ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 464, № 5, с. 529-531
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
УДК 517.9:544.6
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДВУМЕРНЫХ МОДЕЛЕЙ ПЕРЕНОСА ТЕРНАРНОГО ЭЛЕКТРОЛИТА
© 2015 г. А. В. Коваленко, А. А. Хромых, М. Х. Уртенов
Представлено академиком РАН В.А. Бабешко 26.02.2015 г. Поступило 20.04.2015 г.
В данном сообщении, являющемся продолжением работ [1, 2], предлагается асимптотический метод решения краевых задач двумерных математических моделей переноса для тернарного электролита.
DOI: 10.7868/S086956521529006X
Исследование тернарного электролита позволяет анализировать ряд электрохимических процессов переноса в мембранных системах обессолива-ния и разделения ионов, в микро- и нанофлюидике, в таких приложениях, как электрокинетические насосы, быстрый электрофорез, выяснить роль экзальтации предельного тока, влияние реакции диссоциации-рекомбинации молекул воды на перенос ионов соли [1]. В работе [2] была описана декомпозиционная система уравнений для тернарного электролита, выведенная авторами, с использованием которой были построены различные упрощенные математические модели переноса. Соответствующие краевые задачи содержат некоторый малый параметр е > 0. Для численного решения при фиксированном значении параметра е можно использовать факторизационные методы [3—5] в сочетании с методом Ньютона-Канторовича и применением факторизации матриц-функций [6].
В данной работе предлагается асимптотический метод решения краевых задач двумерных математических моделей переноса для тернарного электролита, позволяющий находить решение при произвольно малых значениях параметра е .
Основная идея заключается в разбиении области решения, например канала обессоливания электродиализного аппарата [2], на несколько областей: область электронейтральности, область пространственного заряда, промежуточная область, пограничные слои. В данной работе приведены асимптотические разложения в основных областях - в области электронейтральности и в
Кубанский государственный университет, Краснодар E-mail: savanna-05@mail.ru
области пространственного заряда. Принципиально новой особенностью предлагаемого асимптотического метода является то, что в области пространственного заряда для однозначной разрешимости уравнений для текущего приближения необходимо использовать условие разрешимости уравнений для следующего приближения. Границы областей электронейтральности и пространственного заряда определяются по ходу решения. Однако для канала обессоливания можно указать, что область электронейтральности расположена в ядре потока, а область пространственного слоя примыкает к границам ионообменная мембрана-раствор.
1. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
В ОБЛАСТИ ЭЛЕКТРОНЕЙТРАЛЬНОСТИ
Процесс переноса для тернарного электролита в декомпозиционных переменных [2] описывается следующими искомыми функциями: Е (напряженность электрического поля), §0, ¿1 (обобщенные суммарные концентрации), п (функция тока для плотности тока I). Система декомпозиционных уравнений содержит малый параметр £ > 0.
Введем в рассмотрение вектор Р = (Е, Б0, ¿1,п) . В области электронейтральности для асимптотического решения используем разложение P =
да
= ^ Р . Для начального приближения P(0) =
1=1
/1?(0) 5(0) 5(0) (0Кт = (Е , ¿0 , ¿1 ,п ) , например, в модельной задаче ЗОМ (приближение обобщенного закона Ома
530
КОВАЛЕНКО и др.
[2]) после ряда преобразований получается следующая система уравнений:
dt
= m01XA- div(S00)V) +
+ X m^AS/0 + X m04div(sS10) E(0)), ÖS™ _
dt
= mnXASi0) + m12^div(S?i0)E(0)) -
- div(iS1(0)V) + m13XAS00), дл(0) = x4y(VS(0),Vn(0)),
(0)
V(0) 1 T(0)
(1)
(2)
(3)
(4)
%0)Ё(1) + ^Ё(0) + + т0б(\Ё(0) ||2 Ё(1) + 2(Ё(0), Ё (1))Ё(0)) = 1(0), (11) ДП(0) = (^0) + то6\\Ё (0)\\2), Ё % +
+ (V(^ + тоб • 2(Ё(1), Ё(0))), Ё(12) Из уравнения (7) следует, что уравнения (5) и (8) тождественно выполняются, и поэтому система уравнений (5)—(8) не позволяет однозначно определить приближение О(0) = (Ё(0), ¿00), ¿\(0), п(0))Т. В то же время система уравнений (9)—(12) в общем случае неразрешима. Кроме того, она содержит как неизвестные нулевого приближения О(0) =
/7^(0) 5(0) 5(0) (0)ч Т = (Ё , ¿0 , , п ) , так и неизвестные первого
приближения 0(1) = (Ё(1), п(1))Т.
Проблема решается использованием условия
т(0)г(0) т(0)г(0) а
разрешимости 11 Ё2 -12 щ = 0 для уравнения (11) и исключением неизвестных первого приближения из (9), (10), (12).
После ряда преобразований для начального
2. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ В ОБЛАСТИ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА
В области пространственного заряда сделаем
замену Е = -1= Ё и введем в рассмотрение вектор приближения О(0) = (Ё(0\¿00),¿Г,П(Т, например, О = (Ё, ¿0,¿1, п)Т. Для асимптотического решения
да
используем разложение: О = ^ О(()б'/2.
в модельной задаче ЗОМ, получается следующая система уравнений:
dS
i=1
dt
(0)
^ = a^XASf + a19XAS00) -
Система уравнений, полученная приравниванием коэффициентов при б0, имеет вид
m02Xdiv(S00) Ё(0)) + Xm04div(Sr Е (0)) +
+ X m05div(|| Ё (0)||21(0)) = 0, m12Xdiv(Si0) Ё(0)) + m14Xdiv(S00) Ё(0)) = 0, ^00) Ё(0) + m06||l (0)||2 Ё(0) = 0,
0 = (V(S00) + т(ЛЁ (0>||2), Ё (0))1.
(0) (0)
- div(Sr20)V) + a13div(S00)V),
div(( - m^ + a14S00))Ё(0)) = 0,
(5)
(6)
(7)
(8)
Ё(0) = 1
S0\ (0)
(0)
m.
06
An
(0)
(0)
Hi1
(0)||
m06
- m06||i^)|| W 11
, Vn
(0)
(13)
(14)
(15)
(16)
0(0) 0(0) 0(0) где S2 = m12S0 - m04S[ , а a,j зависят от m,j.
1 Предложенное выше асимптотическое реше-
Аналогично система уравнений при е2 имеет ние позволяет находить решение при произвольно вид малых значениях параметра s. Кроме того, форму-
лы (4) и (16) дают аналитическое соотношение между плотностью тока и напряженностью электрического поля в областях электронейтральности и пространственного заряда. Нахождение асимптотических решений в оставшихся областях — в области погранслоя и промежуточных слоях — выполняется по стандартной схеме [7] и трудности не представляет.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бабешко В.А., Заболоцкий В.И., Уртенов М.Х., Кор-женко Н.М., Сеидов Р.Р. Теория стационарного переноса тернарного электролита в слое Нернста // ДАН. 1998. Т. 361. № 2. С. 878-891.
2. Коваленко А.В., Хромых А.А., Уртенов М.Х. Деком-(10) позиция системы уравнений Нернста—Планка—
^ = m0MS00) + m02Xdiv(S00)Ё(1) + S04Ё(0)) -dt
- div(S00)V) + Xm^AS^ + Xm^AS^ + + X m04div(^!(0) Ё(1) + S® Ё(0)) + + Xm05div(||Ё(0)||2Ё(1) + 2(Ё(0),Ёт)Ё(0)) -- m06div(||l(0)|12V),
(9)
dS(
(0)
= m11XAS((0) + m12Xdiv(S(0)E(1) + S(1)E(0)) -
(0) (1)
(1) (0)
dt
- div(.y1(0)V) + m13XAS00) + m13XAS00) +
S00) ё
+ m15div(|| Ё (0)||2 V),
+ m13XA^00) + m14Xdiv(S00) Ё(1) + S01 Ё(0)) +
0
i
0
/
/
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
531
Пуассона для тернарного электролита // ДАН. 2014. Т. 457. № 5. С. 526-527.
3. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Метод факторизации решения некоторых краевых задач // ДАН. 2003. Т. 389. № 2. С. 184-188.
4. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Метод факторизации в краевых задачах в неограниченных областях // ДАН. 2003. Т. 392. № 6. С. 767-770.
5. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. Об автоморфизме и псевдодифференциальных уравнениях в методе блочного элемента // ДАН. 2011. Т. 438. № 5. С. 623-625.
6. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Формулы факторизации некоторых мероморфных матриц-функций // ДАН. 2004. Т. 399. № 1. С. 163-167.
7. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высш. шк., 1990. 207 с.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.