МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 5 • 2013
УДК 539.374
© 2013 г. Ю. Н. РАДАЕВ
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОСИ ТЕНЗОРОВ НАПРЯЖЕНИЙ
И ПРИРАЩЕНИЯ ДЕФОРМАЦИИ В МЕХАНИКЕ СЖИМАЕМЫХ
КОНТИНУУМОВ
В статье получены новые тензорные представления напряженного состояния и кинематики сжимаемых течений с помощью понятия об асимптотических направлениях симметричного тензора напряжений и тензора приращения деформации. Изложение опирается на терминологию и обозначения, характерные для математической теории пластичности, но все основные результаты остаются справедливыми для напряжений и деформаций в сжимаемых континуумах. Найдены наиболее простые и эффективные формы тензора напряжений для "полностью пластических", "полупластических" и "непластических" трехмерных состояний. Асимптотические оси напряжений при этом выступают как наиболее естественный репер, обеспечивающий новые симметричные тензорные представления напряжений, отличные от спектральных. Аналогичные представления распространяются на тензор приращения деформации. На поверхностях, ортогональных направлениям "промежуточного" главного приращения деформации, указываются двумерные криволинейные сети, скорости деформаций элементов которых всегда равны нулю. Найдены инкрементальные соотношения для скоростей скольжения вдоль линий сетей, обобщающие известные из теории плоской деформации идеально пластического тела уравнения Гейрингер вдоль характеристических линий. Обобщение достигается сразу для трехмерных течений и учитывается также возможная сжимаемость течения.
Ключевые слова: сжимаемость, напряжения, приращения деформаций, асимптотические направления, плоская деформация, уравнения Гейрингер
1. Каноническое спектральное разложение симметричного тензора напряжений. Механика сжимаемых континуумов в настоящее время выступает как теоретическая основа исследования механического поведения (почти всегда аномального) горных пород, грунтов, пористых и сыпучих сред. Методы механики сжимаемых континуумов во многом соприкасаются с методами математической теории пластичности, поэтому присущие теории пластичности понятия и методы служат той важной основой, на которой могут быть сформулированы фундаментальные уравнения для сжимаемых сплошных сред. Целью настоящей работы является вывод уравнений статики и кинематики сжимаемых сред, не зависящих от определяющего закона, точно предписывающего характер их механического поведения.
В трехмерных формулировках математической теории пластичности всегда используются специальные представления тензора напряжений и соответствующие формы дивергентного уравнения равновесия [1, 2].
Обозначим через а трехмерный тензор напряжений Коши. Симметрия тензора напряжений влечет возможность его канонического спектрального представления. Если
1, m, n — ортонормированный базис из собственных векторов тензора напряжений, oj,
02, — главные напряжения (собственные значения тензора напряжений), то его каноническое разложение будет иметь следующую хорошо известную форму:
о = Gil ® l + G2m ® m + G3n ® n (1.1)
Это представление достаточно широко используется в современной механике деформируемого твердого тела в различных вопросах, связанных с анализом напряженного состояния тела в данной точке [3—5].
Для тех пространственных состояний, для которых априори имеется некоторое конечное соотношение между главными напряжениями aj, СТ2, ^з, как будет видно далее, вместо канонического спектрального разложения (1.1) могут быть получены новые более компактные и удобные, по сравнению с (1.1), представления в асимптотических осях. Такое положение дел характерно прежде всего для теории идеально пластического тела. Поэтому такие напряженные состояния, когда априори нельзя указать никаких конечных соотношений между главными напряжениями oj, СТ2, о3, будем называть "непластическими". Однако приведение тензора напряжений к асимптотическим осям в равной мере оказывается возможным и для непластических трехмерных состояний.
2. Тензор напряжений для вполне пластических состояний. Одним из ключевых положений математической теории пластичности выступает условие пластичности. Для изотропных тел оно имеет форму конечного соотношения, связывающего главные напряжения, или точнее, разности главных напряжений
/(<i -с2,01 -03,02 -03) = 0 (2.1)
Сен-Венаном на основании опытных данных Треска (1864) было предложено условие пластичности, состоящее в том, что текучесть тела наступает, как только максимальное касательное напряжение Tmax достигает некоторого критического значения к:
т max = k (2.2)
Здесь постоянная к представляет собой предел текучести при чистом сдвиге. В научной литературе разных стран иногда это условие текучести связывают (с различной степенью обоснованности) с именами Кулона (1773), Геста (1900) и Мора (1900).
Если считать все главные напряжения различными и перенумеровать главные оси тензора напряжений а так, чтобы выполнялись неравенства ах > а2 > а3, то можно получить формулу
тmax = (°1 - °3)/2 (2.3)
устанавливающую, что промежуточное главное нормальное напряжение ст2 никак не влияет на величину максимального касательного напряжения Tmax. При этом максимальное по всем ориентациям в данной точке касательное напряжение достигается на двух площадках, делящих пополам углы между направлениями максимального и минимального главных напряжений и содержащих главную ось напряжений, соответствующую "промежуточному" главному напряжению ст2.
