научная статья по теме АСИМПТОТИКА НУЛЕЙ ДИСКРЕТНОЙ МОДЕЛИ ЛИНЕЙНОЙ НЕПРЕРЫВНОЙ СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ Автоматика. Вычислительная техника

Текст научной статьи на тему «АСИМПТОТИКА НУЛЕЙ ДИСКРЕТНОЙ МОДЕЛИ ЛИНЕЙНОЙ НЕПРЕРЫВНОЙ СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ»

Автоматика и телемеханика, № 8, 2015

Линейные системы

© 2015 г. В.А. БОНДАРКО, канд. физ.-мат. наук (vbondarko@gmail.com) (Санкт-Петербургский государственный университет)

АСИМПТОТИКА НУЛЕЙ ДИСКРЕТНОЙ МОДЕЛИ ЛИНЕЙНОЙ НЕПРЕРЫВНОЙ СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ1

Рассмотрена задача анализа асимптотики нулей дискретной модели линейной стационарной непрерывной системы при уменьшении шага дискретизации. Показано, что для непрерывной системы-прототипа с запаздыванием пределами части нулей модели служат корни некоторых многочленов, коэффициенты которых определяются относительным порядком системы-прототипа и запаздыванием. В частном случае нулевого запаздывания эти многочлены совпадают с многочленами Эйлера. Нули этих обобщенных многочленов Эйлера локализованы: показано, что они все простые, отрицательные и монотонно перемещаются между нулями классических многочленов Эйлера по мере роста дробной части при делении запаздывания на шаг дискретизации. Полученные результаты позволяют получить достаточные и "почти необходимые" условия минимальной фа-зовости дискретной модели при всех достаточно малых значениях шага дискретизации.

1. Введение

В связи с широким применением цифровых устройств весьма распространена следующая ситуация: управлять непрерывным (по времени) объектом требуется с помощью дискретного по времени регулятора. В этом случае для равноотстоящих отсчетов выхода и входа справедливо разностное уравнение, которое естественно рассматривать как описание дискретной модели исходного непрерывного объекта-прототипа. Свойства этой модели при выборе регулятора имеют решающее значение и потому представляют существенный интерес. Если в качестве непрерывного объекта-прототипа рассматривается линейная стационарная система, а дискретный регулятор формирует управление, кусочно-постоянное на временных интервалах постоянной длины, то дискретная модель тоже линейна и стационарна и возникает вопрос о расположении нулей ее передаточной функции. Для систем со скалярными значениями входа и выхода ответ был получен в [1-3] в форме описания асимптотического поведения нулей модели при стремлении к нулю шага дискретизации. Оказалось, что нули дискретной модели можно разделить на две группы. Нули первой группы называют истинными (intrinsic), и они почти экспоненциально зависят от нулей системы-прототипа, умноженных на шаг дискретизации. Вторую группу составляют так называемые нули дискретизации, которые при уменьшении шага дискретизации стремятся к корням

1 Работа выполнена при поддержке гранта СПбГУ 6.38.230.2015.

многочленов Эйлера [4]. Степень многочлена (и, следовательно, количество и предельные значения нулей дискретизации) определяется исключительно относительным порядком передаточной функции прототипа, и при условии ее постоянного значения нули дискретной модели не зависят от коэффициентов прототипа.

Выявленная асимптотика корней дискретной модели позволяет понять, в каком случае при всех достаточно малых значениях шага дискретизации нули дискретной модели могут лежать внутри либо вне области устойчивости (открытого единичного круга). Ответ очевиден, когда предельные значения находятся внутри области, а их расположение на границе требует дополнительного анализа, который в различных случаях и приведен в [5-8].

