ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 460, № 1 с. 22-25
МАТЕМАТИКА
УДК 517.91
АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИИ ТИПА ЭМДЕНА-ФАУЛЕРА
© 2015 г. В. С. Самовол
Представлено академиком РАН В.П. Масловым 20.05.2014 г. Поступило 03.06.2014 г.
DOI: 10.7868/S0869565215010065
Рассматривается уравнение следующего вида:
У(п) = P(x)\y\°sgny, n > 2, ст> 1, ^^
0 1
y = y(x), p(x) е C , x,y е R , p(x) Ф 0.
При п = 2 и p(x) = ±xe, x > 0, р = const это известное уравнение Эмдена—Фаулера (см., например, [1]), связанное с изучением ряда физических процессов.
Определение 1. Решение y(x) уравнения (1) называется продолжаемым вправо (влево), если оно определено в некоторой окрестности +да (-да).
Определение 2. Нетривиальное решение y(x) уравнения (1) называется осциллирующим вправо (влево), если для всякого x, принадлежащего его области определения, найдется такое x1 > x (x1 < x), что y(x1) = 0.
Непродолжаемыми (неосциллирующими) в каком-либо направлении мы будем считать нетривиальные решения, не являющиеся продолжаемыми (осциллирующими) в соответствующем направлении.
Напомним некоторые понятия, используемые в степенной геометрии [2, 3]. Пусть при x ^ +да решение y(x) уравнения (1) имеет вид
y(x) = crxr(1 + o(x Y)), r,cr,Y = const, cr Ф 0, y > 0. Тогда выражение
(2)
(3)
У = СгХ
называется степенной асимптотикой решения (2).
Если решение уравнения (1) при х ^ +да име ет вид
y(x) = crxr lnq x(1 + o(ln Y x)), r, q, y, cr = const, q, cr Ф 0, j > 0,
(4)
Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономиики", Москва
то выражение
у = сгхг 1п ях (5)
называется степенно-логарифмической асимптотикой решения (4).
В данной работе будем рассматривать уравнение (1), где р(х) имеет степенную асимптотику при х ^ +да
ß —Б
p(x) = aßx (1 + o(x )), ß, e, aß = const, aß Ф 0, e > 0.
(6)
При этом условии будут описаны все степенные асимптотики продолжаемых вправо решений уравнения (1), а также представлены решения, имеющие степенно-логарифмические асимптотики. Результаты естественным образом переносятся на продолжаемые влево решения уравнения (1).
При п = 2 и р(х) = ахв, х > 0, а ф 0 эта задача подробно исследована в [1].
Введем следующие условия на число р в (6):
1) условие р0:
-в < п; (7)
2) условие рк, где к е {1,2,...,п -1}:
п + (к - 1)(ст-1) <-р< п + к(ст-1); (8)
3) условие вп:
-Р> п + (п - 1)(ст-1). (9)
Тео р е ма 1. Если при некотором к е {0,1,..., п}
для параметров р и ар в (6) выполнено условие рк и
неравенство (-1)" кар > 0, то уравнение (1) имеет следующие решения со степенной асимптотикой:
y(x) = ±crxr (1 + o(x ~Y)), r =
_-ß- n
ct-1
1
-K CT-1
(10)
cr = (r(r -1)... (r - n + 1)ар ) , y = const > 0, а также решения вида
y(x) = dmxm (1 + o(x ~Y)), dm, Y = const, dm Ф 0, y> 0, m e {0,1,...,k -1}, k > 1.
Продолжаемых вправо решений с другими степенными асимптотиками уравнение (1) при выполнении условий теоремы не имеет.
Замечание. Существование у уравнения (1) решений вида (11) при выполнении условий теорем 1—4, представленных в данном сообщении, доказано в [4] (см. также [5, теорема 2]).
Покажем существование решений вида (10). Ограничимся положительным решением. Согласно [2] сделаем в (1) преобразование у = хгг,
а-1
вид:
(n-j)
I bjZt = apzа(1 + o(e~Е)),
j=о
bj = const,
0 < j < n.
Рассмотрим укороченное уравнение
bnZ = apza.
(12)
(13)
Заметим, что Ьп = (-1)п(-г)(-г + 1).. .(-г + п - 1), следовательно, из условия теоремы получаем, что Ь„а^ > 0. Тогда уравнение (13) имеет решение
1
г = го = (^а-У-1.
