научная статья по теме АППРОКСИМАЦИЯ РАЗРЫВНЫХ РЕШЕНИИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА СХЕМ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА Кибернетика

Текст научной статьи на тему «АППРОКСИМАЦИЯ РАЗРЫВНЫХ РЕШЕНИИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА СХЕМ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА»

Е.В. Земляная, И. В. Варашенков

ние ОИЯИ Р11-97-414, Дубна (1997) icz. Phys. Rev. Lett., 1990, v.63, p.1352; 91, v.15, p.221; >;

fc., 1994, v.27, p.649;

hys. Lett., 1997, v. A 230, p.33;

Oppo, U. Peschel, and F. Lederer. Phys.

., 2002, v.57, p.113; Rev. Lett., 2002, v.89, p.164101. !9: 2.

re. Rev., 1996, v.E 53, p.1931.

linzburg-Landau Equation. In: S. Trillo, 'ptical Sciences, 2001, v.82.

Поступила в редакцию 26.02.2004

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

2005 год, том 17, номер 1, стр.79-92

о

АППРОКСИМАЦИЯ РАЗРЫВНЫХ РЕШЕНИИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА СХЕМ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА

@ Н.В.Петровская

Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН, Москва

Работа была поддержана компанией 11 Боинг "(контракт 104 АЕ) и Российским Фондом Фундаментальных Исследований (грант № 03-01-00063).

В работе рассмотрен разрывный метод Галёркина высокого порядка. Для изучения схемы высокого порядка особый интерес представляют задачи, решением которых являются разрывные функции. Аппроксимация разрывных решений рассмотрена на примере обыкновенных дифференциальных уравнений. В работе показано, что аппроксимация разрыва схемой высокого порядка приводит к осцилляциям решения в ячейке расчётной сетки, содержащей разрыв. Для линейной краевой задачи получены аналитические выражения для амплитуды скачка решения на разрыве. Приведены численные примеры, иллюстрирующие полученные результаты.

APPROXIMATION OF DISCONTINUOUS SOLUTIONS IN HIGH ORDER DISCONTINOUS GALERKIN SCHEMES

N.B.Petrovskaya

,, Keldysh Institute for Applied Mathematics RAS

The paper concerns high order discontinuous Galerkin schemes. The numerical solution of ordinary differential equations is considered for those problems where the approximation of a discontinuous solution is required. It will be shown that the high order discontinuous Galerkin approximation results in solution overshoots on a grid cell which contains a discontinuity. For a linear problem, analytical expressions to evaluate the amplitude of the solution overshoot are obtained. Numerical examples confirming the theoretical results are given for both linear and nonlinear problems.

Численное решение современных задач физики и техники диктует необходимость развития расчетных схем высокого порядка. Одной из таких схем является разрывный метод Галёркина (в дальнейшем РМГ), описанный впервые в [1] и развитый впоследствии многими авторами применительно к различным приложениям (см. [2], в которой дан подробный обзор метода). В отличие от классического метода Галёркина, РМГ аппроксимирует решение функциями, разрывными на границах ячеек расчетной сетки. При таком подходе возникает задача аппроксимации потока на каждом сеточном интерфейсе, решение которой также входит в формулировку метода. Интерес к схемам типа РМГ вызван тем, что их использование приносит в численное решение задачи ряд преимуществ, среди которых отметим возможность выбора порядка аппроксимации в каждой ячейке расчётной сетки. Метод также удобен для распараллеливания вычислений и даёт возможность работы как на структурированных, так и неструктурированных сетках.

Оценки сходимости, полученные в [2, 3] демонстрируют, что при применении схемы РМГ для аппроксимации гладкой функции, получение приближённого решения не представляет трудностей с точки зрения сходимости. В то же время использование РМГ высокого порядка в задачах, решение которых разрывно, приводит к появлению осцилляций вблизи разрыва. Распространяясь по расчётной области, такие осцилляции часто приводят к отсутствию сходимости в численном решении задачи. Хорошо известным способом исключить нефизические осцилляции является использование локальных ограничителей

80

Н.Б. Петровская

[4, 5], которые понижают порядок аппроксимации на разрыве. Использование локальных ограничителей в схеме РМГ во многих случаях позволяет получить решение, монотонное вблизи разрыва [3]. Однако, локальные ограничители не всегда оказываются эффективными ввиду того, что они привносят в схему дополнительную диссипацию и тем самым понижают точность расчётов [6].

Требование разработки более совершенных методов контроля нефизических осцил-ляций заставляет обратиться к подробному изучению аппроксимации разрывов в схемах РМГ высокого порядка. На начальной стадии работы интерес представляет рассмотрение схемы РМГ для обыкновенных дифференциальных уравнений. Проведённый нами в работе анализ линейной краевой задачи с функцией источника специального вида, которая позволяет моделировать разрывное решение, показывает, что приближение разрывного решения набором гладких функций неизбежно приводит к осцилляциям численного решения в ячейке сетки, содержащей разрыв. При этом амплитуда таких осцилляций не зависит от шага сетки, вследствие чего они не исчезают с измельчением сетки в области разрыва. Этот результат справедлив и для нелинейных краевых задач, что подтверждает проведенный в работе вычислительный эксперимент.

1. Формулировка метода

Мы рассматриваем следующую краевую задачу для функции и(х) на отрезке [а, Ь]:

Fx(x, и) = S{x), Ви(х) = О, хеП = [а,Ь], (1)

где F(x,u(x)) - функция потока, S(x) - заданная функция источника, а обозначение В используется для оператора граничного условия. Для численного решения краевой задачи

N

(1) введём расчетную сетку G следующим образом: G = U е*, е^ = [а^, i^+i], 1 < г < TV, где

i= 1

Xi - координата узла сетки.

Разрывный метод Галёркина определяет приближенное решение Uh(x) в каждой ячейке сетки как

к

uh(x) = ^2икфк(х), к = 0,1,..., К, хееи (2)

к=0

где базисные функции выбраны полиномами соответствующей степени,

фк(х) = ((х - Хг)/(хг+1 - х{))к, к = 0,1,..., К, х £ е{.

Приближенное решение ищется, исходя из условия ортогональности невязки метода функциям Фк{х). Уравнение (1) умножают на функцию фк{х) и интегрируют по частям в каждой ячейке сетки. В полученные уравнения

F(xi+1,u(xi+1)№k{xi+i) - F(xi,u(xi)^k(xi)—

Xi+l Xi 4-1

J F(x,u)^^-dx= J Б{х)фк{х)йх, к = 0,1,...,,

подставляют приближённое решение (2), что приводит к требованию аппроксимации потока в узлах сетки, т.к. решение разрывно на каждом сеточном интерфейсе.

Пусть определён численный поток который в общем случае зависит от двух

значений решения в данном узле сетки хУравнения РМГ в ячейке сетки е^ выглядят следующим образом:

Р(щ(х{+1))фк(х^1) - Р{иь(Хг))фк{х¡)-- I У Б(х)фк(х)<1х, к = 0,1,...,К. (3)

Н.Б. Петровская

зрыве. Использование локальных зт получить решение, монотонное е всегда оказываются эффектив-■льную диссипацию и тем самым

в контроля нефизических осцил-шроксимации разрывов в схемах герес представляет рассмотрение иений. Проведённый нами в ра-шка специального вида, которая что приближение разрывного ре-сцилляциям численного решения таких осцилляций не зависит от :м сетки в области разрыва. Этот то подтверждает проведенный в

функции и(х) на отрезке [о, 6]:

(1)

1я источника, а обозначение В енного решения краевой задачи

вг, е{ = 1 < г < N, где

е решение щ(х) в каждой ячей-

(2)

(ей степени,

пьности невязки метода функ-гегрируют по частям в каждой

>ванию аппроксимации потока терфейсе.

5щем случае зависит от двух в ячейке сетки е, выглядят

Цена 18 ]>у6. Переплет i р.

Аппроксимация разрывных решений

81

О

Проведя дискретизацию задачи (1) на расчетной сетке, мы получаем систему нелинейных уравнений, для решения которой может быть использован метод Ньютона или метод установления по времени (см., например, [7]).

2. Линейная краевая задача

Пусть решение исходной краевой задачи разрывно. Для понимания того, как гладкие функции (2) аппроксимируют разрывное решение, мы рассматриваем линейную краевую задачу

= S(x), и(0) = [/0, хе [0,1]

(4)

с функцией источника специального вида, которая будет определена ниже. Этот пример удобен тем, что позволяет получить аналитическое выражение для приближенного решения при использовании схемы (3).

Для численного решения задачи (4) в схеме РМГ используется определение потока Энквиста-Ошера [8]

FEO(ui,ur) = Jmin(F'(s),0)(is + Jmax(F'(s),0)(is + F(0),

(5)

где щ = - 0) и иТ = и^(х{ + 0) - левое и правое значения решения в узле сетки. Для линейного уравнения (4) мы имеем Р(х, и) г и, и определение (5) даёт хорошо известную схему "против потока", в которой Р(иь) = щ.

Для анализа немонотонного численного решения на разрыве было выбрано следующее простое решение краевой задачи (4):

С/о, 0 < х < xs, х3 < х < 1,

(6)

где xs - координата разрыва. Для модельного решения U(х) функция источника S(x) определяется путём дифференцирования решения, S(x) = dU(x)/dx.

Рассмотрим ячейку сетки = [xi,xi+i], i = is, которой принадлежит точка х3, Х{ < < xs < xi+1. В дальнейшем, для удобства изложения мы полагаем, что Uq = 0, Xi = 0 и Xi+1 = h, так что положение разрыва может быть параметризовано как

xs = ah, 0 < а < 1.

(7)

Для применения схемы РМГ с учётом параметризации (7) в ячейке еа удобно использовать базисные функции вида фк(х) = хк, I = 0,1,..., К.

2.1. Приближение линейной функцией. Мы начинаем наше рассмотрение схемы для разрывного решения (6) со случая его приближения линейной функцией

uh(x) = и0 + щх.

(8)

Определение численного потока требует заменить решение 0) на левой границе ячейки на граничное значение С/о- Подставляя приближённое решение (8) в дискретизацию (3) и принимая во внимание условие Щ = 0, мы получаем следующую систему уравнений для неизвестных (ио,и\):

и0 + u\h = J S(x)dx, о

h h (щ + uih)h — J(щ + щх)йх = J S(x)xdx.

Для нахождения коэффициентов {ио,щ) необходимо вычислить интегралы в правой части (9). Для разрывного решения (6) функцию источника Я(х) = ¿и(х)/<1х можно формально представить как Я(х) = С8(х — х3), где ¿-функция Дирака 5(х) определена как

6

Значение множителя С определяется непосредственным интегрированием h h

J S(x)dx = C J 6(x - xs)dx = C.

о о

С другой стороны, h h

J S(x)dx = J dx = U(h) - U(0) =Ui-Uo

и мы получаем С = [и], где [u] = U\ — Uo - скачок решения в точке х3.

Принимая во внимание параметризацию (7), интегралы в правой части (9) вычисляются как

h h

Js{x)dx=[u], J S{x)x dx = ah[u}. . . (10)

о 0

Реш

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Кибернетика»