АВТОМОДЕЛЬНЫЙ ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ С ГРАДИЕНТОМ ДАВЛЕНИЯ. ЧЕТЫРЕ РЕЖИМА ТЕЧЕНИЯ
И. И. Вигдорович*
Институт механики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова
119192. Москва, Россия
Поступила в редакцию 7 апреля 2014 г.
Исследованы автомодельные течения несжимаемой жидкости в турбулентном пограничном слое, когда скорость набегающего потока задана как степенная (с показателем т) функция продольной координаты. Показано, что существуют четыре различных автомодельных режима течения. Каждому режиму отвечает свой параметр подобия, одним из которых является известный параметр Клаузера, а три других установлены впервые. При неблагоприятном градиенте давления, когда показатель степени т лежит в некотором диапазоне, зависящем от числа Рейнольдса, задача имеет два решения с разными значениями толщины пограничного слоя и трения на стенке, что указывает на возможность гистерезиса в предот-рывном течении. Отрыв наступает не при минимальном значении т, которое соответствует наиболее сильному неблагоприятному градиенту давления, а при т = —0.216 — 0.4 Иер1''3 Ч-О^вр2''3), где (?ер — число Рейнольдса, образованное по продольному градиенту давления. Результаты теории находятся в хорошем соответствии с экспериментальными данными.
001: 10.7868/80044451014110170 1. ВВЕДЕНИЕ
Автомодельное течение в турбулентном пограничном слое, когда профили усредненных параметров потока в различных поперечных сечениях подобны, возникает при степенной зависимости скорости на внешней границе слоя от продольной координаты (см., например, [1]):
п, (.г) Иг'".
(1.1)
где В некоторая размерная постоянная. Клау-зер [2, 3] для таких течений ввел параметр подобия
3 =
2 ¿4 '7"'
(1.2)
где и(: производная скорости по продольной координате, с/ коэффициент трепня на стенке, 6* толщина вытеснения. Позднее из интеграла импульса была получена связь между показателем степени т и параметром Клаузера [4]:
т =
3
1 + 23'
(1.3)
Е-таП: ¥1^ого¥1сЬй1тес .msu.ru
которая, однако, при неблагоприятном (положительном ) градиенте давления плохо подтверждается экспериментальными данными. Вообще, несмотря на многолетнюю историю исследования (первая работа Клаузера вышла в 1954 г.), многие основные свойства этого автомодельного течения остаются неясными. На основании работ [1, 5] часть авторов, например, считает, что толщина слоя должна расти линейно, а коэффициент трения на стенке быть постоянным, хотя эти условия не выполняются для простейшего автомодельного течения при нулевом градиенте давления. Другой важный невыясненный вопрос касается области существования (например, в переменных гп число Рейнольдса) и единственности автомодельных решений, а также значения гп, при котором происходит отрыв. Имеющиеся по этим вопросам мнения собраны в работе [6] и допускают существование только одного [7, 8], двух [1, 9] или, как в ламинарном случае, континуума автомодельных решений [6,10] при неблагоприятном градиенте давления в некотором диапазоне значений показателя степени т. Некоторую ясность в этот вопрос внесла работа [11], в которой теоретически на основе асимптотического анализа показано, что при достаточно сильном неблагоприятном градиенте давления задача имеет два решения.
Оказывается, что существуют четыре качественно различных автомодельных режима течения. Цель настоящей работы дать их полное описание в терминах законов подобия для основных гидродинамических величин: усредненной скорости, компонент тензора Рейнольдса, интегральных параметров и трения на стенке. В работе [12] сформулированы условия замыкания уравнений движения в виде функциональных связей между компонентами тензора Рейнольдса и поперечным градиентом усредненной скорости, которые являются следствием того факта, что рассматриваемое турбулентное течение в целом зависит только от трех определяющих параметров входящих в соотношение (1.1) величин В и гп и кинематической вязкости жидкости V. Идея существования таких связей в случае, когда задача зависит от конечного числа определяющих параметров, впервые была сформулирована в работе [13] и затем использовалась в ряде работ, см., например, [14 16]. Уравнения пограничного слоя вместе с условиями замыкания дают поставленную краевую задачу для поля усредненной скорости, которая после специальной замены переменных [17] решается методом сращиваемых асимптотических разложений при больших значениях логарифма числа Рейнольдса, образованного по толщине пограничного слоя.
Для случая благоприятного и умеренного неблагоприятного градиента давления (первый режим течения) решение получено в работе [12] и кратко изложено в разд. 4. Искомые величины в переменных подобия зависят от одного связанного с градиентом давления безразмерного параметра 7, который может изменяться в диапазоне — 1/2 < 7 ^ ос. При 7 —1/2 решение имеет особенность, в соответствии с которой относительная толщина пограничного слоя стремится к бесконечности, но трение на стенке в нуль не обращается. Из этого можно заключить, что особое поведение решения не связано с отрывом пограничного слоя.
Причина возникновения такой неожиданной ситуации исследуется в разд. 5, где рассматривается течение с сильным неблагоприятным градиентом давления (второй характерный режим), когда параметр 7 близок к —1/2. В этом случае течение определяется новым параметром подобия и). Относительная толщина пограничного слоя, 7 и гп немонотонно зависят от и\ что говорит о наличии у автомодельной задачи ровно двух решений в определенном диапазоне параметров. При этом режиме течения коэффициент трения на стенке также не обращается в
нуль, поскольку в главном члене разложения вообще не зависит от градиента давления (параметра и?).
Ситуация, когда продольный градиент давления влияет на трение в главном члене разложения, возникает при третьем, предотрывном, режиме течения (разд. 6). Переход к нему осуществляется при 10 У ос на второй ветви решения. Это означает, что для того чтобы получить предотрывный режим путем непрерывного изменения показателя степени гп (начиная, например с т = 0), нужно сначала уменьшать гп до некоторой минимальной величины (которая вычислена в разд. 5), а затем, когда решение перешло на вторую ветвь, увеличивать гп, т.е. снижать продольный градиент давления, делая его более благоприятным. Предотрывный режим течения имеет свой параметр подобия П. В разд. 6 вычислены предельные значения П* и т», при которых трение па стенке обращается в нуль в главном члене разложения.
Последний, четвертый режим течения, при котором наступает отрыв потока, рассматривается в разд. 7. При первом, втором и третьем характерных режимах продольный градиент давления не изменяет представленный в переменных подобия профиль скорости в пристеночной области, который, таким образом, является профилем скорости при нулевом градиенте давления. При сильном уменьшении трения на стенке происходит перестройка течения в пристеночной области, так что влияние продольного градиента становится существенным. Однако полученное условие замыкания [12] вместе с уравнением сохранения импульса позволяют рассчитать профиль скорости в пристеночной области пограничного слоя, находящегося в состоянии отрыва, с помощью известного профиля скорости для пограничного слоя при нулевом градиенте давления. (Заметим, что для вычисления профилей скорости во внешней области пограничного слоя и других параметров мы используем простую приближенную модель [12], наиболее адекватную для рассматриваемого автомодельного течения.)
Раздел 8 посвящен закону трения, который формулируется в виде зависимости числа Рейнольдса, образованного по толщине вытеснения пограничного слоя, от коэффициента трения и трех параметров подобия 3, П и т (последний является параметром подобия для четвертого режима). В формулу входят три универсальные функции этих параметров, каждая из которых вычислена из решения, полученного для соответствующего режима течения.
Рис. 1. Пограничный слой на пластине при степенной зависимости скорости от продольной координаты. Показаны линии тока потенциального течения и внешняя граница пограничного слоя
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим обтекание бесконечным потоком несжимаемой жидкости угла, образованного двумя пересекающимися плоскостями. Пусть одна из плоскостей является поверхностью тока иевязкого течения, а на второй, как показано на рис. 1, в результате выполнения условия прилипания образуется турбулентный пограничный слой. Тогда распределение скорости на его внешней границе, если пренебречь эффектом вытеснения, будет задано уравнением (1.1), в котором показатель степени связан с углом между плоскостями ттО равенством
0
тп =
1 -Г
4 < е < 1.
2.1. Условия замыкания
Таким образом, величины В и тп полностью задают потенциальное обтекание угла, а для определения турбулентного течения в пограничном слое необходимо дополнительно задать только кинематическую вязкость жидкости V. Поэтому любая усредненная характеристика рассматриваемого течения, в частности, турбулентное касательное напряжение и поперечный градиент усредненной продольной компоненты скорости являются функциями декартовых координат х, у и величин В, тп и ь>:
{« V) = (х, у.р.В, т),
да.
— = Р-2(х, у, V, В, гп).
(2.1)
(2.2)
Введем в рассмотрение толщину пограничного слоя Л /••,(>•./.'./.?./») (2.3)
как некоторую величину, характеризующую поперечный масштаб турбулентного течения. Например, как это обычно делается на практике, толщиной пограничного слоя можно считать расстояние до стенки, на котором усредненная скорость на 1 % отличается от ис. Разрешая уравнения (2.2), (2.3) относительно величин х и В и подставляя их в (2.1), получим соотношение
{и'V) = [ Д. у. и. . тп ду
из которого после применения П-теоремы следует равенство
(и V ) =
и%) 5(колм")-
Е° у ду'
V
(2.4)
Здесь 5 непрерывная функция трех переменных.
Вблизи стенки, в вязком подслое переменную в формуле (2.4) можно положить равной нулю. В этой области продольный градиент давления не оказывает влияния на течение, если только трение на стенке не очень мало. Это означает, что при всех положительных т
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.