научная статья по теме АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОУПРУГОСТИ ДЛЯ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК, ПОЛЯРИЗОВАННЫХ ПО ТОЛЩИНЕ Математика

Текст научной статьи на тему «АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОУПРУГОСТИ ДЛЯ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК, ПОЛЯРИЗОВАННЫХ ПО ТОЛЩИНЕ»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 79. Вып. 3, 2015

УДК 539.3:534.1

© 2015 г. Л.А. Агаловян, M^. Агаловян, Р.С. Геворкян

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОУПРУГОСТИ ДЛЯ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК, ПОЛЯРИЗОВАННЫХ ПО ТОЛЩИНЕ

Асимптотическим интегрированием уравнений трехмерной задачи теории электроупругости в криволинейных координатах выведены рекуррентные формулы для определения компонент тензора напряжений, вектора перемещения и электрического потенциала пьезокерамической оболочки. Оболочка считается в плане неоднородной (физико-механические коэффициенты могут зависеть от тангенциальных координат, но постоянны по толщине) и поляризованной по толщине. Рассмотрены случаи, когда на внешней и внутренней поверхностях оболочки заданы условия первой, второй или смешанной краевых задач теории упругости. Для одного сравнительно общего варианта выведены дисперсионные уравнения частот колебаний, вычислены значения резонансных частот и установлена их зависимость от толщины и физико-механических параметров оболочки.

Асимптотический метод решения краевых задач теории термоупругости с неклассическими граничными условиями, впервые примененный в 1980-х гг. [1, 2], оказался эффективным для решения статических и динамических задач для балок, пластин и оболочек [1—7], a также задач со связанными полями для пластин [8—10]. В предлагаемой работе асимптотическим методом [3] решены краевые задачи пьезокерамической оболочки, поляризованной по толщине. Асимптотический метод в трактовке А.Л. Гольденвейзера [11] впервые использован Н.Н. Рогачевой для решения первой краевой задачи электроупругости пьезокерамической оболочки и пластины [12, 13]. Аналогичные задачи для пластин и оболочек иными методами рассмотрены разными авторами (см., например, [14—16]). Предлагаемый способ нахождения решения позволяет вывести несложные рекуррентные формулы для вычисления компонент вектора перемещения, тензора механических напряжений, а также потенциал электрического поля с заранее требуемой асимптотической точностью, когда на лицевых поверхностях оболочки механические условия заданы в напряжениях, в перемещениях и их соответствующих комбинациях.

1. Постановка краевых задач и вывод разрешающих уравнений. Имеем тонкую оболочку толщины 2h из трансверсально изотропной пьезокерамики. Срединную поверхность оболочки отнесем к линиям кривизны а, ß, а прямолинейную ось у направим по внешней нормали к срединной поверхности так, чтобы оси а, ß, у образовали правую тройку.

Пусть на внешней и внутренней поверхностях предварительно поляризованной по толщине оболочки поставлены условия, налагаемые на потенциал электрического поля:

Ф* (а, ß, у = ±h, t ) = Fo± (а, ß)

(1.1)

и одна из комбинаций граничных условий первой

а* (а, ß, у = ±h, t) = а ± (а, ß) em t, j = а, ß, у

(1.2)

второй

и1 (а, в, у = ±к, г) = и7 (а, р)еш, } = а, в, у (1.3)

или смешанной

с*, (а, в, у = к, г) = с+у (а, в) вш, и? (а, в, у = -А, г) = и- (а, в) , } = а, в, у (1.4) краевых задач теории упругости. При этом в случае прямого пьезоэлектрического эффекта считаются известными функции а7у и и±, входящие в условия (1.2)—(1.4), а

функции К0+ подлежат определению. В случае обратного пьезоэффекта считается, что

JJY

/q-------------------... _

тл± ± ± + -

V0 отличны от нуля, а величины аjy, Uj, аjy и Uj равны нулю, соответственно, в условиях (1.2), (1.3) и (1.4) и подлежат определению напряжения и перемещения.

Применяемый метод позволяет найти общее асимптотическое решение, соответствующее условиям (1.1)—(1.4), хотя в смысле современных приложений не все варианты могут быть использованы. Вышеуказанные же случаи получаются из выведенного общего решения (как задачи математической физики) в виде частных случаев. Поскольку материал оболочки может быть неоднородным в тангенциальном направлении, в условиях

(1.1) величины Vi± считаются зависящими от координат а, Р, а в рассмотренных примерах для однородных оболочек они постоянны.

