научная статья по теме АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДВУМЕРНЫХ МОДЕЛЕЙ ПЕРЕНОСА ТЕРНАРНОГО ЭЛЕКТРОЛИТА Математика

Текст научной статьи на тему «АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДВУМЕРНЫХ МОДЕЛЕЙ ПЕРЕНОСА ТЕРНАРНОГО ЭЛЕКТРОЛИТА»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 464, № 5, с. 529-531

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

УДК 517.9:544.6

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДВУМЕРНЫХ МОДЕЛЕЙ ПЕРЕНОСА ТЕРНАРНОГО ЭЛЕКТРОЛИТА

© 2015 г. А. В. Коваленко, А. А. Хромых, М. Х. Уртенов

Представлено академиком РАН В.А. Бабешко 26.02.2015 г. Поступило 20.04.2015 г.

В данном сообщении, являющемся продолжением работ [1, 2], предлагается асимптотический метод решения краевых задач двумерных математических моделей переноса для тернарного электролита.

DOI: 10.7868/S086956521529006X

Исследование тернарного электролита позволяет анализировать ряд электрохимических процессов переноса в мембранных системах обессолива-ния и разделения ионов, в микро- и нанофлюидике, в таких приложениях, как электрокинетические насосы, быстрый электрофорез, выяснить роль экзальтации предельного тока, влияние реакции диссоциации-рекомбинации молекул воды на перенос ионов соли [1]. В работе [2] была описана декомпозиционная система уравнений для тернарного электролита, выведенная авторами, с использованием которой были построены различные упрощенные математические модели переноса. Соответствующие краевые задачи содержат некоторый малый параметр е > 0. Для численного решения при фиксированном значении параметра е можно использовать факторизационные методы [3—5] в сочетании с методом Ньютона-Канторовича и применением факторизации матриц-функций [6].

В данной работе предлагается асимптотический метод решения краевых задач двумерных математических моделей переноса для тернарного электролита, позволяющий находить решение при произвольно малых значениях параметра е .

Основная идея заключается в разбиении области решения, например канала обессоливания электродиализного аппарата [2], на несколько областей: область электронейтральности, область пространственного заряда, промежуточная область, пограничные слои. В данной работе приведены асимптотические разложения в основных областях - в области электронейтральности и в

Кубанский государственный университет, Краснодар E-mail: savanna-05@mail.ru

области пространственного заряда. Принципиально новой особенностью предлагаемого асимптотического метода является то, что в области пространственного заряда для однозначной разрешимости уравнений для текущего приближения необходимо использовать условие разрешимости уравнений для следующего приближения. Границы областей электронейтральности и пространственного заряда определяются по ходу решения. Однако для канала обессоливания можно указать, что область электронейтральности расположена в ядре потока, а область пространственного слоя примыкает к границам ионообменная мембрана-раствор.

1. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ

В ОБЛАСТИ ЭЛЕКТРОНЕЙТРАЛЬНОСТИ

Процесс переноса для тернарного электролита в декомпозиционных переменных [2] описывается следующими искомыми функциями: Е (напряженность электрического поля), §0, ¿1 (обобщенные суммарные концентрации), п (функция тока для плотности тока I). Система декомпозиционных уравнений содержит малый параметр £ > 0.

Введем в рассмотрение вектор Р = (Е, Б0, ¿1,п) . В области электронейтральности для асимптотического решения используем разложение P =

да

= ^ Р . Для начального приближения P(0) =

1=1

/1?(0) 5(0) 5(0) (0Кт = (Е , ¿0 , ¿1 ,п ) , например, в модельной задаче ЗОМ (приближение обобщенного закона Ома

530

КОВАЛЕНКО и др.

[2]) после ряда преобразований получается следующая система уравнений:

dt

= m01XA- div(S00)V) +

+ X m^AS/0 + X m04div(sS10) E(0)), ÖS™ _

dt

= mnXASi0) + m12^div(S?i0)E(0)) -

- div(iS1(0)V) + m13XAS00), дл(0) = x4y(VS(0),Vn(0)),

(0)

V(0) 1 T(0)

(1)

(2)

(3)

(4)

%0)Ё(1) + ^Ё(0) + + т0б(\Ё(0) ||2 Ё(1) + 2(Ё(0), Ё (1))Ё(0)) = 1(0), (11) ДП(0) = (^0) + то6\\Ё (0)\\2), Ё % +

+ (V(^ + тоб • 2(Ё(1), Ё(0))), Ё(12) Из уравнения (7) следует, что уравнения (5) и (8) тождественно выполняются, и поэтому система уравнений (5)—(8) не позволяет однозначно определить приближение О(0) = (Ё(0), ¿00), ¿\(0), п(0))Т. В то же время система уравнений (9)—(12) в общем случае неразрешима. Кроме того, она содержит как неизвестные нулевого приближения О(0) =

/7^(0) 5(0) 5(0) (0)ч Т = (Ё , ¿0 , , п ) , так и неизвестные первого

приближения 0(1) = (Ё(1), п(1))Т.

Проблема решается использованием условия

т(0)г(0) т(0)г(0) а

разрешимости 11 Ё2 -12 щ = 0 для уравнения (11) и исключением неизвестных первого приближения из (9), (10), (12).

После ряда преобразований для начального

2. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ В ОБЛАСТИ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА

В области пространственного заряда сделаем

замену Е = -1= Ё и введем в рассмотрение вектор приближения О(0) = (Ё(0\¿00),¿Г,П(Т, например, О = (Ё, ¿0,¿1, п)Т. Для асимптотического решения

да

используем разложение: О = ^ О(()б'/2.

в модельной задаче ЗОМ, получается следующая система уравнений:

dS

i=1

dt

(0)

^ = a^XASf + a19XAS00) -

Система уравнений, полученная приравниванием коэффициентов при б0, имеет вид

m02Xdiv(S00) Ё(0)) + Xm04div(Sr Е (0)) +

+ X m05div(|| Ё (0)||21(0)) = 0, m12Xdiv(Si0) Ё(0)) + m14Xdiv(S00) Ё(0)) = 0, ^00) Ё(0) + m06||l (0)||2 Ё(0) = 0,

0 = (V(S00) + т(ЛЁ (0>||2), Ё (0))1.

(0) (0)

- div(Sr20)V) + a13div(S00)V),

div(( - m^ + a14S00))Ё(0)) = 0,

(5)

(6)

(7)

(8)

Ё(0) = 1

S0\ (0)

(0)

m.

06

An

(0)

(0)

Hi1

(0)||

m06

- m06||i^)|| W 11

, Vn

(0)

(13)

(14)

(15)

(16)

0(0) 0(0) 0(0) где S2 = m12S0 - m04S[ , а a,j зависят от m,j.

1 Предложенное выше асимптотическое реше-

Аналогично система уравнений при е2 имеет ние позволяет находить решение при произвольно вид малых значениях параметра s. Кроме того, форму-

лы (4) и (16) дают аналитическое соотношение между плотностью тока и напряженностью электрического поля в областях электронейтральности и пространственного заряда. Нахождение асимптотических решений в оставшихся областях — в области погранслоя и промежуточных слоях — выполняется по стандартной схеме [7] и трудности не представляет.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бабешко В.А., Заболоцкий В.И., Уртенов М.Х., Кор-женко Н.М., Сеидов Р.Р. Теория стационарного переноса тернарного электролита в слое Нернста // ДАН. 1998. Т. 361. № 2. С. 878-891.

2. Коваленко А.В., Хромых А.А., Уртенов М.Х. Деком-(10) позиция системы уравнений Нернста—Планка—

^ = m0MS00) + m02Xdiv(S00)Ё(1) + S04Ё(0)) -dt

- div(S00)V) + Xm^AS^ + Xm^AS^ + + X m04div(^!(0) Ё(1) + S® Ё(0)) + + Xm05div(||Ё(0)||2Ё(1) + 2(Ё(0),Ёт)Ё(0)) -- m06div(||l(0)|12V),

(9)

dS(

(0)

= m11XAS((0) + m12Xdiv(S(0)E(1) + S(1)E(0)) -

(0) (1)

(1) (0)

dt

- div(.y1(0)V) + m13XAS00) + m13XAS00) +

S00) ё

+ m15div(|| Ё (0)||2 V),

+ m13XA^00) + m14Xdiv(S00) Ё(1) + S01 Ё(0)) +

0

i

0

/

/

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

531

Пуассона для тернарного электролита // ДАН. 2014. Т. 457. № 5. С. 526-527.

3. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Метод факторизации решения некоторых краевых задач // ДАН. 2003. Т. 389. № 2. С. 184-188.

4. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Метод факторизации в краевых задачах в неограниченных областях // ДАН. 2003. Т. 392. № 6. С. 767-770.

5. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. Об автоморфизме и псевдодифференциальных уравнениях в методе блочного элемента // ДАН. 2011. Т. 438. № 5. С. 623-625.

6. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Формулы факторизации некоторых мероморфных матриц-функций // ДАН. 2004. Т. 399. № 1. С. 163-167.

7. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высш. шк., 1990. 207 с.

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком