ИЗВЕСТИЯ РАИ. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2007, № 1, с. 51-59
ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ =
УДК 517.97
АСИМПТОТИКА МНОЖЕСТВ ДОСТИЖИМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ИМПУЛЬСНЫМ УПРАВЛЕНИЕМ*
© 2007 г. Е. В. Гончарова, А. И. Овсеевич
Иркутск, ИДСТУ СО РАН, Москва, ИПМех РАН Поступила в редакцию 15.05.06 г.
Получены явные асимптотические формулы для множеств достижимости линейных динамических систем с ограничениями на суммарный импульс управляющего воздействия при различных предположениях относительно спектра матрицы системы. Показано, что при больших временах области достижимости можно приближенно представить в виде произведения масштабирующей матрицы на нормированную область достижимости, где матричный множитель является элементарной функцией времени, а нормированная область достижимости зависит от времени квазипериодически. Анализ асимптотических формул показывает, что, вообще говоря, имеется континуум предельных форм, образующих в своей совокупности многомерный аттрактор.
Введение. Как известно, области достижимости управляемых систем характеризуют возможности управления. Поэтому их изучение - одна из важнейших задач теории [1]. При этом наибольший интерес представляет не индивидуальная область достижимости, а развертывание семейства этих областей во времени или, что то же самое, кривая в пространстве областей. Особого внимания заслуживает изучение поведения областей достижимости при больших временах движения, поскольку именно оно определяет предельные возможности управления.
Однако поведение множеств достижимости динамических систем общего вида настолько сложно, что подходящий язык для его описания, по-видимому, еще не разработан. Случай линейных систем также нетривиален, но значительно проще и имеет богатую историю, начиная с классических работ Калмана 1950-х гг. Одно из важных свойств линейного случая состоит в том, что при естественных предположениях области достижимости являются компактными выпуклыми телами, и, таким образом, речь идет о динамике в пространстве выпуклых тел. Соответствующие тела при больших временах движения могут бесконечно расти в некоторых направлениях, что препятствует существованию "хорошего" предельного поведения [2, 3]. Можно поправить дело, вводя масштабирующие матричные множители, которые подавляют упомянутый бесконечный рост, и изучать поведение нормированных областей достижимости. Общая идея применяемого подхода состоит в разбиении задачи на две: 1) нахождение вида масштабирующей матрицы и
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект < 05-01-00477, 05-08-50226) и Программы поддержки научных школ (грант 1627.2003.01).
2) описание нормированной области достижимости. Таким образом, ставится задача о поиске асимптотической формулы вида Э(0 ~ С(0П(0 при t —» го, где Э(0 есть множество достижимости управляемой системы, С(0 - линейный оператор, О.^) - выпуклое тело с хорошим предельным поведением. Понятие сходимости в пространстве выпуклых тел будет определено ниже.
Дальнейшее упрощение задачи достигается с помощью введения понятия формы выпуклого тела. По определению, формой О множества О называется совокупность всех его невырожденных линейных преобразований. С точки зрения форм искомая асимптотика имеет вид ~
~ П(0, что позволяет не заботиться о матричном множителе С(0.
Эффективность введения понятия форм множеств достижимости была впервые продемонстрирована в [4, 5], где для случая автономной линейной системы с геометрическими ограничениями на управление получено полное описание предельного поведения областей достижимости как следствие соответствующего утверждения о формах: формы областей достижимости имеют предел при больших временах движения. В дальнейшем та же идеология была применена в работах [6, 7] к асимптотике форм областей достижимости при малом параметре сингулярного возмущения, а также для периодических систем с геометрическими ограничениями на управление при больших временах движения. В последнем случае формы множеств достижимости уже не имеют предела, вместо этого в пространстве форм возникает одномерный аттрактор.
В [8, 9] была развита асимптотическая теория областей достижимости для нелинейных стохастических систем, где используются совсем иные
51
4*
методы, но результаты до некоторой степени аналогичны полученным в [4, 5]. Настоящая работа, развивающая [10-13], посвящена исследованию асимптотического поведения множеств достижимости линейных автономных систем с импульсным управлением. Получены явные асимптотические формулы для множеств достижимости динамических систем с ограничениями на суммарный импульс управляющего воздействия при различных предположениях относительно спектра матрицы системы. Показано, что при больших временах области достижимости можно приближенно представить в виде произведения масштабирующей матрицы на нормированную область достижимости, где матричный множитель является элементарной функцией времени, а нормированная область достижимости зависит от времени квазипе-риодически. Анализ асимптотических формул показывает, что, вообще говоря, имеется континуум предельных форм, образующих в своей совокупности многомерный аттрактор.
1. Постановка задачи. Рассмотрим линейную автономную систему с импульсным управлением
dx(0 = Ах(0dt + Bdu(0, х(0)е М, (1.1)
где х(0 е V = К", и(0 е Ш = К™, М с V, и А, В -матрицы соответствующих размерностей. Рассмотрим систему (1.1) на интервале [0, Т] при следующем ограничении на управляющую меру du:
J f (t)du(t)
< 1
(1.2)
для всех непрерывных вектор-функций /, таких, что [Д0| < 1, t е [0, Т]. Другими словами, полная масса меры
Ш (du) = J| du (t )|
< 1.
