максвелла с наиболее вероятной скоростью частицы в качестве параметра). Поэтому хорошо известные характеристики распределения Максвелла можно применять для функции (4). Так, среднему значению (математическому ожиданию) тепловой скорости соответствует эпоха середины цикла 1еЯ, которая вычисляется по формуле
j R (t) dt jR (t) dt
= 0.5.
(8)
Подставив в соотношение (8) функцию (4) и выполнив интегрирование по частям в интеграле с конечным верхним пределом, получим уравнение, содержащее используемую в теории вероятностей функцию erf x для аргумента (tmed — t0)/T. В результате приближенного численного решения этого уравнения найдем, что
tmed * t0 + 1.088 T.
Между параметрами аппроксимации T, RM и параметром t0 существует принципиальное смысловое различие. Значение t0 показывает положение цикла на оси времени и не влияет на форму циклической
ЭУ
t, годы
Рис. 1. Изменение интегральной активности 11-летних циклов со временем. На оси ординат показаны результаты интегрирования индекса активности по всему циклу (Я), выраженные в единицах "число Вольфа, умноженное на год". Сплошной линией обозначен аппроксимирующий полином 5-й степени, а крестами — экстремумы этого полинома.
кривой Щ), начинающейся при t = Форма цикла определяется параметрами Т и Ям, причем от величины Ям зависит только масштаб функции по оси ординат. В формуле (4) не предполагается наличие взаимосвязи между параметрами Ти Ям. В то же время, из наблюдений давно известно ^аЫше1ег, 1941), что существует связь между длительностью роста активности и максимальным значением сглаженного относительного числа пятен (эффект Вальдмайера). Однако использовать эту связь в соотношении (4) не вполне корректно из-за возможного различия между параметрами аппроксимации Т, Ям и аналогичными по смыслу данными, известными из наблюдений (см. следующие разделы).
ЭМПИРИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ АППРОКСИМАЦИИ
Для анализа наблюдаемой последовательности 11-летних циклов солнечной активности был выбран известный временной ряд среднемесячных значений относительного числа пятен (число Вольфа) с 1749 г до настоящего времени. Как правило, эти результаты наблюдений используются, когда нужны наиболее надежные данные о длительных изменениях солнечной активности. Неоднократно высказывлись сомнения в однородности упомянутого ряда (Витинский и др., 1986; Гневышев и др.,
1985; 1986; Наговицин, 2005; Ишков, Шибаев, 2006; Шибаев, 2008). То, что начальные 100 лет ряда восстановлены по архивам наблюдений разных авторов и лишь после этого были начаты регулярные специализированные определения индекса Я, явно указывает на неравноточность ряда в целом. Некоторые модификации системы подсчета относительного числа пятен Я также могли повлиять на однородность ряда (последняя модификация произошла в 1980/1981 гг и, по-видимому (Гневышев и др., 1986), привела к заметному нарушению однородности ряда). Наименее надежен начальный участок ряда. Как и в предыдущей работе (Рощина, Сарычев, 2010), ряд среднемесячных чисел Вольфа использовался, начиная с 1826 г. С этого времени и до 1848 г основой ряда явились регулярные наблюдения Швабе, итогом которых стало обнаружение 11
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.