М ЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 1 • 2013
УДК 532.527
© 2013 г. А. М. ГАЙФУЛЛИН, А. В. ЗУБЦОВ
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА НЕСТАЦИОНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ ОКОЛО ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНЫ С ПОДВИЖНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
Рассмотрено ламинарное течение несжимаемой жидкости около полубесконечной пластины, поверхность которой движется навстречу набегающему потоку. Исследована асимптотическая структура течения, получено численное решение нестационарных уравнений На-вье—Стокса.
Ключевые слова: нестационарность, автомодельность, вязкость, вихрь.
Задача об обтекании плоской пластины, поверхность которой движется навстречу набегающему потоку жидкости, решалась в [1, 2] путем интегрирования уравнений стационарного пограничного слоя при нулевом градиенте давления. Оказалось, что как для полубесконечной, так и для конечной пластины решение уравнений существует, если отношение скорости поверхности пластины к скорости набегающего потока в = -и„/исо меньше критического значения в < в1 а 0.3541.
Для случая обтекания пластины конечной длины в статье [1] была сделана попытка продвинуться в область закритических значений параметра в (р1 < в < да), оставаясь в классе стационарных уравнений движения. В [3, 4] было показано, что такой подход к решению задачи ошибочный. Было обнаружено, что при в1 < в < в2 течение стационарно с образованием над поверхностью пластины замкнутой области течения с постоянной завихренностью, а при в > в2 обтекание пластины нестационарно.
В настоящей работе рассматривается задача об обтекании полубесконечной пластины при в > в1 на основе аналитического исследования и численного решения нестационарных уравнений Навье—Стокса.
1. Постановка задачи. Рассматривается полубесконечная пластина, помещенная в несжимаемую жидкость, которая при ? < 0 находится в состоянии покоя. При ? = 0 жидкость приводится в движение со скоростью ит, направленной вдоль пластины, а
поверхность пластины движется со скоростью и„ = -в Ит, в > в1. В декартовой системе координат X, У поверхность пластины задается уравнением X > 0, У = 0. Предполагается, что течение симметрично относительно плоскости У = 0. Необходимо определить поле течения при г > 0 и У> 0.
Обозначим через и, Vсоставляющие скорости вдоль осей X, У, а через Р — давление, р — плотность жидкости. Вектор скорости и = М + V] и давление Р должны определяться из решения следующей системы уравнений
ди + (и-У)и = + vAU, и = 0 (1.1)
дг р
с граничными условиями при ? > 0
7 = 0: и = -в (X > 0), = 0 (X < 0), V = 0 (1.2)
и ^ им (X и ^ и„ (7 ^ю), дХ ^ 0' V ^ 0 (X ^ю) (1.3)
Систему уравнений (1.1) приведем к безразмерному виду. В постановку задачи вошли два независимых размерных параметра V и Цш, комбинация которых у/Х2 имеет размерность времени. При ? > 0 возмущения, генерируемые поверхностью пластины, распространяются за счет вязкой диффузии на расстояние ¿^ ~ л/у?, а за счет конвективного переноса завихренности на расстояние ^ ~ . Выбирая £ 2, £л и у/Х2 за линейные масштабы и масштаб времени, введем безразмерные переменные
т-2
X „У „ _ иxt и vVT
x y = х = u и = p =(1.4)
и J Vvt V U„ и „ pUi
В переменных (1.4) уравнения (1.1) перепишутся в виде
du , / \du , i y\du dp , 52u , 152u с— + (u - x)— +1 и --1— = —- + —т +---
dx dx \ 2! dy dx dy Tdx2
dp = 1 dy t
U-T^U - (u - x )dU - (u - y) ^ + +1^
2 5x ' dx \ 2) dy dy2 Tdx2_
(1.5)
du + du _ о
dx dy
Решение уравнений (1.5), удовлетворяющее условиям (1.2), (1.3), было получено путем их численного интегрирования при различных параметрах в во временном интервале 0 < т < 2 • 104. Результаты численного решения, представленные в п. 5, позволяют заключить, что при т < 2 • 104 нестационарное течение жидкости сохраняет ламинарный характер.
При т > 1 уравнения (1.5) содержат малый параметр 1/т. Поэтому решение этих уравнений в случае ламинарного течения можно исследовать, используя метод сращиваемых асимптотических разложений. Данный метод позволяет выявить структуру течения, а также выделить основные физические факторы, являющиеся причиной возникновения различных областей течения.
2. Структура течения при Т * 1. Решение уравнений (1.5), удовлетворяющее начальным и граничным условиям, представляется в виде
u = 1, и = 0, p = const (x < 0) (2.1)
y
u = \e-2/4dy - p, и = 0, p = const (x > 0) (2.2)
Vn J
0
В этом решении продольная составляющая скорости u(y) терпит разрыв при y ~ 0(1) и x ^ 0. Следовательно, в окрестности сечения x = 0 существует область Dl с поперечным масштабом iy ~ Vvt и продольным масштабом Ix, где решение (2.1), (2.2) становится непригодным. Примем во внимание, что возмущения распространяются вдоль оси х как за счет вязкой диффузии, так и за счет конвективного переноса завихренно-
сти. Ввиду этого Iх ~ О(и^г) + О (т/у?). При т 1 имеет место Iх ~ 0(и<юг). В области D1 решение уравнений (1.5) при т > 1 в главном приближении представим в автомодельном виде
и (х,у, т) = и1(х,у), и(х,у, т) = ц(х,у), р (х,у, т) = р1(х,у) (2.3)
Функции и1, г1, р1 удовлетворяют уравнениям
, \ди1 I у\ди1 д2и1 Зи, ди „ ^ .ч
(и1 - ^ + Г - = "ду1' ~дх += 0' Р1 = С°П81 ()
Максимальная скорость конвективного переноса возмущений в направлении набегающего потока равна Цю. Поэтому при х > 0 область D1 ограничена сечением х = 1 [5]. При х > 1 характеристики течения описываются соотношением (2.2).
