МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 1 • 2013
УДК 539.3
© 2013 г. Д. В. ГЕОРГИЕВСКИЙ
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ ПРАНДТЛЯ В ДИНАМИЧЕСКОЙ ПОСТАНОВКЕ
Динамическая постановка задачи о сжатии тонкого идеальножесткопла-стического слоя абсолютно жесткими плитами, движущимися с постоянными скоростями навстречу друг другу, включает два характерных безразмерных параметра. Один из них — малый геометрический параметр а, равный отношению толщины слоя к его длине, — явно зависит от времени, причем со временем растет порядок его малости по отношению к другому безразмерному параметру — не зависящей от времени величине, равной обратному числу Эйлера. Эта величина принимается также много меньшей единицы. В зависимости от соотношения указанных параметров, т.е. на различных временных интервалах, с помощью процедуры асимптотического интегрирования строятся решения в виде разложений по целым степеням а. Обосновывается правомерность поиска решения в данной форме. Показывается возможность гладкой сшивки по времени асимптотических разложений.
Определяется отношение указанных параметров, при которых поправка в выражении для давления, вызванная инерционными слагаемыми, становится того же порядка, что и слагаемых, участвующих в классическом решении Прандтля квазистатической задачи.
Ключевые слова: идеальножесткопластическое тело, динамика, задача Прандтля, растекание, сжатие, асимптотические разложения, число Эйлера.
1. Динамическая постановка задачи Прандтля. Рассматривается течение несжимаемого идеальножесткопластического материала с плотностью р и пределом текучести cts, происходящее на интервале времени 0 < t < t* = h0/V в тонком прямоугольном слое
Qt = {-l(t)< x < l(t), -h(t)< x2 < h (t)}, h(t) < l(t)
h(t) = h0 - Vt, h(0) = h0, l(0) = l0, V = const (U)
Длинные стороны слоя соприкасаются с движущимися навстречу друг другу абсолютно жесткими, бесконечными по х1 плитами с известными коэффициентами шероховатости m0 (0 < m0 < 1). Скорость Vобеих плит и начальная толщина 2h0 слоя заданы, так что требование несжимаемости накладывает естественную связь h(t)l(t) = h0l0 = S0 на известные функции h(t) и l(t); S0 — четверть площади слоя.
Замкнутая система плоской динамической теории идеальной пластичности состоит из пяти уравнений:
4 Механика твердого тела, № 1
97
-Р,1 + «11, 1 + «12, 2 = Р( и1, t + и1,1 и1 + и1, 2 и2) -Р,2 - «11, 2 + «12,1 = Р( и2, t + и2 1 + ^2, 2 ^)
(1.2)
«21 + «12 = / 2 ^Т?, «11 ( и1, 2 + и2,1) = 2«12^1,1 «Л,1 + Ц>2, 2 = 0
в области относительно компонент скорости иь и2, компонент девиатора напряжений 5И, 512 и давления р. Запятая в индексе означает частную производную по соответствующей переменной; х:, х2 или
Кинематические граничные условия непротекания и условия того, что модуль касательного напряжения достигает своей верхней грани на поверхности прессующих плит, записываются следующим образом:
и 2 |х2 = -Н = V, и 2 |х2 = Н = -V 0.3)
Ы Х2 = -Н = Ы х2 = Н = т0Т« (1.4)
причем равенства (1.4) можно считать определением коэффициента шероховатости т0. Абсолютному сцеплению отвечает т0 = 1.
Короткие стороны х1 = ±1(() слоя свободны от напряжений, однако на них точные граничные условия не задаются, а области вблизи них (на расстояниях порядка И) обычно трактуются как зоны краевого эффекта. Систему (1.2)—(1.4), составляющую динамическую постановку задачи Прандтля, назвать начально-краевой задачей можно весьма условно, поскольку эта система традиционно не сопровождается никакими начальными условиями. Ищется же решение, физически соответствующее сжатию по оси х2 с растеканием материала вдоль оси х1.
Квазистатическая постановка отличается от (1.2)—(1.4) тем, что в правых частях первых двух уравнений (1.2) стоят нули, т.е. время ? становится параметром, входящим в хорошо известное решение [1—4] неявно, лишь через И и I:
VL . 2«_ Vx1
ui = -1 -«1 + —л/h - mQX2j, U2 = —7- (1.5) h v m0 у h
t« [72 П moT^ ^
«11 = 7Wh - mo-2, «12 = -s-0--—2 (1.6) h h
P = -7 [ mo (l - X1) -Jh2 - m^ ] + Po (1.7)
h
где s = signx:;p0 = const. Формулы (1.5)—(1.7) в монографиях и учебниках чаще записывают для случая абсолютного сцепления m0 = 1 и для половины слоя х1 > 0. В работе [5] при записи решения учитывается тот факт, что коэффициенты сцепления слоя с каждой из плит могут отличаться друг от друга.
Наличие сигнатуры s в (1.5)—(1.7) свидетельствует о разрыве функций в срединном сечении х1 = 0 и о применимости формул вдали от середины слоя по простиранию. В окрестности сечения х1 = 0 требуется строить другие разложения, приводящие к решениям, отличным от (1.5)—(1.7). В частности, эти новые решения могут моделиро-
вать наличие жестких зон [6], в которых интенсивность напряжений аи = (^ + ^ ) меньше, чем
Возвращаясь к динамической постановке (1.2)—(1.4), необходимо прежде всего подчеркнуть важность учета при моделировании высокоскоростных пластических течений инерционных сил [7], особенно в тонких слоях. Внешние нагрузки, необходимые для осуществления таких течений, сильно отличаются от тех, что характерны для квазистатики. Так в работах [8], где строятся аналитические решения динамической задачи Прандтля, и [9], где методом Овсянникова проводится анализ групповых свойств уравнений динамической теории плоской идеальной пластичности применительно также к задаче Прандтля, установлено, что давление зависит от х1 не линейно, как в (1.7), а квадратично. От этого меняется суммарная сила, действующая со стороны материала на жесткие плиты. В [10] также подчеркивается, что влияние инерции согласно физико-механическим соображениям должно прежде всего сказываться на шаровых свойствах тензора напряжений и в меньшей мере на девиаторных.
В теории обработки металлов давлением известна область параметров задачи, в которой достоверно квазистатическое приближение в тонком слое [10, 11]:
рУ/х, ^ Н2/12 < 1 (1.8)
Подстановка в (1.8) значений для конкретных металлов и верхние оценки допустимой скорости деформирования осуществляются в [12]. Система неравенств (1.8), в частности, показывает, что квазистатическое решение не допускает предельного перехода Т ^ 0 к идеальной жидкости, т.е. гидродинамический аналог задачи Прандтля в квазистатической постановке отсутствует.
2. Разложения по малому геометрическому параметру. Образуем зависящий явно от времени безразмерный малый геометрический параметр а(0 = h/l = h2/S0 ^ 1 и другой не зависящий от времени малый физический параметр Ей-1 1, где Ей = тУ(рР^) — число Эйлера — один из ключевых безразмерных критериев в динамических задачах МСС, равный отношению характерного силового фактора (напряжения, давления) к характерному динамическому напору в системе. Как следует из (1.8), если Ей-1 = o(а2), то задача в квазистатическом приближении адекватно моделирует процесс сжатия и растекания идеальножесткопластического слоя.
Число Ей-1, как уже было сказано, в задаче мало и фиксировано. По сравнению с ним порядок малости а(0 с прохождением t от 0 до ti¡. растет до бесконечности. Пользуясь тем, что а(0 = — t)2/S0, нетрудно получить, что
Ей-1 = О(аР(0)^ и. - *--1— —0, Р> 0 (2.1)
У У " * Еи1/(2р) У
Применительно к динамическому анализу интерес представляет следующий диапазон показателя в: 0 < в < 2. Он включает два целых значения: в = 2 и в = 1. Проведем ниже поиск решения прежде всего для этих двух значений, что позволит представить разложения пяти неизвестных в (1.2) функций лишь по целым степеням а:
да
их(хъ Х2, о = У £ а"Ъ1"](П1,П2,Т), N> 1 (2.2)
п = ^
4* 99
да да
иг(х1, Х2, *) = У£ а"и2"](П1,П2, т), ,(Х1, Х2, *) = т, £ а™1 {т](П1,П2, т)
П = 0 т = 0
да
Р(х 1, Х2, *) = т, £ атр{т](П1, П2,т), М> 1
т = -М
П1 = Х1 /1 = аХ1/Н, п2 = Х2/Н, т = У*/Н (2.3)
где М и Ж — заранее неизвестные натуральные числа, определяющие порядок главных сингулярных асимптотических членов разложений р и и1. Именно эти две функции из пяти неизвестных в (1.2) неограниченны при а ^ 0, тогда как девиатор напряжений (в силу критерия пластичности) и поперечная компонента скорости (в силу граничных условий (1.3)) остаются ограниченными. Если в (2.2) положить М = N = 1, то структура разложений будет такой же, как и в классическом решении Прандтля (1.5)—(1.7).
Безразмерные коэффициенты рядов (2.2) — функции новых безразмерных переменных (2.3), меняющихся в интервалах 0 < т < да, —1 < п < 1, —1 < П2 < 1. Важно, что пределы изменения пространственных координат ^1, П2 уже не зависят от т (в отличие от размерных координат (1.1)).
Подставляя ряды (2.2) в систему (1.2) и граничные условия (1.3), (1.4) и учитывая формулы
дп_1 =-УП1 дп_2 = _Уп_2 дт = УН- = (1 + т) У да =-2Уа (24)
д* Н , д* Н , д*Н2 Н, д* Н
необходимые при замене переменных (хь х2, 0 ^ (Пь П2, т), получим
да да да
Хт + 1" {т] ^ т + К {т] т" {т]
а р, 1 + £ а ,11,1 + £ а ,12,2 =
т = -М т = 0 т = 0
да
1 I V пг., , п] _{п] , _{п] ~ _{п]-, ,
= Еи\ £ а [(1 + т) и1,т - П1 и1,1 + п2и1,2 - 2пгл ] + (2.5)
Еи I
п = -N
да да да да
а и1,1 • £ а и + £ а и1,2 • £ а и>2
п = 0 п = п = ^ п = 0
да да да
Хт" {т] ^ т' {т] ^ т + К {т]
а р, 2 - £ а ,11,2 + £ а ,12,1 =
т = -М т = 0 т = 0
да
п
1 1 V пг/1 п] _{п] _{п] 0 _{п]-,
— < £ а [(1 + т) и2,т - П1 и2,1 + П2и2,2 - 2пи2 ] + (2.6)
Еи
кп = -N
да да да да
Хп + 1_ {п] ^ п_ {п] п_ {п] ^ п_ {п]
а и2,1 • £ а и + £ а и>2,2 • £ а и2
п = 0 п = -№ п = 0 п = 0
2
Хт-{т}
а «11
2
^ т' {т}
X а «12
= 1
I = 0
! = 0
(2.7)
т = 0
т" {т}
а «11
{п } а и1,2 +
*-п = -щ
п = 0
я + 1_ {п}
а и2,1
=2 X
т = 0
т' {т}
а «12
X
п + 1_ {п}
а и>1,1
п = -Щ
(2.8)
Хп + 1_ {п} п~{п} п
а и1,1 + X а и2,2 = 0
-щ
г = 0
(2.9)
-{0}| ,1 -{1}| -{2}|
^2 п2 = -1 = ±1, °2 |п2 = -1 = °2 П2 = -1 = ••• = 0
(2.10)
|-{0}|| "{1}| -{2}|
1« 12 | |п2 = -1 = т0, «12 |п2 = -1 = «12 |п2 = +1 =
= 0
(2.11)
где запятые в индексе означают частное дифференцирование по новым безразмерным переменным. Число Эйлера Ей, отвечающее за влияние динамических слагаемых, входит только в уравнения движения (2.5), (2.6).
Обратимся к системе двух последних уравнений (2.8), (2.9). Из (2.8) сразу следует,
что и1,2 = 0, а из (2.9), если N > 2, следует и1,1
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.