ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 11, с. 1855-1864
УДК 519.626
АППРОКСИМАЦИЯ С ГАРАНТИРОВАННОЙ ТОЧНОСТЬЮ МНОЖЕСТВ ДОСТИЖИМОСТИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ, ПОДВЕРЖЕННОЙ ИМПУЛЬСНЫМ
ВОЗДЕЙСТВИЯМ1)
© 2007 г. Н. Б. Брусникина*, А. В. Лотов**
(* 119992 Москва, Ленинские горы, МГУ, ВМиК;
** 119991 Москва, ул. Вавилова, 40, ВЦ РАН) e-mail: lotov07@ccas.ru Поступила в редакцию 05.03.2007 г.
Предлагается метод аппроксимации множества достижимости динамической системы с размерностью пространства состояний не более шести-восьми, рассматриваемой на конечном отрезке времени и описываемой линейными дифференциальными уравнениями с кусочно-постоянными коэффициентами и импульсными воздействиями в заданные моменты времени. В методе осуществляется полиэдральная аппроксимация множеств достижимости в моменты времени, указанные исследователем, с требуемой гарантированной точностью. Построение очередной аппроксимации основано на использовании предыдущей аппроксимации. Дается способ выбора таких параметров метода аппроксимации, которые обеспечивают требуемую точность с затратами времени, близкими к минимальным. Библ. 13.
Ключевые слова: линейные динамические системы, множества достижимости, полиэдральная аппроксимация, гарантированная точность, оптимизация параметров аппроксимации.
ВВЕДЕНИЕ
В данной работе описывается метод аппроксимации с любой требуемой гарантированной точностью множеств достижимости (МД) динамической системы, рассматриваемой на конечном отрезке времени и описываемой линейным дифференциальным включением с коэффициентами, постоянными на каждом из конечного числа интервалов непрерывности траекторий системы, разделенных моментами импульсных воздействий. Размерность пространства состояний системы предполагается не более шести-восьми. Используется подход, предложенный Понтряги-ным (см. [1]), который основан на полиэдральной аппроксимации МД с помощью расчета опорной функции этих множеств. В отличие от методов эллипсоидальной аппроксимации МД (см., например, [2], [3]), методы полиэдральной аппроксимации МД направлены прежде всего на аппроксимацию с любой степенью точности.
Предлагаемый здесь метод развивает предложенный в [4] метод больших (укрупненных) шагов и позволяет строить многогранники, аппроксимирующие МД для рассматриваемой системы с заданной точностью. Основная идея метода больших шагов состоит в том, что МД должны аппроксимироваться только в те моменты, в которых эти множества представляют интерес, причем построение аппроксимации очередного МД должно быть основано на использовании аппроксимации предыдущего МД. Для перехода от аппроксимации МД в некоторый момент времени к построению аппроксимации МД, следующего по времени, могут быть использованы различные методы, например методы свертывания систем линейных неравенств (см. [5]) или методы полиэдральной аппроксимации выпуклых тел. В данной работе для решения этой задачи используется метод уточнения оценок (УО), являющийся одним из эффективных методов полиэдральной аппроксимации выпуклых тел (метод УО описан, например, в [6]) и позволяющий аппроксимировать компактное выпуклое тело с любой степенью точности.
1)Работа выполнена при финансовой поддержке научной программы "Развитие научного потенциала высшей школы" (проект РНП 2.11.1714), гранта Президента РФ по государственной поддержке ведущих научных школ (проект < НШ-5379.2006.1), РФФИ (код проекта 07-01-00472), программы фундаментальных исследований РАН < 14 и программы фундаментальных исследований ОМП РАН < 3.
1855
Заметим, что до последнего времени метод больших шагов не был реализован, поскольку не была известна оценка погрешности, привносимой из-за расчета аппроксимации последующего МД по аппроксимации предыдущего МД. Эта проблема была сформулирована, например, в [7]. В данной статье для построения гарантированной оценки точности аппроксимации МД используется предложенный в [8] метод расчета опорной функции МД линейной автономной управляемой системы, позволяющий получить требующуюся оценку погрешности расчета. Показано, как можно выбрать такие параметры метода расчета опорной функции МД и метода УО, чтобы все построенные аппроксимации МД имели требуемую точность. Благодаря этому метод больших шагов становится обоснованным, может быть реализован численно и использован для расчетов. Такой подход был применен в [8] для аппроксимации последовательности множеств достижимости автономной линейной динамической системы. В данной работе представлено сочетание метода расчета опорной функции МД и метода УО, которое используется для аппроксимации множеств достижимости линейной динамической системы с кусочно-постоянными коэффициентами, подверженной к тому же импульсным воздействиям.
В разд. 1 описан метод пошаговой полиэдральной аппроксимации МД в заданные моменты времени. В разд. 2 дана гарантированная оценка точности аппроксимации МД. В разд. 3 рассматривается вопрос о разумном выборе параметров аппроксимации, позволяющих получить требуемую точность с затратами, близкими к минимальным.