При Р > 1 возмущения, вызванные движением поверхности пластины, распространяются от кромки пластины навстречу набегающему потоку. При х < 0 область D1 ограничена сечением х = х0 (в). Величина х0 (в) < 0 и заранее неизвестна. Граничные условия для решения уравнений (2.4)
у ^ да : щ ^ 1 (х0(Р) < х < 1) (2.5)
у = 0: и1 =-в, и1 = 0 (0 < х < 1), ди = 0, и1 = 0 (х0ф) < х < 0) (2.6)
ду
Функция и1 — х, входящая множителем при дщ/дх в первом уравнении (2.4), является знакопеременной и, следовательно, в рассматриваемом пограничном слое происходит передача возмущений как вниз, так и вверх относительно направления набегающего потока. Необходимо поставить краевые условия для продольной составляющей скорости в сечениях х = х0(в) и х = 1, а при численном решении уравнений (2.4) использовать метод переменного шаблона при аппроксимации ди1/ дх.
Целесообразно ввести в рассмотрение новые неизвестные
и* = щ - х, и* = и - — 1 1 2
Так как при х > 1 профиль скорости u1 определяется соотношением (2.2), то краевое условие для функции u* при x = 1
у
и* (1, у) = \в-у2/4йу - (1 + в) < 0 (2.7)
^ 0
Выражение (2.7) определяет возмущения, распространяющиеся из сечения x = 1 навстречу набегающему потоку. В сечении х = х0(в) в качестве краевого условия необходимо принять ту часть профиля и*(х0, у), которая положительна и вызывает возмущения, передающЬеся вниз по потоку
и*(х0,у) = Uo*(y), у0 < у < да (2)
Диапазон изменения у соответствует области, в которой и*(у) > 0. Граничные условия для уравнений движения в области D1, в случае когда х0 < 0, схематически представлены на фиг. 1.
щ(у)
^(1, у)
х0 0 1
Фиг. 1. Граничные условия для уравнений движения в области D1
На докритических режимах обтекания пластины (в < в!) разворот струек тока в пограничном слое происходит под действием сил вязкости (др/дх = 0). На сверхкритических режимах обтекания (в > в!) вязкие силы не в состоянии развернуть поток жидкости, прилегающий к поверхности пластины. Для того чтобы пристеночный слой жидкости развернулся, необходимо, чтобы в окрестности переднего фронта пограничного слоя (х = х0) возникла дополнительная сила, препятствующая движению струек тока навстречу набегающему потоку. Такой силой может быть только самоиндуцированный перепад давления Ар ~ 0(1). Тогда в окрестности переднего фронта пограничного
слоя должна возникнуть локальная область D2 с масштабом АX ~ А У ~ л/у? , где в главном приближении течение описывается уравнениями идеальной жидкости.
В области D2 введем подвижную систему координат, связанную со скоростью движения переднего фронта пограничного слоя
х-Х0Ш = (х _ хо(в)), , = У
л/уг Л г
Так как среди параметров, определяющих решение задачи, не содержится независящего от времени линейного размера, то в главном приближении решение в области D2 автомодельно по времени
и (х, У, т) = «2 У) + Xо, и (х, У, т)=>/ти2 (£, У), р (х, У, т) = Р2 (£, У)
Из уравнений (1.5) следует, что при т > 1 функции «2,и2, р2 удовлетворяют стационарным уравнениям Эйлера
(и -V)и + Ур2 = 0, ^у и = 0, и = и21 + и2],
У = 1 ^ + & дЕ дУ
(2.9)
В области D2 возникает задача о совместном построении вихревого и потенциального течения. Потенциальное течение соответствует обтеканию внешности полубесконечного контура У = Уе , Е,А < ^ < да (Уе (Е,А) = 0) потоком жидкости, скорость которого
«2 ^ 1 - х0 (Р), о2 ^ 0, % ^
(2.10)
Во внутренней части контура 0 < У < Уе течение вихревое. В вихревом течении, согласно (2.9), безразмерная величина завихренности ю = ди2/д^-ди2/дУ и функция Бернулли Н = (щ + и2 )/2 + р2 — функции от безразмерной функции тока у (и2 = ду/ду,
и2 = Отсюда следует, что при ^ ^ да профиль скорости u2 — антисимметрич-
ная функция относительно ординаты y0, в которой u2 обращается в нуль
«2 К У - Уо) = -«2 (<», Уо - у) (2.11)
Из условия сращивания решений в областях D1 и D2 следует, что
lim u2 у) = lim u*(x,у), lim и2 (£,, у) = 0, lim уе (£,) = h = const (.12)
X —^X0(ß) ^сю
откуда получается дополнительное условие для определения функции «*(у)
«* (хо, у - уо) = -«* (хо, уо - у) (2.13)
В соотношение (2.13) входит неизвестная величина хо (ß). Как будет показано ниже, x0 = 0 при ß < 1 и хо < о при ß > 1.
Рассмотрим случай хо (ß) < о. Тогда линия раздела потенциального и вихревого течений у = уе — линия, при переходе через которую скорость сохраняет непрерывный характер. В противном случае в окрестности этой линии должен возникнуть тонкий слой смешения, в котором завихренность была бы намного больше, чем завихренность в области D1. Для генерации такой завихренности в области D2 отсутствуют физические причины, поскольку она расположена на конечном расстоянии от твердой поверхности пластины. В силу граничного условия (2.6) и условия, что ю = ю(у), в области D2 на линии у = уе отсутствует
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.