После замены г = ж + г0 уравнение (12) при малых ж примет вид
z bjWin-J) = apZoa(hn)(1 + o(e ^)) + o(e ~et)),
j=o
(14)
П = -, h(n) = (1 + n)a -1.
Zo
Обозначая
\T
w (i) = u
i+1>
0 < i < n - 1, u = (ub
U = Au + F (u) + G(u)f(t) + f (t), \\f (0|| = o(e ~Et),
(15)
что
y = xr(z0 + u1(lnx)) = crxr(1 + o(x Y))
(17)
t = ln x. Уравнение примет следующий
Предположим сначала, что q > r. Пусть в (6) ap > 0. Получаем при больших x
y(n)(x) > Dx ц+q-n, D = const > 0, ц = (q - r)(a-1) > 0.
С учетом монотонности всех y(i)(x),0 < i < n -1 из (17) следует
y(x) > D1x^+q, D1 = const > 0, что противоречит (16).
Если в (6) ap < 0, то приведенные рассуждения повторяются с тем лишь ограничением, что r < n - 1. Итак, q > r невозможно.
Пусть теперь q < r. Тогда при больших x справедлива оценка
|p(x)ya-1(x)| < Dx, D = const > 0,
| = (q - r)(a-1) < 0.
При этом y(x) удовлетворяет линейному уравнению
(18)
У(n) = P1(x)y, P1(x) = p(x)y a-1(x)
-1,
(19)
и2, ..., ип)т, получаем для функции и(?) в малой окрестности нуля систему уравнений
Г(и),0(и) е С , Г(0) = 0,Г'(0) = 0, 0(0) = 0. При достаточно малом 0 < у < б эта система уравнений имеет решение и = и(0,||и(0|| = о(е) при t ^ +да (см., например, [6]). Отсюда получаем,
Однако в [7] доказано, что при выполнении (18) функции
ут(х) = хт(1 + о(х~8)), 8 > 0, т е {0,1,...,п -1}, образуют фундаментальную систему решений уравнения (19) и, следовательно, у(х) является их
п-1
линейной комбинацией у(х) = ^ йтут(х). Учиты-
т=0
вая (16), получаем, что йт = 0 при т > д и
у(х) = хН(ёН + о(х 81)), где Н е {0,1,...,п -1}, Н < д < г, 81 > 0. Таким образом, у(х) имеет вид (11). Легко показать, что если решение уравнения (1) имеет вид (16), то при д = г будет иметь место равенство а = ±сг, где сг — константа из формулы (10).
Теорема 2. Если при некотором к е {0, 1, ..., п — 1} для параметров в и ар в (6) выполнены условия
(- 1)и-кар > 0, -р = п + к(а -1), (20)
то уравнение (1) имеет решения со степенно-логарифмической асимптотикой
является
y(x) = ±ckx lnq x(1 + o(ln Y x)),
решением требуемого вида (10) уравнения (1).
Покажем теперь отсутствие решений с другой степенной асимптотикой, за исключением тех, что имеют вид (11). Предположим, что существует продолжаемое вправо решение, которое в окрестности +да имеет вид
y(x) = axq(1 + o(x)), a = const Ф 0, 5> 0, (16)
где q Ф r. Без ограничения общности считаем
a > 0.
q =
1
ck =
= f(g- 1)|<
Pi
Y > 0.
(21)
1 -ст к ук !(п - к - 1)!у Уравнение (1) не имеет продолжаемых вправо решений со степенной асимптотикой, за исключением решений вида (11).
Существование у уравнения (1) решений вида (11) отмечалось в замечании. Покажем теперь существование решений вида (21). Ограничимся положительными решениями. Сделаем в (1) пре-
n
24
САМОВОЛ
образование y = x z, t = In x. Уравнение примет
следующий вид:
n-1
E(n- j) a -Et bjZt = a^z (1 + o(e )),
j=0
(22)
bj = const, 0 < j < n -1.
Для поиска нужного решения полученного уравнения целесообразно рассмотреть много-
n-1
v
гранник Ньютона уравнения > bjzt
(n-j)
= apz
j=0
Правому ребру этого многогранника соответствует укороченное уравнение
¿„-1^' = ав га. (23)
Заметим, что Ьп_1 = (-1)п+к-1к !(п - к -1)!, следовательно, из условия теоремы получаем, что Ьп-1а^ < 0. Тогда уравнение (23) имеет решение
- '0-0)0^? __ 1
z = z0(t) = ct , c =
q =
Jn-1 /
1 -a
(24)
После замены z = w + z0, z0 = z0(t) уравнение (22)
примет вид
n-1
£ bjW<n-j) = + a^zо ((1 + -1 - an) +
^ (1 -a)t
j=0
+apz0C(1 + n) 4e -Et) + h(t),
(25)
П = -, h(t) = -£ b4
z0 j 0
(n-j)
(27)
-P > n + (n - 1)(a-1), если k = n,
(28)
(30)
(31)
1=0
Далее доказывается существование у данного уравнения решения вида м>() = о(ч--), где у > 0 — некоторое число. Это означает, что уравнение (1) имеет решение вида (21). Отсутствие решений со степенной асимптотикой, за исключением решений вида (11), доказывается так же, как в предыдущей теореме.
Теорема 3. Если при некотором к е {0,1,...,п} для параметров р и ар в (6) выполнено неравенство (-1)п-кав < 0 и одно из следующих условий:
-р < п, если к = 0, (26)
п + (к - 1 )(а - 1 )< -р< п + к (а - 1), если к е {1, 2, ..., п - 1},
данной теоремы следует из приведенной ниже теоремы 4. Для формулировки теоремы 4 введем следующие условия на функцию p(x) в (1):
1) условие р*:
|p(x)|-1 < cxn, c = const > 0, x > x0 > 0; (29)
2) условие рк при к e {1,2,...,n -1}:
c1xn+(k-1)(c-1)+8 < \p(x)\-1 < c2xn+k(c-1), c12, 5 = const > 0, x > x0 > 0;
3) условие p*:
|p(x)|-1 > cxn+(n-1)(a-1)+5, c, 5 = const > 0, x > x0 > 0.
Теорема 4. Если при некотором k е {0,1,...,n} для функции p(x) в (1) выполнено одно из условий pjk
и неравенство (-1)n-kpx) < 0, то уравнение (1) не имеет нетривиальных продолжаемых вправо неос-циллирующих вправо решений, за исключением решений вида (11).
Существование решений вида (11) при выполнении условий данной теоремы отмечалось в замечании. Покажем отсутствие других продолжаемых вправо сохраняющих знак решений. Предположим обратное. Пусть y(x) такое решение. Без ограничения общности считаем, что y(x) > 0 при x > x0 > 0.
Несложно доказать, что при всех k < j < n -1 будет y(j) ^ 0 при x ^ .
Покажем, что если k е {1,2,...,n}, то выполняется оценка
y(x) < Dxk-1, D = const > 0, x > x0 > 0. (32) Пусть сначала k = n. Тогда p(x) < 0, т.е. функция y(n-1)(x) убывает и, следовательно, y(x) < Dxn-1, D = const > 0, x > x0 > 0. Если 1 < k < n - 1, то, поскольку функции y(j)(x), k < j < n - 1, монотонно стремятся к нулю при x ^ , при больших х будет
y(j+1)(x)y(j)(x) < 0, k < j < n - 1. Но по условию тео-
то уравнение (1) не имеет нетривиальных продолжаемых вправо неосциллирующих вправо решений, за исключением решений вида (11).
Существование у уравнения (1) решений вида (11) при выполнении условий данной теоремы отмечалось выше. Отсутствие других нетривиальных продолжаемых вправо неосиллирующих вправо решений (вне зависимости от наличия у них какой-либо асимптотики) при выполнении условий
ремы sgn y n (x) = (- 1)n , следовательно y(k)(x) < 0. Значит, функция y(-1)(x) убывает и y(x) < Dxk-1, x > x0 > 0, D = const > 0. Итак, справедливость оценки (32) установлена.
Отметим, что функция y(x) удовлетворяет линейному уравнению (19). Из (30) и (31) и оценки (32) следует, что при k е {1,2,...,n} будет верно неравенство
|p1(x) < D1x~n-s, x > x0 > 0, 5, D1 = const > 0. (33)
n-2
Но при выполнении (33) уравнение (19) имеет фундаментальную систему решений, состоящую из функций вида
ут(х) = хт(1 + о(х~у)), у > 0, т е {0,1,...,п -1}.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.