1. МЕТОД АППРОКСИМАЦИИ МНОЖЕСТВ ДОСТИЖИМОСТИ
Рассмотрим на отрезке [0, T] динамическую систему, имеющую следующий вид:
х = Akx + u, u е U, tk_1 < t < tk, k = 1, 2,..., M + 1, (1)
где x е IR" - фазовая переменная, Ak - матрицы размера n x n, Uk с R" - непустые выпуклые многогранники, моменты времени 0 = t0 < ... < tM < tM + 1 = T заданы. Кроме того, известно, что в начальный момент времени выполняется
х (0) е X0, (2)
где X0 е - заданный непустой выпуклый многогранник. Пусть известно, что в моменты времени tk, k = 1, 2, ..., M, фазовые координаты объекта испытывают импульсные воздействия вида
х+ = Fх_ + ak, k = 1, 2, ...,M, (3)
где матрицы Fk и векторы ak заданы заранее. Заметим, что обычно под импульсным воздействием имеются в виду векторы ak. Здесь мы рассматриваем более широкий класс воздействий (3). Под управлением u(t) будем понимать любую измеримую функцию, удовлетворяющую включению u(t) е U почти всюду на интервале (tk _ tk). Обозначим через X-(tk) множество достижимых состояний в момент времени tk, k =1, 2, ..., M, до импульсного воздействия в этот момент, т.е. множество достижимости, получаемое в момент tk в силу системы (1), ограничений на начальное состояние (2) и импульсных воздействий (3) в предыдущие моменты (т.е. в моменты tj с l = 1, 2, ..., k - 1). Обозначим через X+(tk) множество достижимых состояний после импульсного воздействия в момент времени tk, т.е.
X+(tk) = U (F'x + ak) = Fx_(tk) + a .
X е X_(tk)
Пусть требуется аппроксимировать множества X-(tk), k = 1, 2, ..., M + 1. Таким образом, список моментов времени, представляющих интерес, и список моментов импульсного воздействия на систему считаются совпадающими (кроме заключительного момента, в котором импульсное воздействие отсутствует). Если представляет интерес аппроксимация МД в момент t е (0, T), в который импульсное воздействие отсутствует, то достаточно рассмотреть импульс, характеризующийся тождественным преобразованием координат.
Заметим, что в силу непустоты и компактности выпуклых многогранников X0, U и ограниченности линейного отображения, заданного матрицами Fk, множестваX-(tk), k = 1, 2, ...,M + 1, иX+(tk), k = 1, 2, ...,M, рассматриваемой системы являются непустыми выпуклыми компактами
(см. [10]). При этом множество X_(tk) может рассматриваться как множество достижимости для системы (1) при tk_ 1 < t< tkи начальном условии x(tk_ 1) е X+(tk_ 1), k = 2, 3, ...,M + 1.
Для построения аппроксимации X_(tk) будем использовать расчет опорной функции, которая для произвольного непустого компактного множества X с I и направления c е IR", ||c || = 1, обозначается через g(c, X) и определяется в виде max (c, x).
x е X
В линейном пространстве I со скалярным произведением (c, x) = = 1 cixi и соответствующей нормой расстояние между двумя непустыми компактными множествами X1 и X2 будем оценивать с помощью метрики Хаусдорфа:
5й(Xi, X2) = max{ sup р(x, X2), sup p(x, Xx)}, где p(x, X) = inf||x -y\\.
x е X1 x е X2 yе X
Известно (см. [11]), что для двух непустых выпуклых компактных множеств X1 и X2 имеет место соотношение
5й(Xi, X2) = sup |g(c, Xi) - g(c, X2)|.
Ml = 1
Под полиэдральной аппроксимацией последовательности множеств X_(tk), k = 1, 2, ..., M + 1, с точностью £ > 0 будем понимать последовательность таких многогранников X_ (tk), что 5h(X_(tk), X_(tk)) < £ для любого k = 1, 2, ...,M + 1.
В данном разделе описан численный метод построения полиэдральной аппроксимации множеств X_(tk), k = 1, 2, ..., M + 1, без рассмотрения проблемы точности аппроксимации. Вопросы оценки точности аппроксимации и выбора параметров метода аппроксимации, обеспечивающих требуемую точность, рассмотрены в разд. 2, 3.
Пусть уже построена аппроксимация X_ (tk _ 1) множества X_(tk _ 1) в виде множества решений системы линейных неравенств Lk _ 1x < lk _ 1. Рассмотрим вопрос о построении аппроксимации X_ (tk) множества X_(tk). Эта задача распадается на задачу построения аппроксимации X+ (tk_ 1) множества X+(tk _ 1) в виде пересечения конечного числа полупространств и на построении X_ (tk) по такому описанию X+ (tk _ 1).
Рассмотрим сначала первую задачу. В качестве аппроксимации X+(tk _ 1) возьмем многогранники X+ (tk _ 1) = Fk _ 1 X_ (tk _ 1) + ak _ 1. Рассмотрим случай, когда существует (Fk _ 1)_1. Тогда многогранник X+ (tk _ 1) будет множеством решений системы линейных неравенств Lk _ 1(Fk _ 1)_1x < lk _ 1 + + Lk - 1(Fk _ 1)_1ak _ 1. Заметим, что если бы в исследовании множество X_(tk _ 1) не представляло самостоятельного интереса, то аппроксимацию множества X+ (tk _ 1) можно было бы строить сразу, без промежуточной аппроксимации множества X_ (tk _ 1).
Метод решения второй задачи, позволяющий получить оценку точности аппроксимации множества X_(tk) по оценке точности аппроксимации X+(tk _ 1) и значениям параметров аппроксимации, основан на применении метода УО (см. [6], [7]), предназначенного для полиэдральной аппроксимации выпуклых компактных тел на основе расчета опорной функции. Метод УО не использует заранее з
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.