научная статья по теме АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ В СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ МОДЕЛИ ВИРУСНОЙ ЭВОЛЮЦИИ Математика

Текст научной статьи на тему «АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ В СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ МОДЕЛИ ВИРУСНОЙ ЭВОЛЮЦИИ»

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 2, с. 242-252

УДК 519.634

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ В СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ МОДЕЛИ ВИРУСНОЙ ЭВОЛЮЦИИ^

© 2015 г. А. А. Арчибасов*, А. Коробейников**, В. А. Соболев*

(* 443086 Самара, Московское шоссе, 34, Самарский гос. аэрокосмический ун-т; ** España, 08193 Barcelona, Campus de Bellaterra, Edifici C, Centre de Recerca Matemática) e-mail: aarchibasov@gmail.com, akorobeinikov@crm.cat, hsablem@gmail.com Поступила в редакцию 27.05.2014 г.

Изучается начально-краевая задача для сингулярно возмущенной системы интегродиффе-ренциальных уравнений в частных производных, содержащей два малых параметра при производных, возникающей в модели вирусной эволюции. Методом пограничных функций Тихонова—Васильевой построено асимптотическое решение такой задачи. Полученные аналитические результаты сравниваются с результатами численного анализа. Библ. 16. Фиг. 2.

Ключевые слова: сингулярные возмущения, асимптотические разложения, пограничные функции, вирусная эволюция, интегродифференциальное уравнение с частными производными, численно-аналитический метод.

DOI: 10.7868/S0044466915020039

1. ВВЕДЕНИЕ

Сингулярно возмущенные уравнения, содержащие малые параметры при производных, часто естественным образом возникают в результате математического моделирования явлений и процессов химической кинетики, электротехники, механики систем твердых тел и гироскопов и других областей естественных наук и техники. При математическом моделировании биологических процессов появление сингулярно возмущенных уравнений является скорее правилом, чем исключением. Это обусловлено как чрезвычайной сложностью биологических систем, так и тем, что при моделировании последних, как правило, возникает необходимость принимать в рассмотрение ряд процессов, протекающих на несоизмеримых временных шкалах. Вышесказанное в особенности справедливо для математических моделей эволюционной биологии, где крайне медленный процесс биологической эволюции протекает на фоне ряда значительно более быстрых взаимодействий различной природы.

Среди работ, посвященных анализу сингулярно возмущенных уравнений, основополагающими являются работы А.Н. Тихонова (см., например, [1], где, в частности, обосновывается предельный переход к решению вырожденной задачи в системе с несколькими малыми параметрами при производных). В [2], [3] развивается метод пограничных функций, который дает асимптотическое представление решения всюду в рассматриваемом промежутке изменения аргумента, в частности в окрестности начальной точки, где имеет место явление пограничного слоя. Для ин-тегродифференциальных уравнений это явление впервые изучалось в [4]. Ниже мы применяем метод пограничных функций для построения асимптотических разложений решения сингулярно возмущенной интегродифференциальной системы с двумя малыми параметрами, которая описывает взаимодействие трех популяций: здоровых (незараженных) клеток, инфицированных вирусом клеток и свободных вирусов — и моделирует эволюцию вируса in vivo.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим систему интегродифференциальных уравнений с частными производными:

du(t) = b — u(t) J"a(s)x(t, s)ds — qu(t),

0

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (коды проектов 13-01-97002-а, 14-01-97018-а), Министерства образования и науки РФ в рамках реализации Программы повышения конкурентоспособности СГАУ на 2013—2020 годы и Министерства науки и инноваций Испании (коды проектов КУС-2011-08061 и МТМ2011-29342).

dx(t^ = kv(t, s) - cx(t, s),

dt

(1)

dv(t, s) dt

д 2 v(t

= a(s)u(t)x(t, s) - mv(t, s) + ц-—

с начальными

u(0) = u0, x(0, s) = x 0(s), v(0, s) = v 0(s)

(2)

и граничными

— (t, 0) = 0, lim v(t, s) = 0

(3)

условиями. Система (1) представляет собой математическую модель вирусной эволюции в непрерывном пространстве фенотипов (см. [5]) и является развитием модели динамики ВИЧ-1 in vivo, предложенной в [6].

Данная модель постулирует, что каждый фенотип вируса описывается набором параметров и все возможные значения этих параметров образуют пространство фенотипов, которое предполагается непрерывным. Поскольку качественные свойства решений (а значит и характеристики вирусного фенотипа) для модели из [6] полностью определяются одним-единственным числом, а именно так называемым начальным соотношением воспроизводства R (см. [7], [8]), то в рамках этой модели достаточно рассмотреть одномерное пространство фенотипов s е [0, +<ю) (s — безразмерная величина). Модель предусматривает одновременное сосуществование множественных генотипов (а следовательно и фенотипов) вируса в носителе и описывает взаимодействие трех популяций: неинфицированных восприимчивых к вирусу клеток, инфицированных клеток и свободных вирусов. Концентрация неинфицированных клеток u(t) измеряется в кл/мм3. Свободные вирусы и инфицированные вирусами клетки распределены в пространстве фенотипов и заданы плотностями распределений x(t, s) и v(t, s) ; поскольку s — безразмерная величина по определению, обе переменные измеряются в кл/мм3. Соответственно,

есть суммарные концентрации инфицированных клеток и свободных вирусов.

Предполагается, что неинфицированные восприимчивые к вирусу клетки производятся с постоянной скоростью Ь (кл/(мм3 • сут)) и умирают по естественным, не связанным с вирусной инфекцией причинам со скоростью ды (где д > 0 измеряется в 1/сут); средняя продолжительность жизни здоровой клетки равна 1/д. Неинфицированные клетки заражаются свободными вирусными частицами со скоростью аых, где а измеряется в мм3/(кл • сут). Инфицированные клетки производят со скоростью ку (где к > 0 измеряется в 1/сут) свободные вирусные частицы и умирают в результате инфекции и от естественных причин со скоростью тч (т > 0 измеряется в 1/сут); средняя продолжительность жизни инфицированных клеток равна 1/т. Свободные вирусы умирают или выводятся из организма со скоростью сх (где с > 0 измеряется в 1/сут); средняя продолжительность жизни вирусов равна 1/с, и среднее количество вирусных частиц, произведенных зараженной клеткой за ее жизнь, равно к/с. В рамках модели из [6] множители а, т, к и с являются характеристиками вирусного фенотипа; соответственно, для модели (1) величины а(я), т(л), к(я) и ф) являются функциями переменной з.

2 2

Случайные мутации вируса в модели (1) описываются дисперсией ц(<9 v(t, s))/(дs), где коэффициент дисперсии ц > 0 измеряется в 1/сут.

Введем безразмерные переменные и параметры:

0

0

qu

( _ \ t

u = u(t) = J

Л

x = x (t, s ) = ■

t 74 У

J y m- m-

, v = v(t, s ) =■

л

,s 4

I m '

v'

Л

q

q

v _ —,

x* 1/4

a = a(s) = -x-H— a

q(m-)1/4

s 4 ■

v-к

, к = к (s) = ■

s 4

m*

^m*

* 3/4, *\1/4'

v-a (m-)

где x- = sup x(0, s) = sup x (s), v - = sup v(0, s) = sup v (s), c- = sup c(s), m- = sup m(s).

s >0 s>0 s >0 s >0 s>0 s>0

Переходя к безразмерным переменным и параметрам в системе (1) и начальных (2) и краевых (3) условиях, получаем соответствующую безразмерную систему для переменных u(t ), x(t, s) и v(t, s) :

= 1 - u fi

dt J

axds — u,

с начальными

и краевыми

dx t— — 6V— = к v - cx,

д t

д

— = -mv + paux + dt

ds

u(0) = u0, x(0, s ) = x 0(s), v(0, s ) = v 0(y)

— (t, 0) = 0, lim v(t, s) = 0

ds s^«

условиями, где введены обозначения:

s 4

v -

v

, v 0(s) =■

s 4

v -

(4)

(5)

(6)

_о qu —0/—ч и = -—, X (у) = -

Ь х* V*

Как было отмечено выше, несмотря на то что в данной модели вирусный фенотип описывается четырьмя параметрами, в действительности каждый фенотип характеризуется единственным числом — начальным соотношением воспроизводства Л0. Для модели из [6] это соотношение определяется выражением Е0 = (аЬ^)/(с^), поэтому без ограничения общности и для простоты изложения можно считать, что только один из параметров зависит от ж, в то время как остальные постоянны и одни и те же для всех фенотипов. В частности, следуя [5], мы примем

а(у) = аэ, где а > 0, тогда т* = т, с* = с, С = 1, т = т. Кроме того, предположим, что х* = (к/с)у*

x

*

c

b

ад

0

И

(это соотношение выполняется в положении равновесия модели из [6]), тогда к = 1. При этих предположениях, а также опуская для упрощения обозначений знак черты, систему (4)—(6) можно записать в виде

ад

8 — = 1 - и \axds - и, гИ J

dt

0

= V - X, (7)

дt

дv , ,д2ч — = -mv + раих +---,

дt дз2

и(0) = и х(0, з) = х °(з), ^0, з) = V 0(з), (8)

^ (t, 0) = 0, ч(^) = 0. (9)

йу

Отметим, что система (7) имеет три временных масштаба, и в оригинальной работе [1] рассматривалась система с несколькими временными масштабами.

3. РЕШЕНИЕ ПОРОЖДАЮЩЕЙ ЗАДАЧИ Положив V = 0 в (7), придем к вырожденной системе первого порядка (см. [1]):

да

е — = 1 - и [avds - и, dt *

г 0 (10)

дч , ,д2ч — = -тч + раич +---.

дt дз2

Переходя в (10) к старым (размерным) переменным, получаем двумерную систему

да

ГиЦ)

dt

Ь - u(t) ^- ди(р),

= з) - т*, з) + ,

дt дз

которая рассматривалась в [5] (р = к/са).

Присоединенная система первого порядка имеет вид

дх = -х + V, (11)

дт

куда V входит как параметр. Очевидно, что корень первого порядка х = V (точка покоя присоединенной системы (11)) является изолированным и симптотически устойчивым по Ляпунову. Рассмотрим присоединенную систему первого порядка при V = V V) (т.е. при начальном значении параметра V)

с начальным условием

дх = -х + V 0(з) (12)

дт

х(0, з) = х V). (13)

Решение задачи (12)—(13) существует при т > 0 и стремится к точке покоя V0(з) при т ^ : х(т, з) = (х°($) - V°($))е+ V0(з) ^ V0(з) при т ^

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 55 № 2 2015

0

т.е. х 0(s) принадлежит области влияния точки покоя. Таким образом, все условия теоремы из [1] о предельном переходе выполнены, а значит, при достаточно малых v задача (7)—(9) имеет единственное решение и справедливы предельные равенства для некоторого T :

lim u(t, s, v) = u0(t, s) при 0 < t < T,

lim v(t, s, s, v) = v0(t, s, s) при 0 < t < T, s > 0,

v^+0

где u(t,e,v), v(t, s,e,v) — решения системы (7), u0(t,s), v0(t, s, s) — решения системы (10).

Далее в системе (10) положим е = 0, получим так называемую вырожд

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»