ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
< 5, 2008
УДК 534.1
© 2008 г. Герц М.Е., Герц М.М. АВТОРЕЗОНАНСНЫЕ РЕЖИМЫ ВИБРОТРАНСПОРТИРОВАНИЯ1
Выполнен динамический анализ схемы авторезонансной машины с электродинамическим вибровозбудителем для вибротранспортирования по плоскости, представленной системой с переменной структурой. Методом осреднения в первом приближении получены аналитические выражения параметров колебаний в переходных и стационарных режимах, исследована устойчивость последних. Выявлены причины появления обнаруженного ранее экспериментального эффекта. Энергия, накопленная на частотах, где она близка к максимально возможной, используется для выхода на частоты жестких режимов вынужденных колебаний. Адаптивные свойства машины по поддержанию максимальной скорости вибротранспортирования при изменении параметров позволяют рекомендовать предложенную схему возбуждения автоколебаний для устройств дозирования сыпучих материалов, в ультразвуковых технологических системах с кавитацией и для диагностики.
Эффективным путем при создании экономичных вибромашин, обладающих малыми материалоемкостью и мощностью двигателя, является использование резонанса. Уменьшение силы возбуждения приводит к большему проявлению нелинейных эффектов, некоторые из которых можно положить в основу проектирования.
Одной из причин постановки задачи послужил обнаруженный эффект при экспериментах по вибротранспортированию сухого песка по стальному лотку 1 резонансной машины рис. 1. Тоненькая струйка песка при вынужденных колебаниях после переключения в режим автоколебаний превратилась в мощный поток, т.е. расход и скорость вибротранспортирования возросли более чем на порядок. Варьирование частотами в обоих случаях показало, что эти характеристики близки к максимально достижимым. Автоколебания возбуждались на частоте, где при вынужденным колебаниях виброперемещения вообще не было. Причем "затягивание" как из высших, так и из низших частот не приводило к возбуждению этого высокопроизводительного режима при вынужденных колебаниях.
Этот эффект не согласуется с теоретическими и экспериментальным результатами для резонансных машин с похожими обратными связями [1-3]. В них зависимость амплитуды от частоты при вынужденных колебаниях совпадала с аналогичной зависимостью для автоколебаний при изменении параметра обратной связи. Эффект выявляется даже в более простой модели, чем сыпучая среда.
1. В динамической модели машины (рис. 1) лоток 1 массы M расположен под углом а к горизонту и связан с основанием пружинами общей жесткостью K с коэффициентом сопротивления R. Масса M включает также массу катушки и обмотки с сопротивлением R электродинамического вибровозбудителя 2. Напряжение E на обмотке формируется на выходе обратной связи по координате x лотка. Максимальная сила трения меж-
1 Работа выполнена при поддержке РФФИ (Проект 05-08-50183).
Рис. 1
ду точечной массой m и лотком определяется произведением mg cos а, где f - коэффициент кулонова трения.
Уравнение движения масс авторезонансной машины при отсутствии остановок в относительных x - y и абсолютных x, y координатах имеют вид
2
x + ю0 x = e[D sgnu + sf( cos а) sgn (y - X)-2bx], Qu + u = QX - x, y = eg [ sin а - f( cos а) sgn(y - x)], max| x'| > g (f cos а -sin а), f cos a>sin а,
2 2
где ю0 = K/M, 2b = (Я + BR)/MR, s = mg/M, D = E0H/MR; x, y - соответственно координаты масс M и m (рис. 1); e > 0 - малый параметр; H - коэффициент электромеханической связи; E = E0sgnu - напряжение на обмотке вибровозбудителя в функции переменной u; E0 = const > 0, Q = const > 0.
Первые два уравнения в (1) с точностью до e справедливы при малой индуктивности обмотки или использовании "статических" характеристик вибровозбудителей других типов при замене коэффициентов H, R, E0 [3]. Второе уравнение относится к линейной части обратной связи, формирующей переменную u в функции координаты x, например с помощью фазовращателя - электрического моста с попарно равными величинами сопротивлений R1 и емкостей C, Q = R1C.
Первое неравенство (1) является необходимым условием неустойчивости режима с совместным (без проскальзывания) движением масс. Второе неравенство соответствует условию равновесия массы m на неподвижном лотке. Малость членов первого уравнения определяется условием эффективности использования резонанса для получения максимальных амплитуд колебаний [4]. Стремление к уменьшению материалоемкости машины приводит к соизмеримости масс m ~ M, что по первому уравнению приводит к малому параметру во втором.
Предложенная модель (рис. 1) относится к синхронным авторезонансным машинам [5], в которых частота сигнала на входе вибровозбудителя E в первом приближении равна частоте автоколебаний. Вынужденные колебания машины (1) без обратной связи рассматривались в [6].
