МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 2 • 2014
УДК 532.526.5
© 2014 г. В. В. БОГОЛЕПОВ, В. Я. НЕЙЛАНД
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ОТРЫВОВ ВНУТРИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ ДАВЛЕНИЯ
Построена модель нелинейного взаимодействия бегущего с постоянной скоростью возмущения давления с пограничным слоем несжимаемой жидкости, когда течение в его пристеночной части описывается уравнениями "невязкого пограничного слоя". Предполагая, что в подвижной системе координат существует стационарное решение, удается получить его в конечном виде. Показано, что пограничный слой может беспрепятственно преодолевать возмущения давления, амплитуда которых не превышает величины скоростного напора, вычисленного по скорости перемещения возмущения давления. При больших значениях амплитуды возмущения давления с поверхности тела в пограничный слой сходит вихревая пелена — неустойчивая поверхность тангенциального разрыва, которая разделяет области прямого и обратного отрывного течения. При произвольной форме возмущения давления поверхность тангенциального разрыва сходит с поверхности тела под конечным углом с образованием критической точки. Построен пример возмущения давления, когда вихревая пелена сходит с поверхности тела по касательной.
Ключевые слова: несжимаемая жидкость, пограничный слой, бегущее возмущение давления, сход вихревой пелены, отрывное течение.
Быстрое развитие пакетов вычислительных программ создает иллюзию их всемогущества. Однако нельзя отрицать необходимости проверки правильности их результатов, подтверждения. Конечно, очень убедительной является экспериментальная проверка. Но проведение эксперимента всегда достаточно затратно и по времени, и по средствам. Аналитическая же проверка или моделирование исследуемого явления, если это удается сделать, несомненно более надежная и менее затратная процедура. Рациональная модель позволяет выявить основные механизмы, формирующие исследуемое течение, установить определяющие параметры подобия, сформулировать соответствующую математическую задачу, которая всегда бывает значительно проще исходной и решение которой обычно удается получить более достоверно.
Несомненно, одной из наиболее удачных известных и важных в прикладном смысле моделей в механике жидкости и газа является модель пограничного слоя Прандтля [1]. Недаром Д. Лайтхилл сравнил значение теории Прандтля для развития механики жидкости и газа с воздействием открытий Эйнштейна на другие разделы физики [2]. Другой очень важной и плодотворной следует признать модель отрыва ламинарного пограничного слоя (например, [3]); ее математическое воплощение для сверхзвукового пограничного слоя было представлено в [4—6]. Эта теория (теория свободного взаимодействия или трехслойная теория возмущенного пограничного слоя) оказалась крайне плодотворной для исследований зарождения и развития различных стационарных и нестационарных возмущений в пограничном слое при сверх- и гиперзвуковых скоростях внешнего потока [7].
Построение и изучение рациональных моделей развития различных возмущений также очень важно для совершенствования и углубления теории турбулентности. В частности, твердо установлено, что при невысоком уровне внешних возмущений ла-
минарно-турбулентный переход в пограничном слое происходит вследствие потери им устойчивости. Этим фактически подтверждены давние предположения Рейнольд-са и Рэлея [8]. Однако при достаточно значительных внешних возмущениях именно они турбулизируют пограничный слой [9], так как могут инициировать сход завихренности с поверхности тела внутрь пограничного слоя.
Ниже приводится решение модельной задачи воздействия бегущего возмущения давления на пограничный слой, которое может вызывать сход вихревой пелены с поверхности тела. Определяется условие схода пелены, решение получается в конечном виде [10]. Рассматриваются примеры воздействия возмущений давления различных форм. Показывается, что при произвольной форме возмущения давления вихревая пелена обычно сходит с поверхности тела под конечным углом с образованием критической точки. Строится пример течения, когда вихревая пелена сходит с поверхности тела по касательной.
1. Рассматривается обтекание плоской поверхности равномерным потоком несжимаемой жидкости при большом, но докритическом значении числа Рейнольдса Яе^ = = ршиш//цш ~ е-2 1, когда пограничный слой вблизи поверхности остается ламинарным (рш и — плотность и коэффициент вязкости жидкости, иш — скорость в набегающем потоке, l — расстояние от передней кромки поверхности).
Исследуется локальная возмущенная область течения на расстоянии, по порядку величины равном l от передней кромки поверхности, индуцированная возмущением давления, которое перемещается вдоль поверхности.
В дальнейшем используются только безразмерные переменные. Для этого все линейные размеры относятся к I, компоненты скорости u и и вдоль осей прямоугольной системы координат х и у — k ит а время t, давление р и функция тока у — к величинам 2
l/ual, ршы„ и ршиш1 соответственно.
Предполагается, что возмущение давления и скорость его перемещения малы по порядку величины Ар ~ 9 1, и иАр ~ ст 1. И пусть возмущение давления по порядку величины таково, что в пристеночной области пограничного слоя, которая обычно обозначается номером 3 и где продольная компонента скорости по порядку величины равна скорости его перемещения, индуцируются ее нелинейные возмущения и(3) ~ uAp ~ ~ Аи(3) ~ ст (индексом сверху отмечается номер области течения).
Из сопоставления порядков величин членов уравнения сохранения продольного импульса uдu/дx ~ дp/дx следует, что возмущение давления по порядку величины должно быть равно Аp ~ 9 ~ ст2. Принимая во внимание, что в пристеночной области 3 невозмущенного пограничного слоя для продольной компоненты скорости справедлива оценка u ~ у/8, где 8 ~ е — толщина пограничного слоя, можно получить оценку для толщины этой области Ау(3) ~ ест. Из сопоставления порядков величин членов уравнения неразрывности получается оценка для вертикальной компоненты скорости и(3) ~ ест2/Ах, где Аx 1 — характерная протяженность локальной возмущенной области течения. Полагая дополнительно, что в нелинейной пристеночной области 3 несущественны вязкие эффекты uдu/дx §> E2д(дu/дu)/дy и мало вертикальное изменение давления по сравнению с продольным Аpy ~Аyuдv/дx Аpx ~ 9 ~ ст2, можно получить оценку ее величины ест Ал ст3.
Полученные оценки позволяют ввести следующие независимые переменные и асимптотические разложения для функций течения в нелинейной невязкой пристеночной области 3:
X = Дхх3, у = БСТУз, I = —
а
бст2 ^ (1.1)
и = аи3 + ..., и = — и3 + ...
Д х
Др = а2р3 + ...
Подстановка разложений (1.1) в уравнения Навье—Стокса и совершение предельного перехода
3
б, а ^ 0, бст < Дх < а
показывают, что течение в слое 3 в первом приближении описывается уравнениями "невязкого пограничного слоя"
ди3 ди3 ди3 др3 —3 + и3—3 + и3—3 + — = 0
д13 дх3 ду3 дх3
3 3 3 3 (1.2)
др3 = 0 ди + = 0
у 3 х 3 у 3
На поверхности должно выполняться условие непротекания
и3 = 0 (У3 = 0) (1.3)
а начальное краевое условие получается из сращивания с пристеночной частью невозмущенного пограничного слоя
и3 = юу3, и3 = 0, р3 = 0 (х3 ^ -да) (1.4)
где ю — безразмерное трение в невозмущенном пограничном слое.
Для выполнения условий прилипания на поверхности тела ниже пристеночной области 3 следует рассмотреть вязкий подслой 4, который, однако, не является существенным для исследуемого течения.
Предполагается, что возмущение давления Ар перемещается вниз по потоку с постоянной скоростью utp = аc, c ~ 1. Тогда в движущейся вместе с возмущением давления системе координат можно ввести новые переменные
(1.5)
гъ = Т, х3 = сТ+X, у3 = У и3 = с + и, и3 = V, р3 = Р В переменных (1.5) краевая задача (1.2)—( 1.4) преобразуется к виду
дЛ+ иди + уди+ д-Р = 0 дР = 0 дии + дГ = 0
дт дх дУ дх ' дУ ' дх дУ (1.6)
V = 0 (У = 0); и =- с + ю У, V = 0, Р = 0 (X^ -да)
Если теперь в краевой задаче (1.6) переменные Т, X, У, Uи Р отнести к величинам ^ю, е1/ю, ^ю, с и е1 соответственно и оставить прежние обозначения, то уравнения не изменятся, а краевые условия примут вид
V = 0 (У = 0); и =- 1 + У, V = 0, Р = 0 (X^ -да) (1.7)
Фиг. 1. Докритическая или критическая (а) и закритическая (б) схемы исследуемого течения
Предполагая, что существует стационарное решение уравнений (1.6) и краевых условий (1.7) при д/дТ = 0, а возмущение давления затухает на краях возмущенной области течения Р(Х ^ ±<ю) = 0, можно записать его как
U(X, Y) = - UW(X) + Y, V
dX
^^ + P(X) = const
= YdUUw
(1.8)
и выражение для вертикальной координаты линии тока в зависимости от значения функции тока ^(Х, У)
Y
4(X Y) = J UdY, Y(X ¥) = Uw ± JUl+24
(1.9)
где Uw(X) — значение продольной компоненты скорости вблизи поверхности.
2. В принятой подвижной системе координат, перемещающейся вместе с возмущением давления Р = Р(Х), исследуемое течение является невязким и стационарным. Поэтому в поле течения вдоль каждой линии тока при ^(Х, Y) = const должна сохраняться величина интеграла Бернулли, которая может быть определена как значение скоростного напора Q = (U + V^)/2, посчитанное по профилю продольной компоненты скорости на левом или правом краях возмущенной области Q(Y) = (Y — 1)2/2, где возмущения давления затухают Р(Х ^ ±<») = 0.
Очевидно, что слева всегда найдутся струйки тока, которые смогут преодолеть любое по величине возмущение давления и будут продолжать двигаться вниз по потоку, так как здесь вертикальная координата Y и значение скоростного напора Q могут увеличиваться неограниченно. Справа же наибольшим значением скоростного напора Q = 1/2 обладает пристеночная струйка тока, которая сможет преодолеть максимальное значение возмущения давления Pm = maxP(X не более, чем Рт = 1/2. Поэтому течения при максимальных значениях возмущения давления Рт < 1/2 в дальнейшем будут называться докритическими, при Pm = 1/2 — критическими, а при Рт > 1/2 — за-критическими соответственно.
На фиг. 1, а представлена докритическая (или, что то же, критическая) схема течения. Распределения
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.