Некоторые напряженные состояния, помимо выполнения условия пластичности Треска-Сен-Венана (2.2), характеризуются еще также и тем, что два из трех главных напряжений оказываются равными друг другу. В пространстве главных напряжений такие состояния попадают на ребра шестигранной призмы Кулона-Треска, которые определяются уравнениями
С! ± 2к = а2 = с3, = с2 ± 2к = с3, С]^ = а2 = с3 ± 2к
Следуя терминологии [6], такие состояния будем называть вполне пластическими (или "полностью пластическими").
Принимая соглашение о том, что ст3 есть либо наименьшее, либо наибольшее главное напряжение, вполне пластические состояния можно определить уравнениями
С1 = а2 = с3 ± 2к (2.4)
Вслед за Хааром и Карманом теория пластичности с двумя соотношениями, связывающими главные напряжения, была предложена А.Ю. Ишлинским [7]. Нетрудно заметить, что два уравнения теории пластичности Ишлинского:
/1(о1 2>°1 2 = 0, /2(01 2>°1 -°3>°2 = 0
при выполнении условия о^ = СТ2 приводят к соотношениям "полной пластичности" Хаара—Кармана (2.4). В своей работе А.Ю. Ишлинский пишет: "Согласно предлагаемой теории идеальной пластичности два главных напряжения должны быть непременно равны друг другу, а третье отличаться от них на удвоенное критическое значение 2k. Таким образом, для пространственной задачи пластичности имеют место два соотношения между главными напряжениями, подобно гипотезе полной пластичности Хаара и Кармана. Этим предлагаемая теория отличается от теорий Леви и Мизеса, в которых принимается единственное соотношение".
Поскольку 1, т, п — ортонормированный базис, то справедливо следующее тензорное разбиение единицы:
1 ® 1 + т ® т + п ® п = I (2.5)
где I — единичный тензор.
Учитывая (1.1), (2.5) и уравнение ребра призмы Кулона—Треска с1 = а2 = а3 ± 2к, получим
0 = (< ± 2к)1 + 2кп ® п (2.6)
Таким образом, для "вполне пластических" состояний тензор напряжений а определяется одним скалярным полем ст3 и одним единичным векторным полем п. Направление, указываемое директором п, будем называть асимптотическим1.
Для состояний "полной пластичности" тензор напряжений будет иметь только одну асимптотическую ось.
3. Тензор напряжений для "полупластических" и "непластических" состояний. В случае "полупластических" состояний все главные напряжения о^, 02, о3 различны; два "крайние" из них связаны уравнением Треска-Сен-Венана
с1 - с3 = 2к
"Непластические" напряженные состояния характеризуются отсутствием какой бы то ни было априорной связи между главными напряжениями и, следовательно, представляют собой наиболее общий из мыслимых в механике деформируемого твердого тела случаев.
Для каждого из указанных состояний можно установить новые важные формы тензора напряжений, которые отличаются от канонической (1.1), но обладают, так же как и (2.6), чрезвычайно простой аналитической структурой. Для выполнения этой задачи
1 Термин директор систематически используется в данной статье для указания на единичный вектор, определяющий то или иное характерное направление в трехмерном пространстве, связанное с тензором напряжений или тензором приращения деформации.
требуется введение двух новых направлений в плоскости, ортогональной собственному вектору т. Напомним, что этот вектор соответствует промежуточному главному напряжению ст2. Упомянутые оси, к построению которых переходим, назовем, учитывая гиперболическую природу уравнений математической теории идеальной пластичности и в целом гиперболическую парадигму механики, а также ряд других аргументов, асимптотическими осями тензора напряжений.
С помощью тензорного разбиения единицы (2.5) исключаем диаду, образованную вектором т:
т ® т = I - 1 ® 1 - п ® п (3.1)
следовательно,
С = ^ + 2lma
l ® l-Hl^3 n ® П I (3.2)
Va -a a -a
В плоскости, ортогональной собственному вектору m, выполним преобразование векторов l, n согласно
l = /„„ 1 l +' n), n = , 1 ,(-'l + 'n) (3.3)
i/2(1 + cos i) V2(1 - cos i)
где 'г — угол между единичными векторами '1, 'n, который можно подобрать так, чтобы тензор напряжений содержал только смешанные диады, образованные новыми векторами 'l, 'n. Тогда директоры 1, 'n, будут указывать асимптотические направления тензора напряжений a. Достаточно положить
cos' i = -ц (3.4)
где ^ есть параметр Лоде [8]:
ц = 2с2 -P1 -Рз (3.5)
01 - Сз
В отличие от пары l, n директоры 'l, 'n, вообще говоря, не ортогональны друг другу. Собственный вектор l всегда делит пополам угол между директорами 'l, 'n.
Несложные вычисления, выполненные на основании (3.2) и (3.3), позволяют получить в итоге весьма компактную и изящную общую формулу для тензора напряжений в "непластических" состояниях со смешанными диадами асимптотических директоров
О
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.