научная статья по теме АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ВЫРОЖДЕНИЯМИ Математика

Текст научной статьи на тему «АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ВЫРОЖДЕНИЯМИ»

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 1, с. 74-88

УДК 519.633

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ

ЗАДАЧ С ВЫРОЖДЕНИЯМИ^

© 2015 г. В. В. Гусаченко*, В. Б. Левенштам*, **

(*344090 Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8А, ЮФУ; **362027 Владикавказ, ул. Маркуса, 22, ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А) e-mail: lestat.anarchist@yandex.ru; vleven@math.rsu.ru Поступила в редакцию 10.04.2014 г.

Асимптотическими методами исследуется линейная параболическая задача второго порядка с быстро осциллирующими по времени младшими коэффициентами. Коэффициент при старшем стационарном операторе предполагается вырожденным: имеет простое нулевое собственное значение. При определенных дополнительных условиях доказаны существование и единственность периодического по времени решения задачи, а также построена и обоснована его полная асимптотика. Библ. 20.

Ключевые слова: линейная параболическая задача, высокочастотные по времени коэффициенты, вырожденная предельная задача, полная асимптотика, алгоритм обоснования асимптотики.

Б01: 10.7868/8004446691501007Х

1. ВВЕДЕНИЕ

В [1], [2] построены полные асимптотики периодических решений линейных нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими (высокочастотными) коэффициентами (ю > 1) и вырожденной главной стационарной частью; последняя имеет простое нулевое собственное значение. Согласно [1], [2] вид асимптотики зависит от того, имеет ли отвечающий нулевому собственному значению собственный вектор а0 обобщенные присоединенные (см. [3]) векторы (ОПВ) относительно определенной пары операторов А0, В0 или не имеет. Если выполняется последняя ситуация, то главный член асимптотики пропорционален ю (см. [1]); если же ОПВ (первого порядка) относительно указанной пары операторов существуют, то вид асимптотики зависит от соответствующей тройки операторов А0, В0, С0. В [2] установлено, что при отсутствии ОПВ второго порядка относительно указанной тройки главный член асимптотики периодического решения пропорционален ю2. (Вообще, как показал Л.К. Нгуен в магистерской диссертации, для широкого класса нормальных систем ОДУ порядок главного члена асимптотики определяется не кратностью вырождения главной стационарной части задачи, а старшим порядком обобщенных присоединенных векторов относительно соответствующего набора операторов. Это характерно и для управлений с частными производными (УЧП).) В [1], [2] результаты о существовании, единственности и асимптотике периодического решения установлены с обоснованием.

В [4] результаты из [1] и [2], относящиеся к построению формальных асимптотик, перенесены на линейные параболические уравнения второго порядка с высокочастотными по времени коэффициентами и граничными условиями Дирихле. В [4] тоже исследуется случай простого вырождения старшего стационарного операторного коэффициента. Основные выводы о порядке главного члена асимптотики имеют там тот же характер, что и в [1], [2]: выявляется тройка операторов А, В, С, действующих в определенном банаховом пространстве, и порядок главного члена асимптотики связан с наличием или отсутствием соответствующих ОПВ.

В [5] обоснованы результаты из [4], относящиеся к случаю отсутствия ОПВ. В данной работе результаты из [4] обоснованы при наличии ОПВ первого порядка. Конкретнее, здесь в указанной

1) Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (код проекта 12-01-00402-а).

ситуации доказано существование единственного--периодического по времени решения и

ю

обоснована построенная в [4] его асимптотика. Проведенная работа довольно громоздка, поэтому в статье представлены лишь ее ключевые детали. В связи с этим в данном введении опишем используемую в работе схему исследования.

Первый этап работы технически наиболее сложен. Он состоит в двукратном применении к исходной задаче аналогов классической замены переменных Крылова—Боголюбова (см. [6]). Эта замена позволяет понизить величину амплитуды высокочастотного с нулевым средним слагаемого обыкновенного дифференциального уравнения на порядок (относительно частоты осцил-ляций ю > 1) и тем самым перейти к более простому уравнению. Конструкция аналогичной замены в случае уравнений в частных производных (УЧП) намного сложнее ввиду того, что эта замена не должна нарушать (пространственных) граничных условий. Впервые такой аналог был построен, по-видимому, в [7] для задачи конвекции. Позже второй из авторов данной работы строил такого рода замены переменных для различных классов УЧП (см. [8]—[10]). В данной работе проведенные два преобразования типа Крылова—Боголюбова играют решающую роль. На втором этапе работы с помощью теории возмущений (см., например, [11]) устанавливается, что главный стационарный операторный коэффициентЛю преобразованной задачи имеет в некоторой окрестности нуля комплексной плоскости единственную точку спектра причем — простое собственное значение и = ^2ю-2 + о(ю-2), ю —»- да, Х2 ^ 0. На следующем этапе основное гильбертово пространство Н° = Ь2(0.) задачи разлагается в прямую сумму одномерного собственного подпространства ¡т оператора Лш, отвечающего А,ш, и его дополнения Ыау После этого преобразованная задача проектируется на каждое из этих подпространств. Получаем два дифференциальных уравнения — одномерное и бесконечномерное, от которых переходим к интегральным уравнениям, используя функцию Грина задачи о периодических решениях кратного

малой величине — периода Тш = 0(1), ю —»- да (см. [12]). На следующем этапе доказывается, что ю

полученная система интегральных уравнений вида ы^) = Se¡(t)u + ф(0,1 е [0, Тш], имеет единственное решение. Точнее, доказывается, что в подходящей норме имеет место оценка

ы < (1.1)

для больших ю. При доказательстве оценки (1.1) выручает тот факт, что собственное подпространство /ш, на котором функция Грина задачи неограниченно растет при ю —* да, конечномерно (одномерно). Это позволяет провести достаточно точный анализ одномерной задачи. Оценка же Sm на бесконечномерном подпространстве Ыю осуществляется с помощью теории полугрупп линейных операторов (см. [13], [14]) известным способом (см. [15], [10], [16]).

Мы описали схему доказательства существования и единственности обобщенного периодического по времени решения. С помощью известных теорем (см., например, [17], [18]) доказываем затем, что это решение является гладким — классическим. Обоснование построенных в [4] асимптотик осуществляется при использовании описанной выше схемы (две замены переменных типа замены Крылова—Боголюбова, расщепление преобразованной задачи на одномерную и многомерную задачи и т.д.) и следует по существу из оценки (1.1).

Заметим, что результаты данной работы нетрудно перенести на случай параболических задач произвольного порядка 2к, к е N.

Отметим еще, что данная работа, как и работы [1], [2], [4], [5] стимулированы важной работой [3], посвященной асимптотическому интегрированию стационарных задач с предельной задачей на спектре.

2. ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ 2.1. Постановка задачи

— 2П

В цилиндре О = О х Я рассмотрим задачу о--периодических по времени ? решениях линей-

ю

ного параболического уравнения второго порядка с большим параметром ю (ю > 1) и граничными условиями Дирихле:

= (хо + юц) и(х, г) + £ (-к(х)и(х, г) + йк(х))е'кш + х), (2.1)

1 < к < т

и(х, г)| г = 0. (2.2)

Здесь О — ограниченная область евклидова пространства К", п е с бесконечно гладкой границей дО; Г = дО х Я; Ь0 и Ь1 — дифференциальные выражения второго порядка:

п 2 п

Хои(х) = £ 4(х')ддидх + £Ь(х)ддт + С°(х)и(х),

и = 1 ' 1 ' = 1 '

п 2 п

Ци(х) = £ 4(х)дхдх) + £Ь1 (х)ддх + с1 (х)и(х),

',1 = 1 ' 1 ' = 1 '

где ^¿(х), ^0(х), а'у (х), Ь' (х), с'(х) е С"( О), 1 < |к| < т, I = 1, 2; причем коэффициенты Ь0 и Х1

вещественны, а функции gk и g-k, а также dk и й-к комплексно сопряжены. Выражение Ь0 предполагается эллиптическим, т.е. для любого х е О и = (£,ь £,2, ..., £,п) е К" выполнено неравенство

п

£ а%> 0. (2.3)

',1 = 1

Решение задачи (2.1), (2.2) понимается в классическом смысле. Это же относится и к решениям других задач данной работы, если не сказано противное.

Будем предполагать, что задача

^(х) = 0, v(x)| ап = 0,

имеет единственное решение а0(х), нормированное в Х2(О) (||а0||х(П) = 1). Как известно (см. [18, п. 6.2.3]), в этом случае формально сопряженная задача

Х*и (х) = 0, и (х) | ап = 0,

также имеет единственное нормированное в Х2(О) решение z0(x), причем

(а0, ^)* 0. (2.4)

Действуя по аналогии с [2], [4], вводим в рассмотрение дифференциальное выражение

Ми(х) = - £ {8к(х)и(х)) - £ 'к(х)-(х)--(х)и(х). (2.5)

^ к ^ s (5 + I)

1 < к < т К 1 < к, И, Н < т,

к + I + 5 = 0

Предположим, что относительно тройки Ь0, Ьх, N собственная функция а0(х) имеет ОП функцию а1(х) первого порядка, а ОПФ второго порядка не имеет, т.е. задача

Ци (х) = -Ьа(х), и (х )| ап = 0,

имеет решение и = а1(х), а задача

Х0и(х) = -Ь1а1 (х) - Ма0(х), и(х) |ап = 0,

не имеет решений. Согласно альтернативе Фредгольма (см. [18, п. 6.3.2]) эти утверждения равносильны соотношениям

(Liа0, zo) = 0, (Liах + NaQ, Zo0, (2.6)

где скобками обозначено скалярное произведение в L2(Q).

В работе будут доказаны существование и единственность — -периодического по времени t

ю

решения задачи (2.1), (2.2), а также обоснован эффективный алгоритм построения его полной асимптотики.

2.2. Основной результат

В некоторой достаточно узкой погранполоске области Q. перейдем обычным образом к криволинейной системе координат

X = (у, r) = íy, J, p = гТЮ,

л/ю

где r — расстояние от х до у е вдоль нормали к 5Q.

Асимптотическое разложение — -периодического по времени t решения задачи (2.1), (2.2)

ю

строим, используя метод пограничного слоя (см. [19]) в виде

3 да

u(x, t) = ю2С_4ao(x) + ю2D-4ao(x) + ^ ю-к[u2k +i(x) + w2 +i(y, p) + Ck_2ao(x) +

к = -1

-2k -1

(2.7)

+ Ск-3а1 (х) + У2к + 1(х,т) + ^2к + 1 (V, Р,т)] + X Ю 2 [и2к + 2(Х) + + 2+ Вк-2(Х) +

к = -1

+ ^к-3^1(Х) + У2к + 2(Х, т) + 12к + 2(У,Р,Т)] , Т = Ю?, р = Г^Ю.

Здесь Ск и Бк — вещественные числа; ик: О —»- Я и ук: О х Я —» Я — регулярные, а р) и

£к(у, р, т) — погранслойные

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»