АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2009, том 55, № 2, с. 256-265
АКУСТИКА ЖИВЫХ СИСТЕМ. БИОЛОГИЧЕСКАЯ АКУСТИКА
УДК 612.85
АППРОКСИМАЦИЯ РЕЧЕВОГО ТРАКТА КОНИЧЕСКИМИ РУПОРАМИ
© 2009 г. И. С. Макаров
Институт проблем передачи информации РАН 101447Москва, Б. Каретный пер. 19 E-mail: speechprod_mak@mail.ru Поступила в редакцию 18.02.08 г.
Статья посвящена систематическому исследованию метода длинной линии применительно к речевому тракту, аппроксимированному последовательностью конических рупоров. Построенная схема описывает распространение плоских волн в конических рупорах с учетом всех факторов, представляющих интерес для акустической теории речеобразования, — потерь, податливости стенок речевого тракта, а также возможного наличия разветвляющих каналов. Выведенные уравнения протестированы на площадях поперечных сечений речевого тракта, измеренных с помощью магнитно-резонансной томографии на реальном дикторе.
PACS: 43.72.PF, 43.72.FX
ВВЕДЕНИЕ
Для решения многих задач теории речеобразования и речевых технологий необходимо вычислять передаточную функцию речевого тракта и его переносной акустический импеданс по заданной функции его площади поперечного сечения [1, 2]. При этом под передаточной функцией обычно понимается отношение Фурье-образов объемных скоростей на обоих концах тракта (например, на губах и на голосовой щели), а под переносным акустическим импедансом — отношение Фурье-образов давления в некотором сечении речевого тракта и объемной скорости в том же сечении.
Математически задача определения передаточной функции речевого тракта (или его акустического импеданса) сводится к решению спектральной задачи с заданными граничными условиями для уравнения Вебстера:
В качестве граничного условия на голосовой щели (х = 0) обычно принимается граничное условие второго рода (абсолютно жесткая стенка):
дР
дх
= 0.
(2)
: = 0
В качестве граничного условия на губах (х = Ь, Ь — длина речевого тракта от голосовой щели до губ) принимается граничное условие импеданс-ного типа:
Р( L, ую) = ZL(j ю) U( L, j ю).
(3)
Здесь и(х, ую) — Фурье-образ объемной скорости в речевом тракте, ZL(jю) — акустический импеданс излучения на губах, обычно определяемый как [3]
ZlO-ю) = ^
Рос(ю2а_ + j8 ю о\ 2 3 я
(4)
L 4 2 с
дХ Ых) dp = -S( х )ю Р.
дх v дх; с2
(1)
Здесь Б(х) — площадь поперечного сечения речевого тракта, х — координата вдоль средней линии тракта, Р(х, ую) — Фурье-образ звукового давления в тракте, с — скорость звука в речевом
тракте, ю — круговая частота (рад/с), у = 4—1 . Это уравнение справедливо в диапазоне частот ниже 4.5 кГц для неизменной во времени площади Б(х) [1].
Здесь р0 — плотность воздуха, — площадь излучающего отверстия, а — радиус излучающего отверстия.
В акустической теории речеобразования известно множество алгоритмов решения уравнения (1) [2]. Одним из наиболее популярных методов решения (1) является метод длинной линии. В этом методе речевой тракт аппроксимируется последовательностью N цилиндрических однородных труб. Предполагая, что в тракте отсутствуют разветвления, потери, и принимая стенки тракта абсолютно жесткими, можно получить
следующее матричное уравнение схемы длиннои линии [3]:
( „ \
V и,
(
А В
V СБ )
(
V и)
(5)
где
/ Л А В
V СБ
N
п
I = 1
сИ(у/;.) -^(у/,)
-А (у/,) сИ (у /,)
V р0с )
(6)
Здесь Ц — длина /-той цилиндрической секции, Б1 — ее постоянная площадь поперечного сечения, у = ую/с.
Модификации схемы (5), учитывающие разветвления в речевом тракте, различные виды потерь и податливость стенок речевого тракта, построены в [4—7]. Известны также обобщения схемы длинной линии на случай трехмерного речевого тракта [8].
Описанная схема длинной линии имеет, по крайней мере, два недостатка. Во-первых, для достижения надлежащей точности определения передаточной функции и переносного акустического импеданса речевого тракта требуется аппроксимировать его весьма большим количеством цилиндрических секций — от 20 [5] до 44 [9]. Это приводит к большому количеству вычислительных операций.
Во-вторых, аппроксимация речевого тракта цилиндрическими секциями наиболее эффективна для звуков, не имеющих коротких узких щелей в тракте. К таким звукам относятся, прежде всего, гласные звуки. С другой стороны, для фрикативных звуков, акустические характеристики которых сильно зависят от местоположения и размеров сужения [1], аппроксимация тракта цилиндрическими трубами может оказаться неадекватной [10].
Известно, что ступенчатая интерполяция произвольной функции снижает ошибку аппроксимации очень медленно, но повышает сложность вычислений. Поэтому в ряде работ [1, 10] высказано предположение, что использование конических секций вместо цилиндрических для аппроксимации формы речевого тракта может существенно повысить точность либо при заданной точности уменьшить число требуемых секций. В работе [10] использовались два конических рупора для аппроксимации участка максимального сужения в тракте при артикуляции некоторых типов фрикативных согласных. В работе [11] приведены без вывода соотношения длинной линии для волновода, аппроксимированного последовательностью конических рупоров. При этом
предполагалось, что разветвления в волноводе отсутствуют, а площади поперечных сечений любой пары рупоров в месте их сочленения одинаковы. Впоследствии эти соотношения были использованы авторами работ [12, 13] для определения передаточных функций речевого тракта без разветвлений.
