ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2012, том 52, № 1, с. 81-96
УДК 519.62
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ МЕДЛЕННЫХ ИНВАРИАНТНЫХ МНОГООБРАЗИЙ И РЕДУКЦИЯ МОДЕЛЕЙ
ХИМИЧЕСКОЙ КИНЕТИКИ1
© 2012 г. В. А. Соболев*, Е. А. Тропкина**
(*443086Самара, Московское ш., 34, Самарский гос. аэрокосмический ун-т;
**443011 Самара, ул. Акад. Павлова, 1, Самарский ун-т) e-mail: hsablem@yahoo.com; Elena_a.85@mail.ru Поступила в редакцию 22.04.2010 г.
Переработанный вариант 04.07.2011 г.
В работе методы геометрической теории сингулярных возмущений используются для понижения размерности задач химической кинетики. Методы основываются на применении медленных инвариантных многообразий, что позволяет заменять исходную систему системой на инвариантном многообразии, размерность которой совпадает с размерностью медленной подсистемы. Применяются явное и неявное представления медленных инвариантных многообразий. Математический аппарат, излагаемый в работе, используется для развития основополагающих идей Н.Н. Семенова, относящихся к методу квазистационарных концентраций и применяется к исследованию конкретных задач химической кинетики. Библ. 24. Фиг. 3.
Ключевые слова: интегральные многообразия, сингулярные возмущения, итерационный метод, асимптотическое разложение.
1. ВВЕДЕНИЕ
Среди главных инструментов прикладного анализа особая роль отводится методам возмущений, основная идея которых заключается в выделении основной структуры сложной системы и вспомогательной, детализирующей структуры. При этом детализирующая структура рассматривается как возмущение основной. Анализ основной структуры сводится к рассмотрению существенно более простых моделей и часто сопровождается понижением размерности модели. Поведение исходной модели изучается путем композиции результатов раздельного исследования основной структуры и детализирующих факторов. К числу традиционных объектов применения методов возмущений относятся динамические системы с быстрыми и медленными переменными, для описания которых обычно используются сингулярно возмущенные дифференциальные системы, содержащие малый параметр при части производных. Так, в моделях химической кинетики наличие малого параметра связано с тем, что в химической системе одновременно происходят резко отличающиеся по скорости процессы. Понижение размерности моделей является основным приемом исследования сложных систем любой природы. Имеется значительное число публикаций по теории и приложениям методов упрощения моделей макроскопической кинетики. При этом большое разнообразие задач сочетается со сравнительно небольшим арсеналом применяемых средств анализа. Абсолютное большинство статей и монографий по указанной тематике имеют в своей основе прямое применение метода квазистационарных концентраций Бо-денштейна—Семенова. В этом случае часть дифференциальных уравнений заменяется алгебраическими, происходит потеря начальных условий, могут возникать проблемы, связанные с несоответствием качественного поведения исходной и упрощенной моделей. В некоторых работах применяются довольно сложные с точки зрения практической реализации методы построения асимптотических разложений решений начальных или краевых задач. В то же время во многих случаях необходимо следить за поведением всей системы, а не отдельных траекторий, решать задачи качественного исследования системы. Необходимость повышения точности расчета сложных систем при одновременном снижении объема аналитических и численных вычислений делает актуальной разработку достаточно универсальных и эффективных методов упрощения диф-
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 10-08-00154а). 6 ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 52 № 1 2012
ференциальных систем с быстрыми и медленными переменными. Для решения таких проблем представляется целесообразным привлекать не только асимптотические, но и геометрические методы анализа. Геометрическая теория динамических систем находит свои истоки в работах Пуанкаре и Ляпунова. Она занимается вопросами существования и исследования свойств как отдельных решений, обладающих специальными качествами (положений равновесия, периодических и почти периодических решений), так и целых классов решений (интегральных многообразий).
Настоящая работа посвящена изложению некоторых методов понижения размерности динамических моделей, возникающих при изучении кинетики химических реакций. В основе всех этих методов лежит предположение о резком различии скоростей превращения веществ, участвующих в химических процессах. С математической точки зрения химические системы, в которых существует разделение на быстрые и медленные подсистемы, описываются сингулярно возмущенными дифференциальными уравнениями, а применение метода квазистационарных концентраций равносильно переходу к предельной задаче, когда малый параметр полагается равным нулю. Именно поэтому метод интегральных многообразий может применяться как для обоснования метода квазистационарных концентраций, так и более точный инструмент исследования химических процессов. Отметим, что для обоснования метода квазистационарных концентраций применялась теория сингулярных возмущений (см. [1]—[3]), среди первых публикаций на эту тему отметим [4]. Метод интегральных многообразий применялся для исследования реакционных систем в работах [5]—[7].