Граничные условия на торцах оболочки не ставятся, поскольку она принимается бесконечно длинной (либо замкнутой). Не ставятся также начальные условия (предполагается, что рассматривается установившийся динамический процесс).

Требуется найти удовлетворяющее граничным условиям (1.1), (1.2), либо (1.1), (1.3), или (1.1), (1.4) решение трехмерной системы уравнений электроупругости пьезокера-мической среды, которая состоит из динамических уравнений упругой среды в криволинейных координатах [11]

-д- (НгЩ^аа) + i (ВДаХр) + д (HiH2<) - CTppH Н -

да др ду да

дН дН дН

- а ?у#2 Н + а*рНз дН1 + а *ЩН2 др + РТЯ^Яз = pU^ Н1Н1НЪ (а, в, у; 1,2,3) да др ду

уравнений вынужденной электростатики и уравнений состояния [14, 15] предварительно поляризованной трансверсально-изотропной пьезокерамической оболочки, нормальная ось у которой в каждой точке совпадает с направлением поля предварительной поляризации и перпендикулярна поверхности изотропии. Эти уравнения имеют вид

divD* = 0, E* = -grad9*

°аа = сИ£ аа + cL2£ рр + ci3£ уу - e31E*, аау = ау - e15Eа (а, в)

= 1(сИ - с12)£ аp, °уу = cl3(£ аа + £ рр) + с33£уу - e33E* (1.6)

D* = £\iE* + ei5£ ау (а, в), D* = ^E* + e3i(£ аа + £ рр) + e33£ YY

* 1 ди* 1 дН1 * 1 дН1

=---1---Uß +---И

" ~ "" ß h1H3 ду

£ aß -

H д_ H 2 дß

( \

V H)

Ei А

H1 да

( \

H2

V )

Н1 да Н1Н2 дв (а, в, у; 1,2,3)

В уравнениях и соотношениях (1.5) и (1.6) использованы обозначения

#1 = А5Ь Н 2 = 552, Нз = 1, 51 = (1 + у/ 52 = (1 + у/ Я2)

Н1, Н2, Н3 — коэффициенты Ламе, ^ и В — коэффициенты первой квадратичной формы, Д и Д — главные радиусы кривизны срединной (координатной) поверхности, Оц, вц и Ыц (г, у = а, Р, у) — компоненты, соответственно, тензоров механических напряжений, деформаций и вектора перемещения, ф — потенциал электрического поля, Ец и Бц (ц = а, Р, у) — компоненты векторов напряженности электрического поля и элек-

Е Е Е Е Е ,,

трической индукции пьезокерамики, с11, с12, с13, с33, с44 — коэффициенты упругости пье-зокерамики при постоянном (нулевом) электрическом поле, Бп, б33 — электрические проницаемости при постоянной (нулевой) деформации, в31, в15, в33 — пьезомодули керамики. В общем случае при решении поставленных краевых задач и выводе разрешающих уравнений считается, что все физико-механические коэффициенты могут быть функциями от продольных координат (а, в).

Учитывая вид граничных условий (1.1)—(1.4), представим, как обычно, все искомые величины в виде

ß*(a, ß, у, t) = Q(a, ß, y)etot, Q = {, ц, щ, Dj, Eh Ф}, i, j = a, ß, у

(1.7)

Компоненты симметричного тензора напряжений aay = аYa (a, ß, у) с целью уменьшения объема выкладок заменяем компонентами несимметричного тензора TaY ^ тYa (a,ß, у) по формулам [3, 11]

Taa - 52°aa, Tßß - 5lüßß, туу - 5152^уу

Tay - 52üay, Tßy - 51üßyTaß - 52üaß, 51Taß - 52Tßo

(1.8)

и переходим к безразмерным координатам и безразмерным перемещениям по формулам

с а ß

S = —, П = —, R R

= Y = £-1Y R'

z = h = Е

Иа R

u

и =

в

R ''

uY

w = ■

R

£ = ■

h R'

h < R (1.9)

где Я — характерный размер оболочки.

После вышеуказанного преобразования уравнения и соотношения (1.5) и (1.6) принимают вид

(Втаа^ (Атва) + £^Л1 ^ - + 2г1тау + +Е- +

АВ ОС, АВ ОЦ ОЦ

+ (1 + Л) р ю 2Н2и = 0 (а, в; С, п; «, и; 1,2; А, В)

1 дтау , 1 дт|3у , -1 , „,, , , ч , -2/, , А\ 2,2 п --+ £ 1Таа - Г2Трр + Д(крТау + М^) + Е (1 + Л)рЮ Н^ = 0

A дЕ, B дп

dz

Л1Таа = СпЛ2 -Т + Якаи + Г^J + С^ ^ -П + Щи + Г2™ | + + С1пз (1 + Л) 6-1 ^ + ез1(1 + Л)^ (Лцоа, Л 2ТРР; 11,12)

туу - С13

Л 2

1 ди А д^ -1 дw

+ Якаи + r1w I + Л1

1 ди

В дп

+ Як^и + r2w

+ Сзпз (1 + Л)е-1 дw + езз(1 + Л)

дС

(1.10)

Л1Тау = С44 Гв-1(1 + Л)ди - 1Л2и +1Л2 + е15£Л1 ^, 1 ау 44 ^ д^ 12 А дА д\

е15 = е25

(а, в; п; и, и; А, В; 1,2)

Л1тав - 1(сИ - С1П2)

Л11В дП - ) + Л 2 (А «к"и

—(ВЛ 2 Да) + ——(АЛ ) + д [е-1 (1 + Л) Б,, ] = 0

АВ д'С 2 АВ дп 1 ^ ' у

ЛДа = ^ Гв-1Л1 д-и - пи +1 - £?1£ 1^

1 а 15 ^ 1 дС, 1 А А д$

(Л1, Л 2; а, в; и, и; г1, п2; п; А, В) (1 + Л Д = ез1

+ (1 + Л)-

(1.11)

л ААЦ+«к*и+Н+л(В1п+«кви+^

Здесь использованы обозначения

Л1 = 1 + Е/1С, Г1 = « (1,2), Л = 8^ + Г2) + 2П1Г2 «1

ф , 1 дА , 1 дВ

у = -, ка =--, кв =--

к АВ др в АВ да

ка и кр — геодезические кривизны координатной поверхности.

Система уравнений и соотношений (1.10) сингулярно возмущена геометрическим малым параметром е . Следовательно, ее асимптотическое решение строится сращиванием двух типов решений [2—6, 11, 17]: решения внутренней задачи 11гЛ, которое удовлетворяет граничным условиям на лицевых поверхностях оболочки и доминирует внутри области, занимаемой оболочкой, и решения задачи в пограничном слое /, которое на лицевых поверхностях тела удовлетворяет соответствующим однородным (нулевым) условиям и в сумме с решением внутренней задачи удовлетворяет граничным условиям, заданным на боковой поверхности (торцах) оболочки. Как правило, решение / доминирует вблизи торцов и экспоненциально убывает по направлению внутренней нормали к поверхности торцов [3, 11, 17—19]. Рассматриваемая оболочка считается бесконечно длинной либо замкнутой (сфера, эллипсоид, тор и др.); следовательно, решается только внутренняя задача. Изложенным ранее методом [3, 4] можно построить и решение в пограничном слое, а также провести сращивание двух типов

решений, используя условия на боковой поверхности оболочки. Однако в практических приложениях вряд ли это представит большой интерес.

Считаем, что имеем установившийся динамический процесс, поэтому при асимптотическом методе решения в вытекающих из системы (1.10) первых трех уравнениях (уравнения движения) для исходного приближения должны участвовать последние

слагаемые. В таком случае должно выполняться условие рН2ш2 = 0(1). Если же

рН2ш2 = 0(е) и меньше или рН2ш2 = 0(е и больше, будем иметь соответственно квазистатический и высокочастотный (гиперзвуковой) процессы, которые требуют отдельного рассмотрения.

Решение внутренней задачи ищется в виде асимптотического разложения [1—3, 5, 7, 9] <2'м(а,в,у) = Xе^+Ъ®(п,С), е(т) = о, при т < 0 (1.12)

5=0

где Q — любая из неизвестных величин: компонент и у вектора перемещения и тензора напр

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»