научная статья по теме АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ВОЛНОВОДА В ОКРЕСТНОСТИ УГЛОВОЙ ТОЧКИ ЛИНИИ РАЗРЫВА ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ Математика

Текст научной статьи на тему «АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ВОЛНОВОДА В ОКРЕСТНОСТИ УГЛОВОЙ ТОЧКИ ЛИНИИ РАЗРЫВА ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ»

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 3, с. 446-459

УДК 519.634

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ВОЛНОВОДА В ОКРЕСТНОСТИ УГЛОВОЙ ТОЧКИ ЛИНИИ РАЗРЫВА ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ

© 2015 г. А. Н. Боголюбов, И. Е. Могилевский, А. Г. Свешников

(119992 Москва, Ленинские горы, МГУ, физ. ф-т) e-mail: bogan@yandex.ru; mogilev@phys.msu.ru Поступила в редакцию 04.09.2014 г.

Исследуется задача о поведения электромагнитного поля волновода в окрестности угловой точки линии разрыва диэлектрической проницаемости. Библ. 9. Фиг. 2.

Ключевые слова: асимптотическое представление, особенность на ребре, сингулярность электромагнитного поля, эллиптические краевые задачи.

DOI: 10.7868/S0044466915030035

1. ВВЕДЕНИЕ

Известно, что существование угловых точек на границе может приводить к особенностям решения эллиптических краевых задач, в частности к сингулярностям у электромагнитного поля в окрестности таких точек (см., например, [1], [2]). Кроме того, особенность решения также возникает вблизи угловой точки линии разрыва коэффициента уравнения (см. [3]). Это существенно осложняет применение численных методов для расчета подобных систем (см. [4]).

Одним из способов преодоления этой проблемы является выделение особенностей решения в явном виде, т.е. построения асимптотики решения вблизи угловой точки. Впервые результаты, относящиеся к асимптотике решения эллиптических краевых задач, получены в [5], [6].

Здесь и далее под словами "асимптотика" или "асимптотическое представление" подразумевается асимптотика "по гладкости", т.е. представление решения в виде суммы функции, представляющей собой вид особенности в окрестности угловой точки границы или линии разрыва, и гладкой функции, для которой получены оценки нормы в соответствующем пространстве.

Эллиптические краевые задачи, описывающие электромагнитное поле в волноведущих системах при наличии ребер на их границах исследованы в [7], [8], где получено асимптотическое представление решения и доказана сходимость метода смешанных конечных элементов с использованием сингулярных пробных функций, позволяющих приблизить с заданной точностью решение, имеющее особенность вблизи ребра. При этом оценка скорости сходимости оказалась не хуже, чем в случае отсутствия особенности.

В настоящей работе аналитическими методами строится асимптотическое представление электромагнитного поля волновода в окрестности угловой точки линии разрыва диэлектрической проницаемости.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассматривается металлический радиоволновод с диэлектрическим заполнением, неоднородным в поперечном сечении. Следуя работе [9], предполагается, что электромагнитное поле волновода имеет гармоническую зависимость от времени вида в-ш. Боковая поверхность считается идеально проводящей, волновод представляет собой цилиндр Q = {(х, y) е Q, г е (—да, да)}. Магнитная проницаемость среды, заполняющей волновод, равна ц(х, у) = 1. Диэлектрическая проницаемость s(x, у) — кусочно непрерывная скалярная вещественная функция.

При указанных условиях для компонент электромагнитного поля A = {Hx, Hy, Ez} в [9] получена следующая математическая постановка задачи (для собственных векторов)

-graddivH± - k2s HL - iks rot Ez = -y2H±,

2 (1) -ikrot sHL - div sgradEz = -y sEz,

где к = ю/с — волновой вектор, у — спектральный параметр, предполагается, что все функции имеют зависимость от z вида e-mz. Граничные условия и условия сопряжения имеют вид

(H • n) |ап = 0, Вг\т = 0,

[(H • n)] |с = 0, [Ez]\с = 0, (H X n)|с = о, (2)

[divHL] \с = 0, [e(gradEz + ik(H x iz)) • n] |C = 0,

где HL = {Hx, Hy} = {Hr, Нф}, C — линия разрыва диэлектрической проницаемости, n — нормаль к границе области или линии разрыва, у — постоянная распространения,

„ 3HX 3Hy dHy 3HX divH± = —- + —-, rot HL = —----,

dx dy dx dy

dE OE OE OE

gradEz = ix +iy t, rotEz = ix iyf- iy &.