компактными множествами с непустой внутренностью) с центром в 0 е V.
Поскольку цель работы - изучение предельного поведения множеств достижимости, то необходимо договориться о понятии сходимости (топологии) в пространстве тел. Для этого можно привлечь метрику Банаха - Мазура, которая измеряет "отношение" тел и определяется как
р(й1,й2) = 1о§ (t (О^) t (О^)),
где t(О1; О2) = т£{t > 1 : О з О2}.
Метрика Банаха - Мазура имеет существенные преимущества перед расстоянием по Хаусдорфу, если сравниваются очень большие или очень маленькие тела.
Обозначим через В пространство центрально-симметричных выпуклых тел с метрикой Банаха -Мазура р. Заметим, что метрика р инвариантна относительно действия полной линейной группы ОЬ(У) невырожденных линейных преобразований: р(Ох, О2) = р(СОх, СО2), где С - произвольная неособая матрица.
Рассмотрим множество § всех классов эквивалентности на В, где Ох и О2 принадлежат одному классу тогда и только тогда, когда существует невырожденная матрица С, такая, что Ох = СО2. Элемент множества § называется формой, а множество § - пространством форм центрально-симметричных выпуклых тел. Под формой О е § выпуклого тела О е В понимается орбита О = = {СО : detС Ф 0} точки О под действием ОЬ(У). Расстояние Банаха - Мазура на В является ОЬ^)-инвариантным и с его помощью естественным образом определяется расстояние на §
р(ShQ1s ShQ2) =
inf p(Q1s CQ2),
C, detC Ф 0
Пусть для системы (1.1), (1.2) выполнено условие Калмана полной управляемости, эквивалентное любому из следующих:
составная матрица (B, AB, ..., An- B) имеет максимальный ранг, равный n = dim V;
минимальное инвариантное относительно A и содержащее BW подпространство Э совпадает с V.
Условие полной управляемости не ограничивает общности, поскольку всегда можно принять подпространство Э за новое фазовое пространство системы. Предположим также, что множество начальных состояний M представляет собой центрально-симметричный выпуклый компакт. При этих предположениях множества достижимости Э(Т) = Э(Т,M) = {x(T) : x - допустимая кривая системы (1.1), (1.2)} являются центрально-симметричными выпуклыми телами (выпуклыми
также называемоея расстоянием Банаха - Мазура, и его введение превращает § в компактное метрическое пространство. Пространство § можно эквивалентным образом трактовать как
пространство банаховых структур (норм) на К", рассматриваемых с точностью до линейного изоморфизма. В дальнейшем сходимость множеств достижимости Э(Т) и их форм Э(Т) понимается в смысле расстояния Банаха - Мазура. В частности, будем говорить, что две функции со значениями в В или § являются асимптотически равными
О1 (Т )~О2 (Т),
если р(Ох(Т), О2(Т)) — 0 при Т —-
Цель настоящей работы состоит в исследовании поведения множеств достижимости Э(Т) и их форм Э(Т) при Т —► <». Как обычно при изучении выпуклых тел, наиболее удобным оказывает-
Т
0
Т
0
ся аппарат опорных функций. Напомним, что опорная функция любого подмножества D е V определяется как функция
HQ(S) := sup <S, х>
x е D
на сопряженном пространстве V*, где <S, x> -значение линейного функционала S на векторе x. Значениями функции HD могут служить вещественные числа, а также +го. Хорошо известно, что отображение D ^ HD устанавливает взаимно однозначное соответствие между выпуклыми компактами и всюду конечными, однородными степени 1 выпуклыми функциями. При этом выпуклые тела, симметричные относительно нуля, отвечают однородным, четным и строго положительным вне нуля выпуклым функциям.
При анализе асимптотического поведения областей достижимости описание выпуклых тел с помощью их опорных функций также оказывается более удобным, чем прямое обращение к определению. Лемма 1 [7] устанавливает эквивалентность сходимости выпуклых тел в смысле данного выше определения и в терминах сходимости их опорных функций.
Лемма 1. Последовательность D, в В сходится к D е В в смысле метрики Банаха - Мазура тогда и только тогда, когда соответствующая последовательность опорных функций H(S) = HD (S)
сходится к опорной функции HD(S) поточечно, и равномерно ограничена на единичной сфере в сопряженном пространстве V*.
Лемма 2. Опорная функция множества достижимости Э(Т) системы (1.1), (1.2) имеет вид
H
2i(T)(S) = HM(e
A*T
S)"
sup |Б*
t е [0, T]
eA* Si. (1.3)
sup
f<Б*eA*(T-s)S, du(S)>< sup Б*eA
J t е [0, T]
H Э( T )(S) — sup Б * eA*' SI,
t е [0, T]
2. Асимптотическое поведение форм множеств достижимости. Исследуем предельное
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.