ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2011, том 51, № 6, с. 1043-1055
удк 519.62
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С БОЛЬШИМ ПАРАМЕТРОМ
В КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ
© 2011 г. До Нгок Тхань*, В. Б. Левенштам* **
(*344090 Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8а, ЮФУ, ф-т матем. и механ.; **362027 Владикавказ, ул. Маркуса, 22, ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А) e-mail: dothanhngocctsp@gmail.com; vleven@math.rsu.ru Поступила в редакцию 19.08.2010 г.
Для линейной нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами в одном критическом случае доказаны существование и единственность периодического решения, пострена и обоснована его полная асимптотика, а также найдены условия устойчивости и неустойчивости по Ляпунову. Установлено, что построенный асимптотический ряд сходится при этом к решению абсолютно и равномерно. Библ. 9.
Ключевые слова: линейная нормальная система с быстро осциллирующими коэффициентами, вырожденная стационарная усредненная система, полная асимптотика периодического решения, устойчивость и неустойчивость решения по Ляпунову.
1. ВВЕДЕНИЕ
В теории метода усреднения Боголюбова— Крылова—Митропольского (см., например, [1]) важное место занимает результат о построении и обосновании полной асимптотики (старших приближений) периодического решения нелинейной нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами, которое существует и единственно в некоторой окрестности решения стационарной усредненной системы. Последнее предполагается при этом невырожденным, т.е. матричный коэффициент линеаризованной на указанном решении стационарной усредненной системы, обратим.
В данной работе рассматривается задача о периодическом решении линейной нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с быстроосциллирующими коэффициентами, для которой коэффициент А0 стационарной формально усредненной системы имеет простое собственное значение X = 0 с собственным вектором а0. По набору быстро осциллирующих и младших стационарных коэффициентов возмущенной системы построена некоторая матрица В0. Предполагается, что вектор а0 не имеет присоединенных относительно пары матрицА0, В0 векторов (см. [2]). В работе доказаны существование и единственность периодического решения возмущенной системы и построена с обоснованием его полная асимптотика по степеням малой величины, обратной частоте осцилляций коэффициентов этой системы. Установлена равномерная и абсолютная сходимость асимптотического ряда к решению. Исследованы вопросы устойчивости и неустойчивости по Ляпунову этого решения.
Отметим, что полученные результаты допускают перенесение на класс линейных систем, которые дополнительно содержат высокочастотные с нулевым средним слагаемые, пропорциональные квадратному корню из частоты (большие высокочастотные слагаемые). Здесь мы это перенесение не проводим, чтобы не увеличивать объем работы. О некоторых результатах по развитию теории метода усреднения для систем (в основном, нелинейных) с большими высокочастотными слагаемыми см., например, в [3], [4].
2. ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ
Будем использовать следующие обозначения: Мп (п е М) — множество всех квадратных матриц порядка п с комплексными коэффициентами; Сп — пространство п-мерных вектор-столбцов с
1043
6*
комплексными элементами. В С для любых двух вектор-столбцов х = (хь...,хп)т и у = (у1,уп)т определим скалярное произведение
(х, у) = X Х/У/,
/=1
а также введем норму вектора |х|
= У1 (х, х).
Определение 1. Пусть матрицы Л^,В0 е Мп, X = 0 — собственное значение матрицы Л0, а0 — соответствующий ему собственный вектор. Говорят (см. [2, с. 9]), что вектору а0 отвечает цепочка длины к (к е Ы) присоединенных относительно матриц Л0 и В0 векторов аь / = 1, к, если выполняются равенства А0а/ = -В0а-Ъ / = 1, к, а уравнение Л0х = -В0ак не имеет решений. В случае, когда уравнение Л0х = -В0а0 не имеет решений, говорят, что а0 не имеет присоединенных относительно А0, В0 векторов.
Для краткости присоединенные к а0 относительно матриц А0, В0 векторы будем называть просто присоединенными векторами.
Напомним еще, что средним непрерывной /-периодической функции / (г) называют величину
I
(/) = 1 \/№.
0
Пусть всюду далее числа т, п е N, матрицы Л0, Л1, Вк е Мп, векторы А0,Ак е С, 1 < |к| < т. При этом X = 0 является простым корнем характеристического уравнения |Л0 - ХЩ = 0, а0 — соответствующий ему собственный вектор такой, что |а01 = 1. Кроме того, пусть а0 не имеет присоединенных векторов, т.е. (В0а0,г0) Ф 0, где В0 := Л + У и г0 — собственный вектор, отвечаю-
¿—11<\к\<т /к
щий собственному значению X = 0 сопряженной к Л0 матрицы Л0*.
Отметим, что факты X = 0 — простой корень характеристического уравнения |Л0 - ХЩ = 0 и отсутствие у а0 присоединенных векторов являются независимыми, т.е. не вытекают один из другого. Действительно, имеют место контрпримеры.
Пример 1. Л0 = 0^, В0 = ^1 , тогда X = 0 — простой корень характеристического уравнения
Л0, а1 = (-1 - 1)т — присоединенный вектор к а0 = (0 1)т. (0 1 ^ (1 0^
Пример 2. Л = I ^ I, В0 =1 I, X = 0 — кратный корень характеристического уравнения матрицы Л0, но при этом отвечающий ему собственный вектор не имеет присоединенных векторов. Рассмотрим однородную систему
Ах | , 1 т) | , V"1 „ 1Ш
— = \Л0 +-Вс Iх + У Вкхе . Аг V ю )
1<\к\<т
Производя в ней последовательно бесконечное число замен переменных Крылова—Боголюбова
(см. [1, с. 24]) (х = у + У Вкуе'ш — первая из них), придем к формальной системе
^1<1к1<т,кЮ
Аг _( л , 1 , , 1
2
— _ I Л0 + -Л1 + —Л2 + ... Iг = Лтг. Аг V ю ю
Рассмотрим характеристический многочлен \\Е - А^ = Xп + а1ткп 1 + ... + апт и составим по нему матрицу Гурвица
Г(ш) =
а1и 1 0 0 ... 0
а3ш а2ш а1ш 1 . 0
а2и-1,ю а2и-2,ю а2и-3,ю а2и-4,ю "• апш
где аю = 0 при 5 > п. Все диагональные миноры I = 1, п, матрицы Гурвица, которые называются детерминантами Гурвица, разложим в формальные ряды по степеням ю-1:
да да
Аш = а1га = °>ш =\Г ш\ = Х®"^, •
?=0 д=0
Рассмотрим теперь неоднородную систему
^ = [А +1А ] X + X (ВкХ + йк )г1Ш + й,. (1)
Основным результатом работы является следующая
Теорема 1. Существует такое число ю0 > 0, что при ю > ю0 справедливы следующие утверждения.
1. Уравнение (1) имеет единственное 2п/ю - периодическое решение. Последнее представимо в виде сходящегося ряда
х(?) = юс_1а0 + [х0 + с0а0 + у0(ю?)] + ю-1 [ + с1а0 + у^ю?)] + ..., (2)
где с-1, с е С; х1 е Сп; у. К ^ Сп суть 2п - периодические вектор-функции с нулевым средним ({у)(т)) = 0), I = 0,1,..., которые эффективно определяются. При этом существует такая постоянная М0 > 0, что при всех ю > ю0 и ? е Я справедливы оценки
—г+1
|*(0 -
(юс_а + [ + с0а0 + У0(ю?)] + ■•■ + ю - [ + са + Уг(ю?)]}| < —' г = 0'1 .—
2. Если в разложениях по степеням ю-1 детерминантов Гурвица I = 1, п, все первые ненулевые коэффициенты положительны, то решение хш(?) устойчиво по Ляпунову. Если же хотя бы один из первых ненулевых коэффициентов этих разложений отрицателен, то решение хш(?) неустойчиво.
Под эффективностью определения коэффициентов ряда (2) понимается тот факт, что нахождение каждого из них сводится к конечному числу арифметических действий над числами, конкретнее: вычисление каждого коэффициента ряда (2) сводится к решению конечного числа двух типов задач — систем алгебраических уравнений А0х = Ь и систем дифференциальных уравнений
X X = 0.