Для понижения размерности моделей наряду с явной формой используются и другие формы задания медленных интегральных многообразий, в частности, неявная форма, что позволило разработать метод редукции, существенно более простой и эффективный по сравнению с известным ILDM-методом Мааса и Поупа. Статья содержит как изложение математического аппарата геометрической теории сингулярных возмущений, так и решение важных прикладных задач. Для облегчения изложения материала доказательства основных утверждений опускаются. Особое внимание уделяется методам приближенного построения интегральных многообразий. Предложены новые алгоритмы, и рассмотрены примеры построения асимптотических разложений интегральных многообразий медленных движений для систем, линейных по быстрым переменным. Такие системы типичны для моделей энзимной кинетики. Отдельные разделы посвящены итерационному и ILDM-методам соответственно. Кроме изложения сути этих методов, здесь проведен сравнительный их анализ с методом интегральных многообразий, предложены новые итерационные алгоритмы построения асимптотических разложений медленных интегральных многообразий и рассмотрены примеры. Рассматриваются также системы, в которых не выделены быстрые и медленные переменные. Приведены достаточные условия существования медленных инвариантных многообразий и методы их приближенного построения. Рассмотрена задача редукции модели кинетики реакций металлоорганических соединений.
2. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ МНОГООБРАЗИЙ 2.1. Интегральное многообразие медленных движений
Метод интегральных многообразий является удобным аппаратом исследования многомерных систем дифференциальных уравнений, использование которого позволяет решать важную для приложений задачу понижения размерности. Приведем краткое изложение необходимых сведений, более полное и подробное изложение которых можно найти в [8].
Рассмотрим неавтономную систему обыкновенных дифференциальных уравнений
йх/йг = /(г, х, у, г), (1)
гййуу = g(г, х, у, г), (2)
йг
где х и у — векторы из евклидовых пространств К и [К , t е (—да, +да) — переменная времени, г — малый положительный параметр, f и g — вектор-функции, определенные, непрерывные по совокупности переменных и достаточно гладкие при всех х е [ , у е D с [ , г е [0, г0]. Здесь D — некоторая область в пространстве [ . Предполагается, что значения функцийf и g сравнимы с единицей при малых значениях параметра г. Такие системы называются сингулярно возмущенными (см. [1]—[3]).
Положив б = 0 в (1), (2), получим систему, которая называется порождающей или вырожденной. Поверхность Г, задаваемая уравнением 0 = g(t, x, y, 0), называется медленной поверхностью.
Напомним, что поверхность S называется интегральным многообразием системы (1), (2), если для любой точки (t0, x0, y0) е S, траектория (t, x(t, s), y(t, s)) такая, что x(t0, s) = x0, y(t0, s) = y0, принадлежит Sдля всех t е R.
Среди интегральных многообразий системы (1), (2) особый интерес представляют многообразия, которые описываются уравнением у = h(t, x, s). Предполагается, что функция h(t, x, s) достаточно гладко зависит от s и удовлетворяет условию
lim h(t, x, s) = ф(t, x),
£ —> 0
где ф(^ x) — функция, задающая лист медленной поверхности. Такие многообразия называются интегральными многообразиями медленных движений. Интегральное многообразие медленных движений можно представить как состоящую из траекторий системы поверхность, лежащую в s-окрестности медленной поверхности, движение по которой осуществляется со скоростью порядка единицы.
Точнее говоря, движение по интегральному многообразию осуществляется в соответствии с уравнением
X = f(t, x, h(t, x, s), s). (3)
Достаточные условия существования медленных интегральных (инвариантных) многообразий близки к условиям, при которых строятся асимптотические разложения решений методом пограничных функций (см. [2], [3]). Помимо достаточной гладкости правых частей системы и существования изолированного решения порождающего уравнения, основное предположение состоит в том, что все собственные значения матрицы
dg/d y (t, x, ф( t, x), о)
имеют отрицательные вещественные части.
При выполнении таких условий медленная поверхность у = ф(^ х) и соответствующее медленное интегральное многообразие y = h(t, x, s), лежащее в s-окрестности этого листа, являются притягивающими. Притягивающие интегральные многообразия сингулярно возмущенных систем часто называются устойчивыми.
Для притягивающих интегральных многообразий справедлив принцип сведения (см. [9]), состоящий в следующем. Пусть х = £,(t), у = h(t, £,(t), s) — некоторое решение системы (1), (2), траектория которого лежит на интегральном многообразии медленных движений. Для устойчивости (асимптотической устойчивости, неустойчивости) э
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.