научная статья по теме АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ТИПА ЭМДЕНА–ФАУЛЕРА Математика

Текст научной статьи на тему «АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ТИПА ЭМДЕНА–ФАУЛЕРА»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 460, № 1 с. 22-25

МАТЕМАТИКА

УДК 517.91

АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИИ ТИПА ЭМДЕНА-ФАУЛЕРА

© 2015 г. В. С. Самовол

Представлено академиком РАН В.П. Масловым 20.05.2014 г. Поступило 03.06.2014 г.

DOI: 10.7868/S0869565215010065

Рассматривается уравнение следующего вида:

У(п) = P(x)\y\°sgny, n > 2, ст> 1, ^^

0 1

y = y(x), p(x) е C , x,y е R , p(x) Ф 0.

При п = 2 и p(x) = ±xe, x > 0, р = const это известное уравнение Эмдена—Фаулера (см., например, [1]), связанное с изучением ряда физических процессов.

Определение 1. Решение y(x) уравнения (1) называется продолжаемым вправо (влево), если оно определено в некоторой окрестности +да (-да).

Определение 2. Нетривиальное решение y(x) уравнения (1) называется осциллирующим вправо (влево), если для всякого x, принадлежащего его области определения, найдется такое x1 > x (x1 < x), что y(x1) = 0.

Непродолжаемыми (неосциллирующими) в каком-либо направлении мы будем считать нетривиальные решения, не являющиеся продолжаемыми (осциллирующими) в соответствующем направлении.

Напомним некоторые понятия, используемые в степенной геометрии [2, 3]. Пусть при x ^ +да решение y(x) уравнения (1) имеет вид

y(x) = crxr(1 + o(x Y)), r,cr,Y = const, cr Ф 0, y > 0. Тогда выражение

(2)

(3)

У = СгХ

называется степенной асимптотикой решения (2).

Если решение уравнения (1) при х ^ +да име ет вид

y(x) = crxr lnq x(1 + o(ln Y x)), r, q, y, cr = const, q, cr Ф 0, j > 0,

(4)

Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономиики", Москва

то выражение

у = сгхг 1п ях (5)

называется степенно-логарифмической асимптотикой решения (4).

В данной работе будем рассматривать уравнение (1), где р(х) имеет степенную асимптотику при х ^ +да

ß —Б

p(x) = aßx (1 + o(x )), ß, e, aß = const, aß Ф 0, e > 0.

(6)

При этом условии будут описаны все степенные асимптотики продолжаемых вправо решений уравнения (1), а также представлены решения, имеющие степенно-логарифмические асимптотики. Результаты естественным образом переносятся на продолжаемые влево решения уравнения (1).

При п = 2 и р(х) = ахв, х > 0, а ф 0 эта задача подробно исследована в [1].

Введем следующие условия на число р в (6):

1) условие р0:

-в < п; (7)

2) условие рк, где к е {1,2,...,п -1}:

п + (к - 1)(ст-1) <-р< п + к(ст-1); (8)

3) условие вп:

-Р> п + (п - 1)(ст-1). (9)

Тео р е ма 1. Если при некотором к е {0,1,..., п}

для параметров р и ар в (6) выполнено условие рк и

неравенство (-1)" кар > 0, то уравнение (1) имеет следующие решения со степенной асимптотикой:

y(x) = ±crxr (1 + o(x ~Y)), r =

_-ß- n

ct-1

1

-K CT-1

(10)

cr = (r(r -1)... (r - n + 1)ар ) , y = const > 0, а также решения вида

y(x) = dmxm (1 + o(x ~Y)), dm, Y = const, dm Ф 0, y> 0, m e {0,1,...,k -1}, k > 1.

Продолжаемых вправо решений с другими степенными асимптотиками уравнение (1) при выполнении условий теоремы не имеет.

Замечание. Существование у уравнения (1) решений вида (11) при выполнении условий теорем 1—4, представленных в данном сообщении, доказано в [4] (см. также [5, теорема 2]).

Покажем существование решений вида (10). Ограничимся положительным решением. Согласно [2] сделаем в (1) преобразование у = хгг,

а-1

вид:

(n-j)

I bjZt = apzа(1 + o(e~Е)),

j=о

bj = const,

0 < j < n.

Рассмотрим укороченное уравнение

bnZ = apza.