Если вход и выход рассматриваемых систем имеют векторные значения, то локализация нулей дискретной модели усложняется. В [9] приведен пример системы-прототипа, у которой при сохранении относительного порядка изменение коэффициентов влияет на предельные значения нулей дискретизации. Таким образом, распространить утверждения об асимптотике нулей со случая скалярных входов-выходов на векторные в полном объеме невозможно. Однако в [10] выделен класс систем, для которых такое обобщение верно. Этот класс составляют расщепляемые (decouplable) системы. Так называют системы, уравнения которых с помощью обратной связи можно преобразовать к специальному виду: после преобразования каждая компонента выхода зависит только от одной компоненты входа с тем же номером. В [11] приведен алгебраический критерий принадлежности системы к этому классу. Он заключается в невырожденности так называемого интерактора - квадратной матрицы, составленной из старших коэффициентов числителей передаточных функций.

Все перечисленные известные результаты относятся к случаю, когда в уравнения исходной непрерывной системы-прототипа управляющее воздействие входит без временного запаздывания или запаздывание в точности кратно шагу дискретизации. Эти предположения не всегда реалистичны, если значения управления порождаются цифровым регулятором. Действительно, для вычислений требуется ненулевое время, а сделать его кратным шагу может быть затруднительно по чисто физическим причинам: параметры определяющего задающую частоту устройства (кварцевого генератора) не могут быть в точности известны просто потому, что они различаются у разных образцов одного и того же изделия, а также зависят от напряжения питания и температуры окружающей среды. Таким образом, возникает потребность распространить перечисленные результаты на случай систем с запаздыванием, не кратным шагу дискретизации. Этому и посвящена настоящая статья.

2. Постановка задачи

Рассмотрим линейную непрерывную стационарную систему, задаваемую при t € [0, то) уравнениями

(1) x(t) = Ax(t) + Bu(t - в), y(t) = Cx(t).

Здесь А, В и С суть постоянные матрицы соответствующей размерности, х(Ь) - это п-мерное состояние системы, а у(Ь) и п(Ь) суть 1-мерные выход и вход соответственно, причем вход принимает постоянные значения на временных интервалах постоянной длины Н:

(2) п(кН + е) = пк при е € [0,Н), к = 0,1,...

Величину Н называют шагом дискретизации.

Представим запаздывание в виде в = (Ь + в)Н, где Ь - целое, а в € [0,1), и обозначим

(3) ук = у(кЬ), хк = х((к + в — 1)Ь).

Применив формулу Коши для решения дифференциального уравнения (1) на временных промежутках [(к + в — 1)Ь, (к + в)Н] и [(к + в — 1)Ь, кН], получаем

(4) Хк+1 = Р (Ь)хк + Я(Н)ик-ь-1, Ук = Я(Ь,в)хк + £ (Ь,в)пк-ь-1, где

н

р= енА, = Iте> =

0

Н(1-0)

Б(Ь, в) = С ! е'АйвВ. 0

Согласно распространенной терминологии (4) - результат дискретизации непрерывной системы (1) по методу нулевого порядка (ZOH - zero order hold method; имеется в виду нулевая степень многочлена, аппроксимирующего значения входа в моменты, промежуточные между кратными h). Если 9 = = 0, т.е. запаздывание В отсутствует или кратно шагу дискретизации h, то уравнения дискретной модели (4) можно упростить. Действительно, в этом случае из (2) для векторов Zk = Хк+1 получаем

Zk+i = P (h)zk + Q(h)uk-L, Ук = Czk ■

Основная задача этой работы - анализ асимптотики инвариантных нулей (нулей определителя матрицы Розенброка)

(5) (X) = det

XI - P(h) -Q(h) R(h, 9) S(h, 9)

дискретной системы (4) при Н ^ 0. Из леммы Шура об определителях следует, что

(6) ^в(\) = ёе^А/ — Р(Ь)] х(А),

где

Х(Х) = Б(Н, в) + Е(к, в)[Х1 - Р(Н)]-1Я(Н)

- передаточная функция системы (4) с точностью до целочисленного запаздывания Ь. Расположение нулей (X) играет важную роль при решении задач оптимального и адаптивного управления [12, 13], робастного обращения [14] и др.

3. Относительный порядок, истинные нули и нули дискретизации

Обозначим через е3 строки матрицы С из уравнения (1): (7) е3 В = е3 АВ = ... = е3 Аг*-2В = 0, е3 Аг*-1В = 0, $ = 1,2,...,1.

Рассматриваться будут только такие непрерывные системы (1), что (1х1)-мат-рица

(8)

Т =

е1АГ1-1В е2АГ2-1В

С1АГ1-1В

неособая. Для таких систем вектор т с упорядоченными по возрастанию компонентами т3 называют относительным порядком по Исидори - см. [14, 15], а сами системы - расщепляемыми. Смысл термина в том, что для системы из этого класса можно найти статическую обратную связь [11], которая преобразует уравнения (1) к специальному виду - каждая компонента выхода будет зависеть от единственной компоненты входа. В контексте рассматриваемой задачи это свойство роли не играет, но невырожденность Т существенна сама по себе. Скалярная передаточная функция, очевидно, всегда имеет относительный порядок, равный разности степеней числителя и знаменателя.

Обозначим аналогично (5)

(9)

ф(Х) = ёе!

XI - А -В

С

0

Довольно очевидно, что этот многочлен имеет степень т = п - т3, а его старший коэффициент равен ёе! Т. Действительно,

М = ^{Х1-А) _ ! =

Хт Хп

ёеЛ(Х1 - А)

Хп

ёе!

ХГ1 С1(Х1 - А)-1В

ёе!(А/ - А) \п

ёе!

ХГ1 С(Х1 - А)-1 В ХС1АГ1-1(Х1 - А)-1 В

ХС1АГ1-1(Х1 - А)-1 В

-> ёе! Т

в силу (6) и того, что

(XI - A)~l = \I + ±-2A + ... + i^"1 + j-dAd(XI - A)~l для любого d.

Введем обозначения для степени многочлена (9) и его корней, т.е. инвариантных нулей системы (1):

I m

m = n гз, Ф(Х)=<1е1 Tjj(X - ^). i j=i

Расположение части нулей дискретной системы (4) определяется шагом дискретизации и нулями системы (1). Их называют истинными (intrinsic) нулями. Чтобы описать асимптотику остальных инвариантных нулей системы (4), потребуется определить и изучить расположение корней ряда многочленов. Определим для этого следующие матрицы: Jd - жорданов блок размерности d х d с нулями на главной диагонали и единицами над ней, 1 х d-строка Cd = [1,0,..., 0] и d х 1-столбец Bd = [0,..., 0,1]' (штрих обозначает транспонирование). Фиксируем е € [0,1]. Положив

(10) а.Х) = det

XI - eJd -esJdBd

Cd 0

d = 1,2,3,...

= (X - 1)dCd(XI - eJd)-1eeJdBd,

получаем ряд многочленов степени d—1 по Л, коэффициенты которых зависят от параметра е:

£!(Л) = 1, £(Л)= еЛ + 1 - е, ( ) СКЛ) = Л2е2/2 + Л(е - е2 + 1/2) + (е2/2 - е + 1/2), ...

Нетрудно убедиться, что £1(Л) = Л£0(Л), а при е = 0 многочлены (10) совпадают с многочленами Эйлера [4, 16—19]1. На этом основании многочлены (10) естественно назвать обобщенными многочленами Эйлера.

На содержательном уровне запаздывание В = (Ь + 9)Н - постоянный параметр непрерывного прототипа (1), поэтому значение 9 целиком определяется выбранным периодом дискретизации. Для удобства формулировок, однако, никто не мешает считать 9 независимой переменной.

Теорема 1. Пусть непрерывная система (1) расщепляема (detТ = 0), имеет относительный порядок по И

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Автоматика. Вычислительная техника»