0<к<М
Задачи первого типа решаются методом Гаусса, а решения задач второго типа выписываются непосредственно:
С к ¡кт — в .
X = X ^ ¡к
0<к<М
Существование решения х(?) уравнения (1), представленного в виде сходящегося ряда (2) и указанные в теореме оценки установлены в разд. 3, а единственность этого решения доказана в разд. 4. На доказательстве второго утверждения теоремы останавливаться не будем, так как оно повторяет соответствующие рассуждения из [5] при дополнительном учете замен Крылова-Боголюбова.
3. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ, ПРЕДСТАВЛЕННОГО СХОДЯЩИМСЯ
АСИМПТОТИЧЕСКИМ РЯДОМ
Формальное асимптотическое разложение решения уравнения (1) на основании метода двух-масштабных разложений и метода Вишика—Люстерника (см. [2]) будем искать в виде (2). Подставляя (2) в (1), получаем
ю ау0 + ау1 + 1ау2 + + 1_ау1+1 + =
ат ат ю ат юг ат
ю
= Мх0 + у0) +1 Ах + у1) + . + -1ГЛ0(хг + у г) + ... ю ю
... + с_1 Л^0 +1 Л1(х0 + ад + у0) ... + -7 Л^хг-1 + сг -о + уг-1) + ... ю ю
— + У юС-ВкО) + Вк(х0 + ад + у0) + ... + —гВк(хг + ад + уг) + ... + Ак
1<\к\<т Ю
(3)
/кт , г
е + А0,
где т = юг.
Приравняем коэффициенты в левой и правой частях равенства (3) при одинаковых степенях ю. Начнем со старшей степени ю1:
Ау° = У с^В^, ую) = 0,
А т
1<|к|<т
так что
у0(т) = У С-1 Вк0е'кх. (4)
1<|к|<т
Равенство коэффициентов в (3) при ю0 имеет вид
Ау1 = Лх0 + A0У0 + С-1 Ла + У [Вк(х0 + С0а0 + у0) + Ак]егкх + А0. Ат ^^
1<\к\<т
Подставляя сюда у0(т) из (4) и применяя к обеим частям полученного равенства операцию усреднения, приходим к равенству
0 = лх0 + С-1 Ла + У С_1В к В^'0 + А0,
1<\к\<т
или
-Ах0 = С-1В0а0 + А(0), А(0) := А0. (5)
Уравнение (5) разрешимо тогда и только тогда, когда (с-1В0а0 + А(0), г0) = 0, т.е.
С-1 = -(А(0),г0)/(В0а0,г0). Отсюда с_1 = -(А(0),г0)/(В0а0,¿0), х0 = -Ж(с_1В0а0 + А(0)), где Ж - обратный оператор к сужению оператора Л0 на ортогональное дополнение вектора а0. Далее,
Ау = У [с-1 А°Вг1 + Вкх, + С0Ва + Ак]ек + У С_1 ^е™, (у^т)) = 0,
А т I /к
1<|к|<т 1<|к|,|/|<т,
к+1
так что
у1(т) = У
А0Вка0 + Вкх0 + с Вка0 + Ак 1-2— с0--1
1к% е -
У с1 ВВа0е'(к+')Т := У с0 Ваек + У а£Укт, 1 (к + 1)1 к ^
1<|к| Щ <т, У ' 1<| к| <т 1<|к|<2т
к+1
где ак — известные векторы, \к\ = 1,2т.
Таким образом можно найти все коэффициенты, векторы и вектор-функции, фигурирующие в формальной асимптотике (2). Действительно, предположим, что для любых у < г при некотором г > 1 найдены с у _2, у у_1, Ху _1 и, кроме того, уг имеет вид
Уг(т) = X Сг-1 ВЦ° вк + X акТ)вкт, (6)
1<|к|<т 1<|к|<(г+1)т
где векторы а[ известны, \к\ = 1, (г + 1)т. Приравнивая в равенстве (3) коэффициенты
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.