В [9] рассмотрен вопрос о поиске слабых решений задачи (1), (2) в гильбертовом пространстве

W = H0 (div )© H1,

где ||AI W = ||HJH0(div) + ||EjH,

H0(div) = {HL\HL 6 (Z2(Q))2, divH± G L2(Q), (HL • n) |sa = 0}, H*(Q) = {^ 6 H>(Q), sa = 0}, ||HJ|H0(div) = ||Hj|2L(a))2 + lldivH

Л L2(Q.y

Для слабой постановки задачи (1), (2) показано, что данная задача порождает ограниченный оператор T : (L2(Q))3 —W, компактный в подпространстве Vпространства W, выделяемом дополнительным условием

rot HL = -iks Ez, (4)

которое понимается в смысле обобщенных функций. Таким образом, спектр задачи (1), (2), рассматриваемой в указанном пространстве, состоит из счетного множества возрастающих по модулю собственных значений.

3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ В СЛУЧАЕ, КОГДА ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ ВОЛНОВОДА

ЯВЛЯЕТСЯ ВСЯ ПЛОСКОСТЬ

Сосредоточимся на исследовании поведения электромагнитного поля в окрестности угловой точки линии разрыва диэлектрической проницаемости. Рассмотрим задачу на всей плоскости вместо области О. В дальнейшем использование срезающей функции позволит свести задачу в конечной области к задаче на всей плоскости. Дополнительно предположим, что диэлектрическая проницаемость является кусочно постоянной (по крайней мере в окрестности угловой точки линии разрыва). Перейдем к полярной системе координат с центром в угловой точке линии разрыва. Рассмотрим "секториальное" распределение сред (см. фиг. 1). В полярной системе координат формулы (3) примут вид Н1 = {Нг, Нф},

1 д( н-^ 1 dHv 1 д 13H,

- Т- (rHr) + - rot HL = - Т- (H) - - -Г-'

r or r дф r Or r дф

(5)

OE 1 OE 1 OE OE

grad Ez = ir —z + ip - —z, rot Ez = К - —z - ip —z.

Or r дф r дф Or

Рассмотрим второе уравнение системы (1), домножим его на 1/б и вычислим производные (в смысле обобщенных функций), после преобразований получим

ё^гаёЕ = 1 (е—- - ¡кегНг

- 2 (~ дф

5(Ф) +

1 Г дЕ- .

г2 ( дф

- ¡ке гНг

5(ф - ©с) +

+у2 Ег (н)

гдг г дф

В предположении кусочно постоянной е имеем

= 1 _ 1 =

С1 е1 е2

е1е

12

1 _ 1 = е1 _ е 2

е2 е1

е1е

12

где С1 и С2 — линии разрыва диэлектрической проницаемости, е1 и е2 — значения диэлектриче ской проницаемости в областях Б1 и Б2 соответственно (см. фиг. 1). Таким образом, получаем

1 Г_дЕг

divgradЕ = -I е —- - ¡кегНг

- 2 ^дф

е2 - е 1

С1 е1 е2

1 Г„дЕ_

8(Ф) -12(е

г дф

, 2 „ ¡к д ( ч , ¡кдНг

+ у Е-- т(гН) + -т-.

гдг г дф

- ¡кегН,

С2 е1 е2

18(ф - ©с) +

(6)

Пусть

а-, дЕ - ¡кгнг. дф дф

ди

Функция е — непрерывна при переходе через линию разрыва диэлектрической проницаемо-дф

сти, функция ди/дф терпит разрыв I рода на С1 и С2. Определим ди/дф на С1 и С2 следующим образом:

ди дф

ди дф

= - ^ (г, с + С) + ди (г, 2п - с)1,

с1 2 [дф дф )

= 1 ||ф (г, ©с + С) + д-(г, ©с - С)1.

с2 2 [дф дф I

(7)

Аналогично тому, как это проделано в [3], получим уравнение

л г 2ади, ч 2ади^ ч ¡кдю , ¡kдv , „ ч

divgradЕ- = — — (г, с)5(ф) - -г---(г, ©с)8(ф - ©с) -- — + - — + /(г, ф), г2 дф г2 дф г дг г2 дф

где

а =

е2 - е1

, Чг, ф) = гНг, м>(г, ф) = гИ„, /(г, ф) = у2Е-.

е1 + е2

2

С

Первое векторное уравнение системы (1) после умножения на г дает два скалярных уравнения:

Г--д- (Н)! + г|Г= -к2е(гНг) - /кедЕ + У2(Н,

дг V г дг

дЛг2 дф

дф

1 д2 . 1 д2 (гН,) . . ,__д Е, , .2

-(гНг) + -1

г дг дф

дополнительное условие (4) примет вид

1 5

2 2 ^ = -к2е( гН,) + 1Ыг-г + У2( гН,), г дф дг

Введем обозначения

.(Н) - = -к Е,.

г дг / дф

ды 2

/г(г, ф) = -/ке— + у у(г, ф), дф

2 дЕ 2

/,(г, ф) = -к е—(г, ф) + /кег-г + у —(г, ф),

Р,(г ф) = -/кЕ,.

Система (9) преобразуется к виду

д2 V -ду 2 д-д1— + — = /(г ф)

дг2 г дг г2 дф г дгдф г

1 д2 V , 1 д2 — , ч

+ - —- = /,(г, ф),

2

с дополнительным условием

Из условия (11) следует, что

г дгдф г2 дф

1 д— 1 ду , ч

- ТГ - 1Г" = еР,(г,ф).

г дг г2 дф

/кд— /кду ., , ч

—+ -¡т- = -/кеР,(г, ф). г дг / дф

Подставляя это выражение в (8), получаем

2 ады.

2ады,

ё^гаёЕ, = — — (г, 0)5(ф) - —д^(г, ©о)§(ф - ©о) - /кер,(г, ф) + /(г, ф).

(9)

(10)

(11)

(12)

Таким образом, для компоненты электрического поля Ег получено уравнение, учитывающее с помощью обобщенных функций условия сопряжения электромагнитного поля на линиях разрыва диэлектрической проницаемости.

4. ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ В СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Чтобы охарактеризовать особенность решения в окрестности угловой точки линии разрыва диэлектрической проницаемости и на бесконечности, по аналогии с тем, как это сделано в [5],

введем пространство V, с нормой

=

1

] + к < I

оо

|йф |г2(у -1 +;) \йг + |¿фр -1

д/дф

®о о

д+кы

д/дф'

гйг

где I> 0 — целое число, у — любое действительное число. Отметим, что (/(М) е Ь2 —— /(М) е ¥0).

ю

2

о ^

п ^

2

2

Пусть функции Е, V, м> е V,. Следуя [5], проводим замену переменных т = 1п- , домножим

у •

уравнение (12) на е-2т и сделаем преобразование Фурье по т

-г ю

и (А, ф) = —Г и(т, ф) е~Лтйт, .Р2П J

лДП и получим

-А2Е- (А,ф) + Щ = 2 а ^ (А, с )5(ф) - 2 а ^ (А, ©с )5(ф - ©с) - ¡ке Р- (А, ф) + ДА, ф), (13) ф2 ф ф

где

Дт, ф) = /(т, ф)е 2т, ДА, ф) = ^ | Дт, ф)е 'х%йт = ^ |/(г, ф)г ,х + 1йг.

/у 2 П /у 2 П

Для фурье-образов ДА, ф) и Р-(А, ф) справедливы оценки

I Ю + ¡н

£ | |А| 21ДА,ф)| с>Шс)п Н^с, 2п) йА< С\\/\

к = с - ю + ¡н

I ю + ¡Н

(14)

£ I 1А21л(А,Ф)||Н^с,2п)йА<С1ИV, н = 1 + и-У,

к = с -ю + ¡Н

где константы С в правых частях не зависят от функций/(г, ф), р(т, ф). Решение уравнения (13) удобно выписать с помощью функции Грина оператора

л 2 ~ д2 ~

Еи = -А и (А, ф) +--- и (А, ф)

дф

при периодических граничных условиях, которая допускает явное построение:

= _-1_{с11<пА"А« + Аф), 0<ф<^, (15)

2 А вт пА[ (ПА + А^-Аф), ^<ф< 2П.

Отсюда получаем

Е-(А, ф) = 2а^(А, с)0(ф, с) - 2а^(А, ©с)С(ф, ©с) + ф ф

2п (16)

+ 10(ф, £)(-¡кеР-(А, £) + ДА, £))^.

с

Аналогично тому, как это проделано в [3] для скалярного случая, из уравнения (16) получим систему линейных алгебраических уравнений относительно — (А, с) и — (А, ©с):

ф ф

^ (А, с) = а ди (А, ©с)51г(пА -А©с)- ¡кр (А, с) + Г (с, ^(-¡ке Р- (А, £,) + ДА, £,)) ^, дф дф чЬ пА ^

2п

дф дф чЬпА

ди (А ) ди(А п) чЬ(ПА-А

— (А ©с) = а — (А, с)-——

дф дф чЬ пА

2с (17)

2п

^(А, ©с) = аддф(А, с)¡к Е(А, ©с) + Г(©сДХ-кеР-(А, £) + >(АД

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»