научная статья по теме АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ Физика

Текст научной статьи на тему «АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ»

МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 3 • 2014

УДК 533.95

© 2014 г. А. Н. ГОЛУБЯТНИКОВ, С. Д. КОВАЛЕВСКАЯ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ

В рамках автомодельной постановки проводится анализ тормозящего влияния однородного поля тяжести на ускорение плоской ударной волны вблизи внешней поверхности слоя газа, первоначально находившегося в равновесии. Проведено качественное исследование, указаны случаи наличия первых интегралов и получен ряд точных решений этой задачи при различных степенных законах изменения начальной плотности.

Ключевые слова: автомодельность, гравитационное поле, ударная волна, ускорение.

Процессы самоускорения ударных волн за счет падения начальной плотности могут иметь место как в атмосферах звезд, так и планет, подвергающихся локальному нагреву или ионизации. Известно, что, например, в тепловых пятнах в экваториальной области Солнца, которые приводят к хромосферным вспышкам, температура может достигать значений в 2 ■ 106 К, а скорость выбрасываемых частиц плазмы порядка 0.8 от скорости света [1]. Так как повышение температуры при относительно постоянном давлении ведет к падению плотности, то создаются условия к потере инерционности среды, неустойчивости и развитию динамических процессов.

Уже в рамках ньютоновской газовой динамики можно привести простейший пример задачи о поршне, начинающем двигаться с постоянной скоростью в газе без противодавления, который создает ускоряющуюся ударную волну при определенном законе падения равновесной начальной плотности [2, задача 25.37]. В более реальной ситуации необходимо учитывать эффекты влияния противодавления, электромагнитного и гравитационного полей, а также теорию относительности. Точные решения такой задачи в рамках специальной и общей теории относительности, но без противодавления, даны в [3], с противодавлением в специальной тории — анонсированы в [4], с учетом вмороженного поперечного магнитного поля и противодавления в ньютоновской механике — в [5, 6].

При этом был обнаружен эффект "обострения", когда ударная волна уходит на бесконечность за конечное время, связанный с неограниченным ростом скорости звука перед ударной волной. В рамках теории относительности состояние с бесконечной температурой вообще достигается за конечное время на конечном расстоянии от начала движения. Очевидно, что учет однородного гравитационного поля, тормозящего процесс ускорения, не устранит этих явлений, если на бесконечности имеется ненулевое магнитное поле. В данной работе специально исследуется случай наболее сильного влияния постоянного гравитационного поля, определяющего автомодельное движение газа. Ряд точных локальных решений о движении газа в заданном гравитационном поле можно найти в [7], обсуждение задачи о выходе ударной волны на поверхность тела — в [8].

1. Уравнения и граничные условия. Рассматривается одномерное адиабатическое движение с плоскими волнами идеального совершенного газа в однородном гравитационном поле, уравнения которого имеют вид

и - Рт + & = 0, р(-хт)у = /(т)

(1.1)

где х(г, т) — закон движения, t > 0 — время, т > 0 — масса слоя газа в расчете на единицу площади поперечного сечения, которая отсчитывается от края тела, где давление

р = 0, причем против направления оси x, и = х( — скорость, р = -хт1 > 0 — плотность, функция /(т) > 0 связана с распределением энтропии, g > 0 — ускорение силы тяжести, у > 1 — постоянный показатель адиабаты. Индексы ^ m означают частные производные.

Условия на поверхности разрыва t = ts(m) [2, 9] имеют форму

[x]0 = 0, [и + pt']0 = 0

2 I1

u2 pxm ,

--+ put'

2 Y-1

=0 (1.2)

0

где квадратные скобки обозначают разность величин в состоянии 1 — за ударной волной и 0 — перед ней.

Перед ударной волной предполагается равновесие газа, где p0 = gm и x0(m) — произвольная функция.

В этом случае сокращение энергетического условия (1.2) на p1 - p0 дает

(t ;)2((у- 1)Pl + (y + 1)P0) + 2xi,m = 0

Движение газа создается поршнем с фиксированной координатой m0 и заданным законом движения xp(t) = x(t, m0).

2. Режим с обострением без гравитации. Чтобы был понятен механизм явления, сначала необходимо привести решение задачи об ускорении ударной волны с противодавлением, но без учета силы тяжести [5, 6]. Пусть t0 — время начала движения поршня с постоянной скоростью и0.

Перед ударной волной в состоянии равновесия p0 = const, за ударной волной

K

p = —, K = const, x = u(x0)t

На поверхности разрыва t = ts(x0)

x0 K — p0t0У (t¡^

и = — = u0-I —

t' к — P0t' U)

1/y

Время полного разлета t* = (K/p0) '.

В окрестности x ^ да начальная плотность

0 _ (к - P0tJ) dt¡ (K nty)4 1

Р0 -----;--(K - P0t¡)--4

vt¡ dx0 x

Масса газа, расположенного на интервале x е (v0t0,<x>), конечна. По мере движения

скорость ударной волны вместе с начальной скоростью звука a0 = (yp0/р0)1/2 стремятся к бесконечности как х2, а скорость газа за ударной волной и как x. Давление выравнивается как 1/x. Работа поршня равна

KU0(t - t*-Y) y- 1

и конечна. Задача в целом не автомодельна.

Следует отметить, что данное решение есть решение уравнений (1.1)—(1.2) в свободно падающей системе отсчета, но с нестационарным состоянием перед ударной волной.

3. Автомодельные задачи. Ищется решение уравнений (1.1), инвариантное относительно одной из однопараметрических групп растяжений масштабов переменных x, t, m, оставляющих на месте величину g или x/t2. Все такие решения имеют вид

x = , Р = mq®, £ = tmа

т

Каждую группу симметрии характеризует свой параметр а ф 0.

Перед ударной волной q0 = g и x0 = A/m2a. Таким образом, начальная плотность

-1-1/(2а)

Р0 ~ x '.

Отметим, что при этом можно считать, что перед ударной волной учитывается также и теплопроводность с соответствующим постоянным коэффициентом, так как из соображений автомодельности следует, что температура T0 = p0 /(Rp0), где R — газовая постоянная, пропорциональна x, т.е. удовлетворяет уравнению Лапласа равновесной теплопроводности.

Скорость газа непосредственно за ударной волной, где Е = Еs = const, есть и1 = и '(£,s)/ma и при а < 0 будет убывать при т ^ 0. Для исследования явлений с ускорением самого газа следует ограничиться случаем a > 0. При этом плотность р0(т) будет убывать.

Чтобы перейти к безразмерным переменным, можно выбрать единицы измерения как g = 1, A = 1, m0 = 1. Тогда автомодельные уравнения будут иметь вид

и" - q - a£,q + 1 = 0, q =-(3.1)

(2и - и )Y

Функция f = BaY m2ay+y 1.

Отсюда следует уравнение второго порядка для функции и©

и„ = В(2и - (1 + ау%и') - (2и - ^и)Y+1 (32)

(2и - Ъ,и)Y+1 - ауВ2

Условия на разрыве (1.2), где ts = Е,s/ma, причем в силу роста давления qx > 1, дают

и(£ s) = 1, и1 = а\ s (q1 - 1)

qx(y + 1) + y - 1 = 4/(a^2), В = - a^2(q1 - 1))Y (3.3)

На поршне в начале его движения при t = t0

£s = t0, и1 = 1, и1 = U0 > 0, q1 = Р1 > 1 где u0 — параметр задачи. Однако проще задать Е,s < (2/(ay))1/2 и найти

2

«1 =

л

2 -ay^s > 0 (3.4)

Y +1

Затем определяются

1

91 =-г

у +1

В =

(

-Л-у +1

2 У ^ - У + 1| (ау^ +у-1/ (3.5)

аЕ, ^

(у + 1)у+1

Формулы (3.4), (3.5) показывают, что имеют место два предельных случая — слабых,

при Е,^ ^ 2/(ау), и сильных, при Е,^ ^ 0, ударных волн.