(12)

(13)

Заметим, что Ьп = (-1)п(-г)(-г + 1).. .(-г + п - 1), следовательно, из условия теоремы получаем, что Ь„а^ > 0. Тогда уравнение (13) имеет решение

1

г = го = (^а-У-1.

После замены г = ж + г0 уравнение (12) при малых ж примет вид

z bjWin-J) = apZoa(hn)(1 + o(e ^)) + o(e ~et)),

j=o

(14)

П = -, h(n) = (1 + n)a -1.

Zo

Обозначая

\T

w (i) = u

i+1>

0 < i < n - 1, u = (ub

U = Au + F (u) + G(u)f(t) + f (t), \\f (0|| = o(e ~Et),

(15)

что

y = xr(z0 + u1(lnx)) = crxr(1 + o(x Y))

(17)

t = ln x. Уравнение примет следующий

Предположим сначала, что q > r. Пусть в (6) ap > 0. Получаем при больших x

y(n)(x) > Dx ц+q-n, D = const > 0, ц = (q - r)(a-1) > 0.

С учетом монотонности всех y(i)(x),0 < i < n -1 из (17) следует

y(x) > D1x^+q, D1 = const > 0, что противоречит (16).

Если в (6) ap < 0, то приведенные рассуждения повторяются с тем лишь ограничением, что r < n - 1. Итак, q > r невозможно.

Пусть теперь q < r. Тогда при больших x справедлива оценка

|p(x)ya-1(x)| < Dx, D = const > 0,

| = (q - r)(a-1) < 0.

При этом y(x) удовлетворяет линейному уравнению

(18)

У(n) = P1(x)y, P1(x) = p(x)y a-1(x)

-1,

(19)

и2, ..., ип)т, получаем для функции и(?) в малой окрестности нуля систему уравнений

Г(и),0(и) е С , Г(0) = 0,Г'(0) = 0, 0(0) = 0. При достаточно малом 0 < у < б эта система уравнений имеет решение и = и(0,||и(0|| = о(е) при t ^ +да (см., например, [6]). Отсюда получаем,

Однако в [7] доказано, что при выполнении (18) функции

ут(х) = хт(1 + о(х~8)), 8 > 0, т е {0,1,...,п -1}, образуют фундаментальную систему решений уравнения (19) и, следовательно, у(х) является их

п-1

линейной комбинацией у(х) = ^ йтут(х). Учиты-

т=0

вая (16), получаем, что йт = 0 при т > д и

у(х) = хН(ёН + о(х 81)), где Н е {0,1,...,п -1}, Н < д < г, 81 > 0. Таким образом, у(х) имеет вид (11). Легко показать, что если решение уравнения (1) имеет вид (16), то при д = г будет иметь место равенство а = ±сг, где сг — константа из формулы (10).

Теорема 2. Если при некотором к е {0, 1, ..., п — 1} для параметров в и ар в (6) выполнены условия

(- 1)и-кар > 0, -р = п + к(а -1), (20)

то уравнение (1) имеет решения со степенно-логарифмической асимптотикой

является

y(x) = ±ckx lnq x(1 + o(ln Y x)),

решением требуемого вида (10) уравнения (1).

Покажем теперь отсутствие решений с другой степенной асимптотикой, за исключением тех, что имеют вид (11). Предположим, что существует продолжаемое вправо решение, которое в окрестности +да имеет вид

y(x) = axq(1 + o(x)), a = const Ф 0, 5> 0, (16)

где q Ф r. Без ограничения общности считаем

a > 0.

q =

1

ck =

= f(g- 1)|<

Pi

Y > 0.

(21)

1 -ст к ук !(п - к - 1)!у Уравнение (1) не имеет продолжаемых вправо решений со степенной асимптотикой, за исключением решений вида (11).

Существование у уравнения (1) решений вида (11) отмечалось в замечании. Покажем теперь существование решений вида (21). Ограничимся положительными решениями. Сделаем в (1) пре-

n

24

САМОВОЛ

образование y = x z, t = In x. Уравнение примет

следующий вид:

n-1

E(n- j) a -Et bjZt = a^z (1 + o(e )),

j=0

(22)

bj = const, 0 < j < n -1.

Для поиска нужного решения полученного уравнения целесообразно рассмотреть много-

n-1

v

гранник Ньютона уравнения > bjzt

(n-j)

= apz

j=0

Правому ребру этого многогранника соответствует укороченное уравнение

¿„-1^' = ав га. (23)

Заметим, что Ьп_1 = (-1)п+к-1к !(п - к -1)!, следовательно, из условия теоремы получаем, что Ьп-1а^ < 0. Тогда уравнение (23) имеет решение

- '0-0)0^? __ 1

z = z0(t) = ct , c =

q =

Jn-1 /

1 -a

(24)

После замены z = w + z0, z0 = z0(t) уравнение (22)

примет вид

n-1

£ bjW<n-j) = + a^zо ((1 + -1 - an) +

^ (1 -a)t

j=0

+apz0C(1 + n) 4e -Et) + h(t),

(25)

П = -, h(t) = -£ b4

z0 j 0

(n-j)

(27)

-P > n + (n - 1)(a-1), если k = n,

(28)

(30)

(31)

1=0

Далее доказывается существование у данного уравнения решения вида м>() = о(ч--), где у > 0 — некоторое число. Это означает, что уравнение (1) имеет решение вида (21). Отсутствие решений со степенной асимптотикой, за исключением решений вида (11), доказывается так же, как в предыдущей теореме.

Теорема 3. Если при некотором к е {0,1,...,п} для параметров р и ар в (6) выполнено неравенство (-1)п-кав < 0 и одно из следующих условий:

-р < п, если к = 0, (26)

п + (к - 1 )(а - 1 )< -р< п + к (а - 1), если к е {1, 2, ..., п - 1},

данной теоремы следует из приведенной ниже теоремы 4. Для формулировки теоремы 4 введем следующие условия на функцию p(x) в (1):

1) условие р*:

|p(x)|-1 < cxn, c = const > 0, x > x0 > 0; (29)

2) условие рк при к e {1,2,...,n -1}:

c1xn+(k-1)(c-1)+8 < \p(x)\-1 < c2xn+k(c-1), c12, 5 = const > 0, x > x0 > 0;

3) условие p*:

|p(x)|-1 > cxn+(n-1)(a-1)+5, c, 5 = const > 0, x > x0 > 0.

Теорема 4. Если при некотором k е {0,1,...,n} для функции p(x) в (1) выполнено одно из условий pjk

и неравенство (-1)n-kpx) < 0, то уравнение (1) не имеет нетривиальных продолжаемых вправо неос-циллирующих вправо решений, за исключением решений вида (11).

Существование решений вида (11) при выполнении условий данной теоремы отмечалось в замечании. Покажем отсутствие других продолжаемых вправо сохраняющих знак решений. Предположим обратное. Пусть y(x) такое решение. Без ограничения общности считаем, что y(x) > 0 при x > x0 > 0.

Несложно доказать, что при всех k < j < n -1 будет y(j) ^ 0 при x ^ .

Покажем, что если k е {1,2,...,n}, то выполняется оценка

y(x) < Dxk-1, D = const > 0, x > x0 > 0. (32) Пусть сначала k = n. Тогда p(x) < 0, т.е. функция y(n-1)(x) убывает и, следовательно, y(x) < Dxn-1, D = const > 0, x > x0 > 0. Если 1 < k < n - 1, то, поскольку функции y(j)(x), k < j < n - 1, монотонно стремятся к нулю при x ^ , при больших х будет

y(j+1)(x)y(j)(x) < 0, k < j < n - 1. Но по условию тео-

то уравнение (1) не имеет нетривиальных продолжаемых вправо неосциллирующих вправо решений, за исключением решений вида (11).

Существование у уравнения (1) решений вида (11) при выполнении условий данной теоремы отмечалось выше. Отсутствие других нетривиальных продолжаемых вправо неосиллирующих вправо решений (вне зависимости от наличия у них какой-либо асимптотики) при выполнении условий

ремы sgn y n (x) = (- 1)n , следовательно y(k)(x) < 0. Значит, функция y(-1)(x) убывает и y(x) < Dxk-1, x > x0 > 0, D = const > 0. Итак, справедливость оценки (32) установлена.

Отметим, что функция y(x) удовлетворяет линейному уравнению (19). Из (30) и (31) и оценки (32) следует, что при k е {1,2,...,n} будет верно неравенство

|p1(x) < D1x~n-s, x > x0 > 0, 5, D1 = const > 0. (33)

n-2

Но при выполнении (33) уравнение (19) имеет фундаментальную систему решений, состоящую из функций вида

ут(х) = хт(1 + о(х~у)), у > 0, т е {0,1,...,п -1}.

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком