УДК 551.509.333:519.6
АССИМИЛЯЦИЯ ДАННЫХ НАБЛЮДЕНИЙ В ЗАДАЧЕ ЦИРКУЛЯЦИИ ЧЕРНОГО МОРЯ И АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ЕЕ РЕШЕНИЯ © 2013 г. В. И. Агошков, Е. И. Пармузин, В. П. Шутяев
Институт вычислительной математики РАН 199333 Москва, ул. Губкина, 8 E-mail: agoshkov@inm.ras.ru Поступила в редакцию 15.02.2013 г., после доработки 26.03.2013 г.
Сформулирована и численно исследована задача вариационной ассимиляции данных о температуре поверхности моря для модели динамики Черного моря с целью восстановления потоков тепла на поверхности. Проведено исследование чувствительности оптимального решения к погрешностям данных наблюдений. Приведены результаты численных экспериментов.
Ключевые слова: вариационная ассимиляция усвоения, численный алгоритм, оптимальное решение, потоки тепла.
DOI: 10.7868/S0002351513060023
ВВЕДЕНИЕ
В настоящей работе рассматривается обратная задача о потоках тепла с поверхности моря и соответствующая ей задача четырехмерного вариационного усвоения данных спутниковых наблюдений температуры поверхности Черного моря. В качестве численной модели динамики Черного моря в работе используется математическая модель циркуляции Черного моря, разработанная в ИВМ РАН [1]. Задачу вариационной ассимиляции данных наблюдений о температуре поверхности моря для этой модели термодинамики мы рассмотрим в постановке, аналогичной введенной в [2]. Численные алгоритмы, сформулированные ниже, в целом базируются на использовании различных модификаций метода расщепления [3, 4]. Специальные вопросы, связанные со свойствами операторов задачи, однозначной и плотной разрешимостью задачи ассимиляции данных о температуре для "полудискретной модели", исследованы в работе [5].
Наряду с разработкой и обоснованием алгоритмов численного решения задач вариационного усвоения данных, важную роль играют свойства чувствительности решений задач вариационного усвоения к погрешностям данных наблюдений. Методология исследования чувствительности, рассмотренная в [6, 7], в настоящей статье применена для исследования оптимального решения задачи вариационной ассимиляции данных о температуре поверхности моря с целью восстановления потоков тепла на поверхности. Методы и подходы,
изучаемые в статье, иллюстрируются численными экспериментами.
1. УРАВНЕНИЯ МОДЕЛИ
Математическая модель циркуляции Черного моря рассматривается в географических координатах. Через и, V обозначены горизонтальные компоненты вектора скорости, — отклонение уровенной поверхности от невозмущенного состояния, Т — температура, Б — соленость. Обозначения основных дифференциальных операторов, используемых ниже, являются общепринятыми, и они описаны, например, в [15]. Рассмотрим в
области Б в переменных (х, у, ¿) при ? е (0, ?) систему уравнений гидротермодинамики в "приближении Буссинеска и гидростатики" [8] для функций и, V, Т, Б:
du
dt
0 -f f 0 .
u - —gradS, + Auu + (Ak) u =
г
= f- IgradPa - —grad fpi(T, S)dz', On Pn J
д^ д -3 - m — |
д t дх I
P0
rH
Je( z)
udz
-m-
0
fh \
. n
(1.1)
ду
f0( z)n vdz m
= f3,
J
dT + ATT = fT, dS + AsS = fs, dt dt
0
0
2
643
где u = (u, v), Pi (T, S) = PoPr(T- TC0)) + p0ps(S -- SW) + yPoPts(T, S) + fP, f = f1,f2), fT, fs, fP, Po, T0), S-0), pTS(T, S), Pa, f = f(x, y, t) — заданные функции, PT, PS, Y = const, Ayty = —Div( а ф Grad9), g = const > 0, ©(z) = (R — z)/R = 1, где R — радиус Земли.
При рассмотрении (1.1) в D х (0, t) будем задавать граничные и начальные условия согласно [2, 4]. Отметим, что граничные условия на rS = D (на поверхности моря) имеют вид:
Г л
I |©uiz n - Po mopJgH= mopJgHds на dD,
гх-) du , d л Un u - v — - ¿33 ___A^ =
dz dz
( a) Tx po,
Un )v- v^-k33___Akv = t
dd_
dz 33 d z Aku = o ,
( a) p
y p0,
(1.2)
Un-) T- vTd_I + Yt( T- Ta) = (Qt + Un-))dj
dz
и- S - vs^ + у8( 5 - ) = ( & + и-) ds, о г
где т^, т^0, Ут, Ys, Ta, Ба, Qт, Qs, dт, ds - заданные функции, при этом ^=0 = —=0, а вертикальная скорость определяется согласно формуле
Akv = 0,
w (x, y, z, t) =
fH
m
д
H
\\\
— \ \rudz' + m ■__
d x I J dy
__ [rvdz' m
(1.3)
jjj
2. МЕТОД РАСЩЕПЛЕНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ЧИСЛЕННОЙ МОДЕЛИ
Пусть на [0; t ] введена сетка 0 = t0< ... < tj = t , Atj = tj — tj-1. Рассмотрим задачу (1.1)—(1.4) на (tj-ь j), считая, что вектор приближенного решения фк = = (uk, vk, £,к, Tk, Sk) на предыдущих интервалах уже определен. Применим для аппроксимации получаемой задачи одну из схем метода суммарной аппроксимации [3], заключающуюся в реализации шагов для блока температуры, солености, скорости и уровня [8]. Таким образом, после первого шага получаем приближение к T, после второго — к S, а после третьего — приближения к u = (u, v) и т.е. подзадачи на этих шагах независимы друг от друга и могут решаться в "параллельном режиме". Это обстоятельство следует учитывать в дальнейшем при исследовании и решении задач вариационной ассимиляции данных.
При численном решении задачи (1.1)—(1.4) удобно перейти к ст-системе координат после замены переменных: х = x', y = y', ст = z/H, предполагая H(x, y) > H0 > 0 и считая H(x, y) непрерывно дифференцируемой [4, 9].
Сформулируем дальнейшие шаги по численному решению данной задачи.
Запишем уравнение для температуры в обобщенной формулировке
(Tt,T) + (LT, T) =
9(T) + (BQT, T)VTe W2(D),
(2.1)
Кроме того, задаются граничные условия на "твердой боковой стенке" Г^ с, на "жидкой части боковой стенки" Г^ ор и "на дне" Детальное описание всех обозначений и граничных условий можно найти в [1, 2, 15].
Начальные условия для u, V, Т, ^ %:
u = u0, V = V0, T = Т0, S = S0, % = %0 при t = 0, (1.4)
где и0, V0, 70, S°, %0 — заданные функции.
Задача крупномасштабной динамики океана в терминах функций и, V, %, Т, S формулируется так: найти и, V, %, Т, ^ удовлетворяющие задаче
(1.1)—(1.4).
Если функции и, V, %, Т, S найдены, то функция w определяется по формуле (1.3). В последующем мы будем исследовать задачу (1.1)—(1.4) и формулировать соответствующую задачу ассимиляции данных.
где L, 9, B определяются следующими соотношениями:
(LT,T) = J( -TDiv( UT)) dD + J U+ TTdГ +
D г w op n rs
+ JytTT\z = 0dD + feTGrad( T) ■ Grad( T)dD,
a d
9(T) = J (Qt + dT)Tdr +
rw,op
+ J(ytT + U— dT) T]z = odD + JfTTdD,
aD
(Tt, T) = JTtTdD, (BQt, T) = QT\Z = 0dD.
0
0
0
D
Q
7 ( дН дН] сических формах". Так, классическая форма за-
Пусть W = нн(ты-дд;[ + пVд.), = ™ - ^ Пред- писи (2.4) имеет вид (при Т2 ■ Т):
ставим оператор Ь в виде суммы операторов Ь1, , (
Ь2: Ь = Ь1 + Ь2, где
У, + 1
' 2
д Т 1 д( г2 w1-+ -
V
д7
д7
1 д 2 д Т п
- ---гг vт— = /т в Б
г2 д 7 д7
(ЬхТ,Т) ■ Ц-т2(¿IV(и Т) + (и, grad) Т)
- \т1д(г2ЖТ) + цтgradТgradТ)йБ +
Т = т1 () при , = ,
(2.5)
Ч - ь
г г2 д 7
д д — vт — = О при 7 = 0, vт — = 0 при 7 = Н.
д7 д7
+
| Ц-п+) ТТйГ, (Ь2 Т, Т) ■
где
О ■ От — Тт(Т — Та) — и- Т + йт.
■ I
—
д Т 1 д( г^1 Т) *1— + —--1—-
д7 г2 д7
+ VТ'
д_Тд_Т д7 д 7,
йБ +
+
|( ип+) + у т) ТТ17 = 0 й О.
Если для (2.3), (2.4) ввести те или иные аппроксимации по временной переменной (неявная схема, схема Кранка—Николсон, "схемы с весами" и др.), то мы получим полудискретный аналог задачи (1.1)—(1.4). В частности, для решения задачи (2.5) применяется неявная схема 1-го порядка точности, имеющая вид:
Пусть также 9 ( Т) = 91 ( Т) + 92 ( Т), где ( Т) = | (От + йт) ТйГ и
^2( Т) = |(у т та + й т) п, = ойа + /т ТйБ.
а б
Запишем (2.1) в форме операторного уравнения Т + ЬТ = 9 + ВОт, г е Ц —1, Т = Т — 1 при г = г- — 1, а = 1, 2, ..., У),
где первое равенство (и подобные равенства, рассматриваемые ниже) понимается в смысле выполнения соотношения (2.1), а также Ь = Ь1 + Ь2, 9 = 91 + 92. В [2] показано, что операторы Ь1, Ь2
на множестве функций из Ж2 (Б) неотрицатель-
1 д ( 2 д
1 (* д! +1д ( г * 1 т)
2 V д7 г2 д7
= Ь Т1, Ч + /т( Ч),
- г Vт ^ + Ь Т = г2
2 д7 ^ д7-
(2.6)
— VтдГ = О() при 7 = 0, Vтдf = 0 при 7 = Н.
д7 д 7
где ь = 1/дгу, Т■ Т ^ Щ), Wl = Wl(гj), ..., Ти■ Щ).
Систему уравнений, рассматриваемую на {(г,- — 1, г,)} и задающую аппроксимацию исходной задачи (1.1)—(1.4), построенную по методу расщепления, (2.2) в последующем мы будем называть Задачей I об отыскании ф = (и, V, Т, Б).
3. ЗАДАЧА АССИМИЛЯЦИИ ДАННЫХ О ТЕМПЕРАТУРЕ ПОВЕРХНОСТИ МОРЯ
Будем предполагать, что каждому г е (0, ,) соответствует некоторое подмножество О0 из О, характеристическую функцию которого обозначим ны. Свойства неотрицательности °перат°р°в Ьь через т0 ■ т0(г). Условимся также, что на каждом Ь2 позволяют применить следующую аппрокси- интервале г е (- —1, г), - = 1, 2, ..., У подмножество мацию уравнения (2.2) одним из методов суммар ной аппроксимации [3]:
О0 ■ неизменно (а также т0 ■ т0), т.е. изменение О0 возможно при переходе к другому ин-
(Т1)г + ЬТ = 91, г е (г-—1, г); Т = Т-—1 при г = /)—1(2.3) тервалу (г, г, +1) и т.д.
(Т2) + Ь2Т2 = 92 + В0т, г е ( г-—1, г-), Т2(г,—1) = Т1(г,).
(2.4)
При рассмотрении граничного условия для Т при г = 0 из задачи (2.1) мы будем записывать его следующим образом:
После решения подзадачи (2.4) функция Т2(— принимается в качестве приближенного решения задачи (2.1) при г = г,: Т2(— ■ Т- = Т.
При наличии соответствующей гладкости решений задачи (2.3), (2.4) можно записать в "клас-
-V Т
д д7
= О при г = 0 на о0° х (Ч -1, Ч),
где О есть обозначение суммарного притока тепла
О = О Т + и-п) й т - У т( Т - Та ) - и-п) Т.
Б
Г
Б
а
Примем функцию Q на D(j х (tj — 1, tj) за "дополнительную неизвестную", которая подлежит определению вместе со всеми компонентами задачи. Обращаем внимание, что на (D\DP) х (tj — 1, tj) все функции, входящие в граничное условие (кроме T), считаем заданными. Предположим, что единственной функцией, которая при t е (tj—1, tj) получена путем обработки данных спутниковых наблюдений есть функция Tobs на подмножестве D^'
из D. Пусть функция Tobs — T(jo)bs при t е (tj — 1, tj) по своему физическому смыслу есть приближение к функции поверхностной температуры на D' при t е (tj — 1, tj), т.е. к Tz=0. Вне подмножества DP при
t е (tj — 1, tj) для определенности считаем Tijo)bs тривиальной.
Сформулируем теперь следующую обратную задачу:
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.