научная статья по теме АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ О СЖАТИИ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА И ЕГО РАЗЛЕТЕ ИЗ ТОЧКИ Математика

Текст научной статьи на тему «АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ О СЖАТИИ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА И ЕГО РАЗЛЕТЕ ИЗ ТОЧКИ»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 79. Вып. 3, 2015

УДК 532.5:533.6.011.5

© 2015 г. Х.Ф. Валиев, А.Н. Крайко

АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ О СЖАТИИ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА И ЕГО РАЗЛЕТЕ ИЗ ТОЧКИ

Рассмотрены автомодельные решения, описывающие одномерные нестационарные течения идеального (невязкого и нетеплопроводного) совершенного газа. Если в известной задаче изэнтропического сжатия газа к плоскости, оси или центру симметрии (далее, к центру симметрии — ЦС) с показателем автомодельности единица результат сжатия — однородный поток, движущийся к ЦС, то затем возникает известная задача о торможении такого потока непрерывной центрированной волной и примыкающей к ней ударной волной (в плоском случае — одной ударной волной). За ударной волной, идущей от ЦС, газ покоится. Изменение знаков времени и скорости в решениях, описывающих изэнтропическое конечное сжатие газа, дает представление об эволюции течения при однородном разлете газа от ЦС. Другие известные автомодельные решения с показателем автомо-дельности единица дают неограниченное изэнтропическое сжатие конечной массы газа к ЦС ("сжатие в точку"). При таком сжатии плотность, давление, внутренняя энергия и скорость сжатого газа бесконечны, а энтропия конечна. Энтропия конечна и после остановки газа ударной волной, идущей от ЦС. Решена новая автомодельная задача о "разлете из точки" (плоскости или ЦС) конечной массы "горячего" газа с бесконечной начальной энергией, нулевой скоростью и конечной энтропией. В новых решениях (с зоной пустоты и без нее в окрестности ЦС) в силу "интеграла масс" (его роль аналогична роли интеграла энергии в задаче о сильном взрыве) все траектории частиц горячего газа — линии постоянства автомодельной переменной с найденным из анализа размерностей показателем автомодельности. Обсуждаются влияние на найденные решения конечной начальной плотности холодного газа, окружающего сжатый газ, возникающее при этом локально автомодельное решение и подчас парадоксальные особенности автомодельных решений при разлете в пустоту.

В рассматриваемых далее автомодельных решениях показатель автомодельности либо равен единице, либо согласно Л.И. Седову [1] определяется из анализа размерностей. При этом по-настоящему новой представляется задача о разлете конечной массы газа, предварительно сжатого в точку и имеющего в результате такого сжатия бесконечные плотность, давление и внутреннюю энергию, конечную энтропию и нулевую скорость. В известных решениях [2, 3] об изэнтропическом сжатии конечной массы газа в точку все параметры сжатого газа за исключением энтропии бесконечны, в том числе, направленная к ЦС скорость. Останавливает газ ударная волна (8^, идущая от ЦС. Несмотря на бесконечную скорость, интенсивность этой SW конечна из-за бесконечной скорости звука перед ней. Конечно и приращение энтропии сжатого газа, остановленного такой SW. Анализ в плоскости "автомодельных" скоростей газа и звука, выполненный для объяснения столь необычных свойств "течения в точке", привел к более полному представлению и о конечном сжатии с идущей от ЦС.

При этом оказалось целесообразным рассмотрение и плоских вариантов исследуемых течений. Решения двух автомодельных задач с разными показателями автомодельно-сти (о разлете газа из точки и о сильном точечном взрыве [1]) могут дать более полное представление о сильном взрыве с конечными начальными энергией и массой.

Ниже сначала рассмотрены простейшие плоские задачи, затем конечное и бесконечное сжатия конечной массы газа и, наконец, — задача о разлете из точки конечной массы горячего газа с нулевой начальной скоростью, конечной энтропией и бесконечными прочими начальными параметрами, включая энергию.

1. Однородные сжатие газа к плоскости симметрии и разлет от нее. Пусть t — время, начало отсчета которого определено в каждой задаче, х — расстояние от плоскости, оси или центра симметрии (ниже в последних двух случаях — от ЦС), u — единственная компонента скорости газа, р и p — его плотность и давление, а — скорость звука, М = \u\/a — число Маха, V = 1, 2 и 3 в плоском, цилиндрическом и сферическом случаях. Тогда рассматриваемые далее одномерные нестационарные изэнтропические течения совершенного газа с отношением удельных теплоемкостей у и с постоянной величиной "энтропийной функции" 5 = а2/ру -1 описываются уравнениями [4—7]

2 йа ди V -1 п йи 2а да п а2 ,Л 1Ч

--+ а — +-аи = 0, — +--= 0, - = (1.1)

у - 1 dt дх х й у - 1 дх рУ-1

При V = 1 дифференциальные уравнения (1.1) сводятся к условиям сохранения инвариантов I+ и I соответственно на С+- и С--характеристиках:

+ (и ± а)д1± = 0, I- = и ± (1.2)

д! ^ у-1

Если в момент времени t = 0 полуограниченный (0 < х < да) однородный поток направлен к плоскости симметрии (и0 < 0), то известное решение, определяющее течение при тех же х и t > 0, элементарно. В начале координат х = t = 0 возникает которая, двигаясь против однородного потока с постоянной скоростью В, останавливает его. Можно показать, что скорость SW — больший корень квадратного уравнения (в плоском случае и = и0 < 0 и а = а0):

г>2 3 - у у - 12 2 „ п 3 - у I 2 , (у + 1)2 2 . л ,ч

и--Пи-1-и - а = 0 ^ Б =-'-и + * а + —-— и (1.3)

2 2 4 V 16

При V = 2 и 3 газ после непрерывного торможения в центрированной волне сжатия с параметрами, постоянными на лучах 0 < т = а01/х < а0/В, как и при V = 1, останавливается SW [1]. Ее постоянная скорость В — по-прежнему корень (1.3). Отличие в том, что при V = 2 и 3 не равные и0 и а0 значения и и а заранее неизвестны и находятся в процессе решения.

Схемы разных нестационарных течений, реализующихся в также известной задаче об однородном разлете газа от плоскости симметрии (и0 > 0), представлены на фиг. 1. В центрированных волнах разрежения (ЦВР) из С+-характеристик, возникающих в таких течениях, сохраняется инвариант I . Поэтому согласно последнему равенству (1.2) на левой границе ЦВР — замыкающей ее С+-характеристике имеем (параметры на ней без индексов)

I" = и —— = а0(М0 - Мт), Мт = — у - 1 у -1

Отсюда видно, что при V = 1 тип течения определяется числом Маха М0.

Если (фиг. 1, а) М0 < Mm, то к плоскости симметрии примыкает растущая пропорционально t зона неподвижного газа. Уравнение C+ -характеристики — правой границы ЦВР: a0t/x = const. Масштабы х и t выберем так, чтобы const = 1 при М0 = 0. С ростом М0 размер зоны неподвижного газа и плотность в ней уменьшаются. При М0 = Mm эта зона сжимается до оси t, плотность р в ней уменьшается до нуля (фиг. 1, б), а правая граница ЦВР становится лучом

a0t/x = 8 = (у - 1)/(у + 1)

При М0 > Mm конечная зона пустоты растет пропорционально t. Ее правая граница (фиг. 1, в) — левая граница ЦВР — одновременно С+-характеристика и траектория частиц ("С0-характеристика"):

— = M0 - Mm, M0 > Mm a0t

При этом правая граница ЦВР — прямая a0t/x = const < 8

Плоская центрированная волна сжатия (ЦВС) с фокусом в начале координат плоскости xt примыкает к однородному неподвижному газу по C— -характеристике (фиг. 2, а).

Взяв за масштабы скорости и плотности скорость звука и плотность неподвижного газа, получим

а0 = Р0 = ^0 = 1 u0 = 0 Выбором же масштабов х и t уравнение граничной C— -характеристики запишем в форме a0t/x = —1

В ЦВС постоянен инвариант I+. Поэтому на ее прямолинейных С—-характеристиках все параметры — функции числа Маха М = jul/а = —u/а. В частности,

a= Mm , «= MMm , 0<M< Mm Mm - M M - Mm

Фиг. 2

т.е. а и \и\, а с ними давлениер = ра2/у и плотность р, связанные с а2 интегралом энтропии (последнее равенство (1.1)) при М ^ Мт растут неограниченно. В пределе ^-характеристика ЦВС направлена по оси х, а траектории частиц, любую из которых можно принять за поршень, сжимающий конечную массу газа т, приходят в начало координат. Траектория поршня, сжимающего газ, определяется формулами

(Мт - М)1/е (Мт - М)2/(у-1) л ^ ^ Л^ л>гт г = -т---г—, х = т--г-7—— (1 + М), 0 < М < М (1.4)

(Мт) (Мт)2/(у-1) ^ ()

с числом Маха М в качестве параметра.

Если вместо сжатия до достижения значения М = Мт ограничиться сжатием до Мд = Мт — А со значением А е (0, Мт], а затем до ^ = 0 сохранить постоянные параметры, то возникнет рассмотренная выше задача отражения однородного потока от плоскости симметрии. В этой задаче поток останавливает идущая от плоскости симметрии. При А ^ 0 скорость SW Вд ^ го, однако ее число Маха из-за неограниченно растущей скорости звука ад перед ней конечно. Конечно и приращение энтропийной функции 5 = а2/ру - 1. Так, при у = 7/5 ее величина от 50 = 1 в пределе А = 0 возрастает до 5 « 4.27. Отвечающие А = 0 предельные величины за SW дают значения параметров сжатой в точку и остановленной SW конечной массы газа т. С ростом А число Маха однородного при ^ = 0 потока, направленного к плоскости симметрии, и скорость В останавливающей его SW уменьшаются.

Изменение знаков ^ и и в решении, которое при ^ < 0 и А > 0 давало изэнтропическое сжатие газа, описывает однородный разлет газа от плоскости симметрии (фиг. 2, б), с ЦВР (0 < а^/х < 1) и с зоной неподвижного газа (1 < а^/х < го), примыкающей к оси В ЦВР из прямолинейных С+-харакгеристик газ, сжатый до достижения значений р0 < го и а0 < го и движущийся от оси ^ с и0 е (0, го] и М0 е (0, Мт] (правые значения при А = 0), расширяется и тормозится до достижения значений р = а = 1 и и = 0. Если затем за масштабы плотности и скорости взять плотность и скорость звука сжатого при 0 < А < Мт газа, то в пределе А = 0 придем к фиг. 2, в, совпадающей с фиг. 1, б. На ней газ в ЦВР из С+-характеристик (г < а1/х < го) расширяется и останавливается от р0 = а0 = 1 и и0 = М0 =

= Мт на правой С+-характеристике ЦВР: а^/х = г до достижения значений р = а = и = 0 на оси Если же 0 < А < Мт, то вместо фиг. 2, в придем к фиг. 1, а с зоной неподвижного газа, примыкающей к оси

Фиг. 3

В противоположность фиг. 2 с М < Мт на фиг. 3 величина Мт — не максимальное, а минимальное значение числа Маха. На фиг. 3, а ЦВС граничит с пустотой по приходящей в начало координат траектории частиц (C 0 -характеристике, совпадающей с С--характеристикой), имеющих постоянную скорость u0 < 0. Масштабы времени и длины выберем так, чтобы уравнение

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»