ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 4, 2015
УДК 534.1
© 2015 г. Крупенин В.Л.
АВТОКОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕЙ С ДВУМЯ ПРЯМЫМИ ПРЕПЯТСТВИЯМИ И ПОМЕЩЕННОЙ В НАБЕГАЮЩИЙ ПОТОК ГАЗА
ИЛИ ЖИДКОСТИ
Институт машиноведения им. А.А. Благонравова РАН, г. Москва
Изучаются автоколебательные сильно нелинейные процессы в системе с распределенным ударным элементом — струной, помещенной между двумя симметричными ограничителями хода и возбуждаемой набегающим потоком жидкости или газа. В этом случае сила возбуждения зависит от скорости струны, и в системе в каждый момент времени осуществляется компенсация сил диссипации. Находятся точные представления для стоячих волн, которыми оказываются изученные ранее трапециевидные формы. Устойчивость решений анализируется посредством численной процедуры. Указывается класс задач, который можно исследовать с помощью развиваемой теории.
1. В этом и следующих двух пп. обсуждаются результаты, полученные ранее и необходимые для дальнейших рассмотрений, целью которых является изучение автоколебательных виброударных процессов в системах с распределенными ударными элементами. В данном случае в системах с двусторонними ограничителями.
В работах [1—12] и др. теоретически и экспериментально изучались виброударные системы с распределенными ударными элементами, а также их дискретные аналоги. Система рис. 1 определяет длинноволновое приближение системы рис. 2. На обоих рисунках показан трапециевидный профиль при реализации периодических режимов движения (стоячих волн) типа "хлопков", возможность существования которых была установлена. При их реализации относительно удаленные части ударных элементов — сосредоточенных или распределенных — могут синхронно соударяться с соответствующими частями различного рода ограничителей.
Рассмотрим малые поперечные колебания струны, расположенной между двумя абсолютно жесткими ограничителями хода, установленными параллельно оси ее статического равновесия (рис. 1). В консервативной модели трапециевидный профиль стоячей волны реализуется при начальных условиях специального вида.
Экспериментально, в режиме вынужденных колебаний трапециевидные профили стоячих волн-хлопков, по-видимому, впервые были получены на стенде А.М. Вепри-ка. Их описание дано в [11].
Формализуем постановку задачи. Пусть система — консервативна, когда препятствия неподвижны и возбуждение от внешних источников отсутствует.
Обозначив u(x, t) искомый прогиб, описанные выше ограничения запишем как
\u (x, t)|<A< 1; x e [-1/2, 1/2 ], t > 0. (1)
Рис. 1 Рис. 2
Между касаниями струны с ограничителями, когда первое неравенство (1) — строгое, уравнение движения записывается в виде линейного волнового уравнения □и = и„ — ихх = 0.
Примем следующие граничные и начальные условия:
и(±1/2, г) = 0; и(х, 0) = 0, и(х, г) = v0(x). (2)
При этом предполагается, что гладкость функции v0(x) (начальной скорости) такова, что обеспечены существование и единственность непрерывного решения задачи Коши для линейного волнового уравнения □и = 0 и дополнительных условий (2).
Если в первом неравенстве (1) реализуется знак равенства, то происходит взаимодействие струны и ограничителя, который должен действовать на струну "от себя". Поэтому, если и > 0 или и < 0, то, соответственно,
□и < 0; □и > 0. (3)
Оперируя с решениями, имеющими разрывы производной, потребуем, чтобы носитель сингулярной обобщенной функции [4], выражающей силу ударного взаимодействия,
8ирр□и с {(х, 0; |и(х, ^ = А}. (4)
Считая, что при взаимодействии энергия не теряется, постулируем здесь выполнение имеющего место в соответствующей линейной системе соотношения, выражающего закон сохранения энергии, то есть именно постулируем, что и в данном нелинейном случае в смысле обобщенных функций [4]
| (| их\2 + \и\2) = £ (2 и,их). (5)
Отсюда легко выводится
и(х, г - 0) = -иг(х, г + 0), (х, г) е 8иррП и, |и(х, г)| = А. (6)
То есть постулирование (5) приводит к континуальному аналогу гипотезы Ньютона для абсолютно упругого удара, который в данном случае и рассматривается. Вопрос о введении каких-либо гипотез рассеяния энергии при взаимодействиях такого рода представляет собой самостоятельную и нетривиальную проблему.
Условия типа (3)—(6) в случае одностороннего ограничителя рассматривались ранее в работах [3—5]. Используя один из результатов работы [4], можно показать, что неравенства (5) эквивалентны условию дозвукового распространения взаимодействий: если |и[х, ?(х)]| = А, то |?'(х)| < 1. (В принятых единицах измерения скорость звука равна единице.)
Условия ударного взаимодействия (3)—(5) определяют обобщенную функцию, описывающую ударное взаимодействие и обозначаемую ниже как Ф(и). При помощи этой функции уравнение можно записать как нелинейное уравнение Клейна-Гордона [2, 5-7]
□и + Ф(и) = 0. (7)
/// У/7 // / \ /}///////// \ /////// А / 4 /// /
Г/ Г/ V7 V7
-1
Рис. 3
u
0
Для принятой гипотезы во время контакта и какого-либо из ограничителей:
|Ф{u[x, t(x)]}| = Щt- t(x)], \u[x, t(x)]| = A, (8)
где плотность ударного импульса [6—8]
J = 2|ut[x, t(x) - 0]|.
В дальнейшем изучению будут подлежать системы, в которых колебания струны возбуждаются сторонними источниками. Тогда вместо (7) модель будет представлять собой нелинейное уравнение Клейна—Гордона с правой частью
□и + Ф(и) = h(t, u, ut, ...),
где вид функции h(...) обсуждается далее.
В частности, для автоколебаний струн, например, находящихся в набегающих потоках газа или жидкости, часто принимается [13—15] h = h(ut), где h(y) — полином нечетной степени с вещественными коэффициентами.
2. В работе [6], имея в виду изучить стоячие волны в определенном смысле соответствующие собственным формам линейной струны, выбирались начальные условия вида
N
vo(x) = 2£ (-1 ) + !N[n(x -xj) - n(x -xj + !)], (9)
J = 1
где n(x) — функция Хевисайда; отрезок [—1/2, 1/2] разбит на N равных частей Al = N-1; принято Xj = x: + (j — 1)N-1, j = 1, ..., N; xl = —1/2.
Выбранные начальные условия действительно в определенном смысле отвечают тем, что дают синусоидальные формы колебаний линейной струны и порождают семейство стоячих волн, имеющих "пилообразные" профили [16] (рис. 3 — штриховые линии). Периоды колебаний, естественно, совпадают с периодами колебаний линейных форм T0N = 2N-1.
При установке вблизи струны двусторонних ограничителей условиям (2) и (9) отвечает семейство TN-периодических (T-периодических) стоячих трапециевидных волн u(x, t) = An(x, t)TN = 2AN-1 [6] (рис. 3).
С соответствующих сторон к ограничителям со скоростью V = ±2У подходят прямолинейные отрезки струны [/■ , 1+ ] с [х, х, +:], причем, используя элементарные построения, найдем: I- = -1/2[2(/ - 1) - N + А]У-1; 1+ = 1/2(2/ - N - А)У-1.
Затем эти участки в соответствии с (6) мгновенно отскакивают от ограничителей и совершают движения в обратном направлении. То есть через время 1/2 Ту те же участки соударяются с противоположными ограничителями и так далее.
Аналитические выражения для членов семейства высших форм хлопков {Ду} можно получить при помощи методов частотно-временного анализа [2, 5, 8]. Так как найденные стоячие волны, очевидно, удовлетворяют условию и(х, ?) = -и(х, ? + 1/2 Ту), то периодические волны семейства {Ду}, удовлетворяющие уравнению (7), должны удовлетворять интегральному уравнению вида [2, 5, 8]
1/2 1/2Т
ля(х, г) = - | | х(х, у; г - s)Ф[Ля(у, s)]й*йу. (10)
-1 /2 0
Учитывая условие (9) и представление (8), для плотности силы Ф, запишем
N
- I + 1Г хТ/2(
] = 1
Ф[Ая(у, s)] = £(-1Г 7nS7/2(t- to)[n(x-Xj) - -Xj + !>], (11)
j = 1
где плотность ударного импульса JN = 2N; момент первого подхода струны к ограничителю t0 = 0,5AN—1; симметричная T-периодическая последовательность 8-функций дается, например, обобщенным рядом Фурье вида
да
5Г/2(t) = 2Г1 £ exp[(2к + 1)гюt]; ю = 2лT~l;
к = -да
соударения происходят при t0q = t0 + 0,5Tq (q = 0, ±1, ±2, ...).
В (10) также входит %(x, y; t) — симметричная периодическая функция Грина (ПФГ) линейной задачи, представимая в виде ряда
да
Х( x, У; t) = £ Xn( t) sin [(n n (x + 1 /2)] sin [(л И (y + 1 /2)].
я = 1
Здесь обозначено %„(t) — симметричные ПФГ линейных осцилляторов с собственными частотами Qn = ля/-1. При t е [0, 1/2T] указанные ПФГ даются конечными формулами [5, 7, 8]:
2Хя (t) = sin Q (t - 1/4 T) [Qocos 1/4 QT-1, (12)
причем это представление имеет место только в пределах указанного полуинтервала. Для получения полного представления необходимо продолжить функцию (12) для всех t, исходя из условий xn(t) = —%„(t + 1/27) [8].
Принимая во внимание сказанное, а также пользуясь вычислениями работы [6], получим после ряда преобразований
N
Л^х, О = £ к ^^п [ 1 /2 N 1 кп( 1 -А)] ¡т [ 1/2N *кп(х + 1 /2)]хк( г-г0),
к = 1
N
ЛkN = 4п £ (-1 / ¡Ц (У- 1 )п кМ 1.
1 = 1
Отметим, что для получения конечного выражения х^ — ?0) необходимо учесть, что представление (12) верно только при (? — ?0) е [0, 1/27]. Вне данного полуинтервала формула (12) нуждается в корректировке [5, 7, 8].
Стоячие волны Л^х, ?) удовлетворяют сформулированным условиям удара (3)—(6) [6].
Стоячие волны Л^х, ?) — жестко анизохронны. Чтобы в этом убедиться, введем параметр, однозначно связанный с полной энергией стоячей волны — полный импульс удара
N
1м = NJN £ (1+- 1 )> 0.
1 = 1
При этом считаем, что величины не фиксированы, а зависят от частоты колебаний ш. Формула (13) останется в силе, но изменятся значения определяющих ее параметров. Так как значение численно равно удвоенной скорости каждого из N ударяющихся участков струны, то посредством простых вычислений можно для всех] показать = I= N 1-4АJЛr1, и, следовательно,
JN = 4Ап 1ю, N = N 1 -яш 1, ^ = 4АП1 (ш-пN > 0, (14)
т.е. импульс прямо пропорционален частоте движения и Ж-я трапециевидная форма волны может существовать лишь справа от Ж-й формы линейных колебаний ш > пЖ. В случае нефиксированной полной энергии будем обозначать ЛЖ(/Ж; х, причем ЛЖ(4Ж; х, ?) = ЛЖ(х, ?). Заметим, что в этом случае предположение А < 1, вообще говоря, несущественно.
3. Специфические начальные условия (9) представляются весьма трудно реализуемым
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.