Для анализа физического смысла задачи можно вычислить, используя уравнение (3.2), ускорение газа за ударной волной и "(Е,5), совпадающее с ускорением поршня в начальный момент, которое остается в силу специфической автомодельности задачи всегда постоянным. В результате имеем

,) = -г^-2 (2(1 + У(2« -1)) - аУ^2(2 + а(у -1))) (3.6)

а^ (У-1)

2

Формула (3.6) показывает, что даже при условии Е,^ < 2/(ау) ускорение частиц газа после перехода ударной волны может быть и отрицательным. Желательно рассмотреть процесс с положительным ускорением. Это приводит к необходимому условию а > (у -1) / (2у). Следовательно, начальная плотность р0(х) при х ^ да в автомодель-

г - 1-У/(У-1)

ной постановке должна убывать медленнее, чем х .

С другой стороны, правая часть неравенства

^2 < 2(1 + у(2а - 1)) ау(2 + а(у -1))

достигает максимума, равного 2/(ау) как раз при а = 1. Таким образом, случай а = 1 является особым и должен рассматриваться отдельно. Оказывается, в этом случае существует полное решение уравнений (см. разд. 5). 4. Качественное исследование. Замены

* = и + ^ = (ВЕ, 2)1/(1+у) ^ у(п), п = 1п Е 2 2у

= У£ (4.1)

2у ап

приводят к уравнению первого порядка для г(у)

йг = (3у(у + 1)г - (у + 1)2у)гУ+1 + у(1 + у(1 - 2а) )г (42)

ау 2у2 (г - у) (гУ+1 -ау) .

Формулы (4.1) сразу показывают, что величины у, z — положительны, причем, если необходимо получить разлет газа с положительным ускорением, то должна существо-

г2у/(у+1) ¡- .

вать асимптотика решения с у ~ с при с ^ да и г ^ 0.

Начальные условия у5, для решения уравнения (4.2) определяются формулами

гу+1 = 2 + а(у-1 + ауЕ,2) у± = у(2 + 52) (4 3)

' 4 - а(у -1)52 ' г, 2(у -1 + ау52) .

2

при 0 < Е, < 2/(ау) как параметре.

Исключая £, можно получить кривую начальных данных

У, =-^((2 + а(у - 1))г + а(у(2а -1) + 1)г~у)

а(у +1)2

которая при а > (у- 1)/(2у), т.е. при положительном начальном ускорении поршня (разд. 3), на плоскости (у, г) выпукла влево.

Качественная картина поведения интегральных кривых может быть определена уже расположением изоклин с бесконечным и нулевым тангенсом угла наклона касательных к решению. С бесконечным наклоном — прямая г = у, которая не достижима в

силу формул (4.1) при конечном значении £, и прямая г = (ау)1'(у+1), на которой бесконечно ускорение. С нулевым наклоном — прямая г = 0, которая является формальным решением уравнения (4.2), так как она соответствует бесконечной плотности газа, и кривая

Уо = -^(У(У + 3) г + у(1 + у(1 - 2 а)) г "у) (4.4)

(у +1)2

с коэффициентом при z, большим единицы.

В полосе 0 < г < (ау)1/(у+1) справа от кривой (4.4) наклон касательных отрицательный, наклоны во всех других секторах легко определить путем последовательных простых изменений знака. Кривая (4.4) может быть трех типов. При а < (у + 1)/(2у) она,

пересекая прямую г = (ау)1'(у+1), уходит вправо, при а = (у + 1) / (2у) становится прямой, приходящей в точку (0, 0), а при а > (у + 1) / (2у) уходит в

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком