ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 464, № 2, с. 141-144
= МАТЕМАТИКА =
УДК 517.968
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
© 2015 г. Член-корреспондент РАН В. Г. Романов
Поступило 14.04.2015 г.
Рассмотрена задача Коши для линейного равномерно-параболического уравнения второго порядка с переменными коэффициентами, зависящими только от пространственной переменной. Для случая двумерного и трехмерного пространств выписаны асимптотические разложения решения при ? ^ +0. Показывается, как можно использовать полученные разложения для исследования ряда обратных задач об определении коэффициентов параболического уравнения.
DOI: 10.7868/S0869565215260059
Рассмотрим задачу Коши
— - Lu = Ъ(х - y, t), х el д t
u|t < 0 = 0. (1)
Здесь L — линейный эллиптический оператор:
Lu
= I
д С
aij( х )
ди
дх,■ V ■ ' дх,-i,j = 1 1 i = 1
tl
I bi( X) ^ + c (x) u,
дх,
в котором А(х) = (а^(х)) — равномерно-положительная матрица. Ниже мы будем предполагать, что все коэффициенты оператора Ь равномерно ограничены, обладают достаточно высокой гладкостью и семейство геодезических римановой
Г п \ 1/2
метрики йт = I ^ а1] (х)йх;йху- регулярно в К".
= 1 ) Решение задачи (1) обозначим и(х, у), подчеркивая зависимость его от параметра у.
Сопоставим задаче (1) задачу для гиперболического уравнения
- Lv = 5(х-y, t),
512
Vt<0 = 0. (2)
Допустим, что решения задач (1) и (2) возрастают при ? ^ да не быстрее, чем Сеа(, где С > 0 и а — некоторые постоянные. Тогда существуют преобразования Лапласа по переменной ? функций и(х, у) и у(х, у) и их образы Лапласа связаны между собой формулой и (х, р, у) = V (х, , у) для всех комплексных р, вещественная часть которых
Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской Академии наук, Новосибирск
E-mail: romanov@math.nsc.ru
больше а. Поэтому справедлива формула (см., например, [1, с. 220]):
и(х, t, y) = —р-: je 4t v^, z, y)zdz, t > 0. (3) 2 J n t
С _
1 Г 41
|е
0
Воспользуемся формулой (3) для получения асимптотического разложения для и(х, у) при ? ^ +0. Ограничимся для простоты наиболее интересными для приложений случаями " = 3 и " = 2.
При п = 3 для решения задачи (2), в предположениях достаточно высокой гладкости коэффициентов оператора Ь и регулярности геодезических линий, при любом целом неотрицательном к имеет место разложение (см. лемму 2.2.1 в книге [2]):
v^, t, y) = 0 0 (t)
а- 1(х, y)8(t2- t2(х, y)) +
+ I а„(х, y)0„(t -t (х, y)) +
г = 0
+ Vk(х, t, y)0n +1(t2 - Т2(х, y))
(4)
Здесь
1, t > 0
t
00 (t) = 0n (t) = -0 (t),
^0, t < 0, n!
а функция t(x, y) является решением задачи
n
I а,(х)ТхТх. = 1, т(х, y)~ O(\х - y),
i,j = 1
при х ^ y.
n
k
2
141
Функции ап(х, у) являются решением задач Коши:
3 ( 3
2 X а^2)х + а-! - 6 + X (а^2^^ +
+
Vk(х^5 + Т2 (х, у), у)0„ + 1(5)
г > 0. (10)
и = 1
3
+ X Ь,
и = 1
Проводя элементарные вычисления, приходим к равенству
X Ь(Т2)х
= 0, а-1
-1 т = 0
¡ = 1
2яЛ/ёеЫ(У)
т 2 (х, у)
(6)
2 X а-(Т )х-(а")х1 + ап 4п - 2 + X (а-(Т )х')х- +
1,1 = 1
3
1,1 = 1
+ X Ь(Т2 )х
=1
-Ь (ап-1) = о,
и (х, г, у) = е -_[ ^¿(х, г, у) + wk(х, г, у)], (11)
4 ^лг3
г > о,
в котором
к
щ(х, г, у) = X ап(х, у)(4г)п +1,
п = 1
(12)
а
п т = 0
= 0, п = 0, 1, ...
а остаток к (х, г, у) определен формулой
Они вычисляются по формулам (см. [2, с. 42])
( \
а-1( х, у) = ап (х, у) =
(х, у)
2 Ял/ ёеЫ (у)
-I--п + 1
(х, г, у) = |е 4г vк(х,*/5 + т2(х, у), у) 5 , Ж. 1 (п + 1)!
ехр
1 | я(Ъ) ■ ¿Ъ
'' 4 Г(х, у)
а- 1(х, у) г „ чч-1
] Тп(а-1 (Ъ, у)) х
, (7)
4 тп +1( х, у)
'Г(х, у)
х Ь(а„-1(Ъ, у))^, п > 0,
(8)
Заметим, что равенство (11) справедливо для всех целых к > —1. Соотношения для (х, г, у) можно получить непосредственно, подставляя представление (11) в равенства (1). Учитывая формулы (5), (6), находим, что (х, г, у) удовлетворяет соотношениям
дС
в которых /(х, у) = ёе1 —- — якобиан преобразова-
дх
(дгЬ) ™к (х, г, у) = Рк (х, г, у), г > 0;
(13)
Ы = 0 = 0
ния римановых координат ^ точки х в декартовы,
у) - геодезическая линия, соединяющая точ- причем функция Шк(х, г, у) определена формулой
ки х и у, Ъ — переменная точка на этой геодезической, т1 = т(Ъ, у), Ц = (щ Ц2, Ц3) — вектор, компо ненты которого вычисляются по формулам
Рк(х, г, у) = -Ь(ак(х, у))(4г)
к + 1
(14)
Теорема 1. Если а ¡Ах) е Ст + 2(К3), Ь(х)
я(х) = X —х)а1 (х), ' = 1, 2, 3.
1 = 1
Здесь аИ(х) — элементы матрицы А—1(х), обратной к матрице А(х) = (а^(х)). Заметим, что римановы координаты ^(х, у) точки х относительно фикси
е Ст + ЧК3), с(х) е Ст(К3) и т > 4 + 2к, к > -1, то (9) при условии регулярности геодезических Г(х, у) имеет место представление (11), в котором функция ^к(х, I, у) определена равенством (12), а остаток
(х, г) = 0(1к+2) при г ^ +0.
Действительно, в условиях этой теоремы, т2(х,
рованной точки у вычисляются через т(х, у) по у) е С
т+2
X К3), а-1(х, у) е Ст(^3 х К3), а,(х, у) е
формуле ^(х, у) = —
(УуТ2 (х, у)) А (у)
Подставляя представление (4) в (3), получим формулу
е ст 2 2п(К3 х К3). Следовательно, функция Ь(ак(х, у)) е Ст — 4—2к(К3 х К3). Из (13), (14) тогда следует, что
д^к
т2 (х, у)
и (х, г, у) =
¡е
4г
^л/л?
к
+ X ап(x, у)0п(5) +
а-1 (х, у )8( 5) +
д г5
^к + 2 — д
= 0, 5 = 0, 1, ..., к + 1,
г = 0
дг
к + 2
= -Ь(ак(х, у))4к +1(к + 1)!.
г=0
Поэтому wk (х, г) = 0(гк+2) при г ^ +0.
При п = 2 для решения задачи (2) имеет место асимптотическое разложение (см. лемму 2.2.2 в [2]):
3
3
0
3
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
143
v(x, t, y) = 0О(t) ^ y)%„ +1/2(t -Т (х, y))
+
г = -1
+ Vк(X, г, у)вп + 3/2(Т2(х, У)) , (15)
в котором коэффициенты ап(х, у) определены формулами (7), (8), а функции 0п + 1/2(?) задаются равенствами
1 2 п + 1 гп + 1/2
0-1/2 (г) = ^, 0+1/2(г) = ,
п = 0, 1, ...
Здесь (2п + 1)!! = 1 ■ 3 ■ 5 ■ ... ■ (2п + 1).
В этом случае формула (3) приводит к равенству
u (х, t, y) =
т2 ( X, t )
- 4 y "
+
Iе 4t X аn(х, y)0n +1/2(S) +
4л/nt 0 n = -i
Vk(X, aJs + Т2(х, y), y)0n + 3/2(S)]ds, t > 0.
Это равенство можно представить в виде, аналогичном (11):
т2(х, y )
u (х, t, y) =
в котором
[Wk(x, t, y) + Wk(X, t, y)], (16)
21
t > 0, k > 0
лы, выражающие т(х, у), а-1(х, у), а0(х, у) для (х, у) е (дО х дО.) через заданную функцию.
Из формул (11), (16) находим, что для п = 3 и п = 2 справедливо равенство
т(х, y) = ( lim (-41lnu(x, t, y))
t — +0
(x, y) e (дОхдО).
1/2
(18)
При известной функции т(х, у) коэффициенты а-1(х, у), а0(х, у) находятся при п = 3 по формулам
а-1 (х, y) = lim 4u(х, t, y)e 4' Jnt3
f т (х> y)
t — +0
(х, y) e (дОхдО), а0( х, y) =
(19)
= lim
t — +0
4u(х, t, y)e
J&y)
4t
n t - а -1 (х, y)
4t
(20)
Wk(х, г, у) = £ ап(х, у)(4г)п +1. (17)
п = -1
Функция йк (х, г, у) удовлетворяет соотношениям (13), (14). Поэтому при п = 2 имеет место теорема, аналогичная теореме для трехмерного пространства.
Теорема 2. Если ау(х) е Cffl + 2(К2), Ъ(х) е е Cffl + 1(К2), с(х) е ^(К2) и т > 4 + 2к, к > -1, то при условии регулярности геодезических Г(х, у) имеет место представление (16), в котором функция м>к(х, г, у) определена равенстом (17), а остаток йк (х, о = 0(гк+2) при г ^ +0.
Полученные выше формулы позволяют перекинуть мостик между рядом постановок обратных задач для параболических уравнений и аналогичными ранее изученными постановками обратных задач для гиперболических уравнений. Для демонстрации сказанного получим вначале некоторые соотношения между решениями задачи (1) и коэффициентами разложений (11), (16). Пусть О с Кп, п = 2, 3, — некоторая компактная область с гладкой границей дО. Пусть далее для некоторого Т > 0 решение и(х, г, у) задачи (1) известно для всех (х, г, у) е 0(0, Т), 0(0, Т) = {(х, г, у)|(х, у) е (дО х дО), г е [0, Т]}. Приведем форму-
а при n = 2 по формулам
f т2(х, y) ^
а-1 (х, y) = lim 2u(х, t, y)e 4t t
t — +0,
\ у
(х, y) e (дОхдО), а0(х, y) =
(21)
= lim
t- +0
т (х, y )
2u(х, t, y)e 4t t-а-1 (х, y) 4t
(22)
Формулы (18)—(22) можно использовать для задач определения коэффициентов оператора Ь внутри О по решению задачи (1), заданному для (х, г, у) е 0(О, Т).
Пусть а у = а2(х)Ъу, где Ъу — символ Кронекера, и требуется найти а(х) в О. Тогда вычисляя по формуле (18) функцию т(х, у), приходим к обратной кинематической задаче: найти а(х) в О по заданной функции т(х, у) для (х, у) е (дО х дО). Эта задача исследована в работах [3—9], в которых получены теоремы единственности и устойчивости ее решения.
Пусть коэффициенты ау(х) заданы, требуется найти внутри О вектор Ъ(х) = (Ъ1(х), Ъ2(х), Ъ3(х)) по заданной функции а—1(х, у) для (х, у) е (дО х дО). В этом случае функция т(х, у) известна, поэтому известны римановы координаты ^(х, у) точки х, якобиан /(х, у) перехода от римановых координат к декартовым и геодезические линии Г(х, у). Используя формулу (7), получаем равенство
k
k
Г я(Ъ) ■ dЪ = -21п(а-1 (х, у)22П^Р),
гх у) ( ] (23)
(х, у) е (дОхдО),
в котором правая часть известна, а вектор-функция ц(х) определена формулой (9). Возникающая задача интегральной геометрии об определении формы первого порядка ц(х) • ¿х по известным от нее интегралам вдоль геодезических Г(х, у) исследована в работе [10]. В ней установлено, что из уравнения (23) однозначно восстанавливается внутри О функция У х Ц.
Пусть коэффициенты а^(х), Ь(х) заданы, требуется найти с(х) по заданной функции а0(х, у) для (х, у) е (дО х дО). Полагая в формуле (8) п = 0, приходим к соотношению
| с(Ъ)= Е(х, у), (х, у) е (дО х дО), (24)
Г(х, у)
в котором g(x, у) — заданная функция, вычисляемая по формуле
4т(х, у)а0(х, у)
$(х, у) =
а-1(х, у)
- | а- 1(Ъ, у У 1ь'(а-1(Ъ у)) ¿Т1.
Г( х, у)
При этом Ь' = Ь — с(х). Задача интегральной геометрии об определении с(х) в О по заданной функции g(x) изучена в работах [2, 4—9, 11]. В этих работах получены оценки устойчивости ее решения.
Таким образом, из полученных выше разложений (11), (16) для решения задачи (1) непосредственно вытекает целый ряд новых результатов об
единственности и устойчивости решения ряда обратных задач для параб
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.