Настоящая работа посвящена систематическому исследованию метода длинной линии применительно к речевому тракту, аппроксимированному последовательностью конических рупоров. Для этого случая будут выведены матричные уравнения, обобщающие соотношения (5)—(6). На основе этих уравнений будут построены схемы, учитывающие наличие разветвлений в речевом тракте, потерь и податливости стенок тракта.
ТЕОРИЯ
Рассмотрим сначала один конический рупор кругового поперечного сечения, пренебрегая наличием потерь, податливостью его стенок и возможным присутствием разветвляющих рупоров. Пусть х — координата, отложенная вдоль средней линии рупора от одного конца (х = 0) до другого (х = I), I — длина рупора. Если г — радиус поперечного сечения рупора при х = 0, а Я — радиус поперечного сечения рупора при х = I, то площадь поперечного сечения рупора как функция координаты х определяется как:
S(x) = п г2( 1 + —--^х)2 = (1 + рх )2. (7)
Здесь = пг2, р = ——г — коэффициент рас-г/
твора рупора.
Подставляя (7) в (1), получаем:
у
И + _2-в_йР + к2р = 0. йх2 1 + Рхйх
(8)
Здесь к = ю/с.
Будем искать решение уравнения (8) в виде [14]:
Р(х,ую) = М(х,ую) ехр(-2 X=
= М( х, у ю) -
1
(9)
1 + р х
Подставляя (9) в (8), получаем:
2
й2М + к2 М = 0.
йх
Решение уравнения (10) записывается как
М(х, ую) = р ос( С г1* + Сг г'*), у = ук.
(10)
Здесь С1 и С2 — некоторые произвольные константы. Из (9) и (11) получаем решение уравнения (8) в виде
Р (х, у ю) =
Р о с 1 + в х
( С1г ^ + С2 г'*).
(12)
Б( х )дР = -уюрои. д х
(13)
Дифференцируя (12) по х и подставляя в (13), получаем:
X I С1 г
и(х, у ю)
У +
= с Б( х) ую( 1 + р х)
1 + р х.
- С2г'
__в_"
1 + р х.
(14)
Для определения констант С1 и С2 введем следующие граничные условия на обоих концах рупора:
Ро = (о, ую), ио = и(0, у ю) Р/ = Р( /, ую), и, = и(/, ую).
(15)
Исключая константы С1 и С2 из (12) и (14) и используя соотношения (15) при х = 0, I, получаем:
(
р, 1
V и)
1
1 + р/
рБ0
1 УРоС
Б (1 + р /)
(16)
Г !Г
сИ(у/) -роС(у/)
(у /) Рос
сИ (у/)
р
УРос Б(
V ио)
о )
ны соотношением (16). В месте сочленения рупоров выполняются следующие граничные условия:
Р1 (/,, ую) = Р +1( 0, ую)
и (/ , ую) = и, +1( 0, у ю).
(17)
Можно показать [15], что Фурье-образы давления Р(х, ую) и объемной скорости Щх, ую) связаны следующим соотношением:
Из этих граничных условий сразу получаем необходимую систему уравнений в векторно-мат-ричной форме:
р,4 и,)
N
п
1 = 1
Ф,г,н
Г р! 1 &
V и,)
Г
А В
V СБ )
Р
V и,)
(18)
Здесь Р^, Щ — Фурье-образы давления и объемной скорости на голосовой щели, а Рь, — Фурье-образы давления и объемной скорости на губах. Матрицы Ф;, Г;, Н(- определяются следующим образом:
(
Ф =
1
1+р /
рЛ,
V УРос
о
Б>,,( 1 + р,/,)
(19а)
Г ^
сИ (У /,) —РоС (У /,)
Г =
(у/,-)
РоС
сИ (у /,)
(19Ь)
Н =
о
УРо с Бо,,
р
(19с)
Уравнение (16) связывает давление и объемную скорость на одном конце рупора с давлением и объемной скоростью на другом его конце.
Пусть теперь речевой тракт аппроксимируется последовательностью конических рупоров, где ¡1 — длина /-того рупора, р; — коэффициент раствора /-того рупора, N — общее количество рупоров. Введем для каждого рупора независимую координату х, 0 < х I < ¡¡, ¿0,1 — площадь / — го рупора при х = 0.
Пусть Р,, Щ/ — Фурье-образы давления и объемной скорости в /-том рупоре, а Р/ +1, Щ +1 — Фурье-образы давления и объемной скорости в ( / + 1)-ом рупоре. Тогда для каждого рупора образы давления и объемной скорости на обоих концах связа-
Уравнение (18) является искомым. Оно обобщает схему длинной линии на случай волновода, аппроксимированного коническими рупорами кругового поперечного сечения. Если положить р = 0, то уравнение (18) перейдет в уравнение (6).
Определим передаточную функцию речевого тракта как Т(ую) = Щ^/Щ^ а входной акустический импеданс в речевой тракт со стороны голосовой щели — как Zin(jю) = Ря/и . Из (18) получаем:
ГЦ ю) =
1
А - С/,
/,Р - В
Лп (у ю) = —-,
' А - С/,
(20)
Предположим теперь, что речевой тракт в некоторой точке вдоль средней линии разветвляется одним боковым проходом. Тогда тракт, аппроксимированный последовательностью конических рупоров, может быть разбит на три части — от голосовой щели до точки разветвления (номера рупоров от первого до /-го), от точки разветвле-
X
X
ния до губ (номера рупоров от (/ + 1)-го до ^го) и разветвляющий канал, аппроксимированный К рупорами. Тогда связь между Фурье-образами давления и объемной скорости на голосовой щели и в точке х1 = ^ определяется из (18) следующим образом:
В точке разветвления имеем следующие граничные условия:
РП = Ри = ршЫ1
и» = и
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.