После стандартной замены переменных
x = A cos у, x = - ю0 A sin у, y = ю01 + ф, (2)
используем метод [7] осреднения для систем с быстрыми u, t и медленными y, A, ф переменными. В этом случае перед осреднением по времени t в первое уравнение (1) доста-
22
точно подставить стационарное значение u = u* = A cos(y + y), sin у = 2ra0Q/( ю0 Q + 1),
2 2 2 2
cos у = (ю0 Q - 1)( ю0 Q + 1) из второго уравнения (1) с учетом (2) [3]. Здесь y имеет смысл фазы обратной связи.
После осреднения (1) получаем уравнения первого приближения A = ею-1{ 2п-1 D siny - ю0ЪA-2sfn-1 (cos a) cos [ arcsin (y/a0A)]},
ф = -2eD(nra0 A )-1cos y, y = e g [ sin a -2fn-1 (cos a) arcsin (y/ra0A)], (3)
ю0 A > y, A > 0.
Из уравнений (3) при A = 0, y = 0, у * = ю0 + ф * после преобразований находим параметры стационарных режимов
A* = 2(ю0пЪ) 1
D sin у - sf (cos a) cos [ nf-j
(4)
ю = у * =
= ю0 - 2 e D(nra0 A*) 1cos y , V = y* = ю0 A *sin {nf-),
где ю - частота автоколебаний; V - скорость вибротранспортирования.
Первое неравенство в (1) для стационарных режимов (4), где у* = -ф* ,
x = -ra2A*cos(o)í - ф* ), имеет вид
-2
A * > gra (f cos a -sin a) (5)
Параметры автоколебаний A*, ю при различных значениях Q из (4) после исключения y получаем
-bF + Jl6D2[^0 - ю)2 + Ъ] - F2[ 16(ю0 - ю)2 + 15Ъ] A * = -
22
2пю0[(ю0 - ю) + Ъ ]
(6)
F = fmgM *(cos a) cos {nf
Отсюда следует, что вибротранспортирование V Ф 0 возможно только при превышении амплитуды напряжения E0 определенного порога E0 > mg/RH~1(cosa)cos(п tg a/2/), пря-мопропорционального коэффициенту трения / Это характерно для систем с кулоновым трением.
Оказывается, что выражение (6) совпадает с амплитудно-частотной характеристикой машины (рис. 1) при вынужденных колебаниях E = E:cos rat, E1 = 4E0/n из работы [6]. При этом параметр y равен фазе вынужденных колебаний. Из (4) следует, что максимальная скорость вибротранспортирования достигается при частоте автоколебаний
равной собственной частоте лотка ra = ra0, cosy = 0, y = я/2, Q = ra^ .
Для исследования устойчивости стационарных режимов (4) получаем уравнения в вариациях 5 из первого и третьего уравнений (3) при
А = А * + 5A, y = y* + 5y,
-1 -1 -2 2 -3 -1
5 А = - era0 {[ bra0 + 2 п ra0 s/y* A* 3cos a cos (п tg a /2 / )]5A -
1 2 2 1 (7)
- [ 2п co0 s/y * A* cosa cos (n tg a/2/)]5y }, 5y' = e( y* A*-15A - 5})) 4gnf1 ra-1 A *-1cos a cos (n tg a/2/).
А
А2 А,
ю„
ю„
ю
Рис. 2
ю„
ю„
ю
Необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости получаем из характеристического уравнения системы (7) + В{к + B2 = 0 с учетом (4) по критерию Ра-усса-Гурвица
B1 > 0, B2 > 0, B1 = -Ьп- Ь22, B2
Ьп = - Ью0 - 2 п 1 ю02 })*2 А *3 Т,
22
Ь11Ь22 - Ь12Ь21 ,
-4 МТ/п/шА*,
Ь12 = 2 у* Т / пю0 А*2, Ь21 = 4у* МТ/п/шА*2.
Эти условия после преобразований сводятся к неравенству соз( п tg а/2 /) > 0, которое выполняется по условиям существования решений (4), (6), причем каждое значение параметра Q однозначно определяет частоту и амплитуду автоколебаний. Поэтому объяснение экспериментального эффекта будем искать при исследовании переходных процессов.
2. Сначала в первом приближении определим условия самовозбуждения автоколебаний. Вблизи положения равновесия динамической моделью машины является линейный осциллятор массы ш + М с коэффициентом демпфирования Ь1 = (Н + ЯВ)/2Я(ш + М) и обратной связью. Амплитуду автоколебаний находим после интегрирования первого уравнения (3) при ^ = 0, замене М на величину ш + М и начальным условием А(0) = А0
А1 = (Ао- А*) ехр (-Ь1г) + А*,
-и -1
(8)
А* = 2п ю01 Ьх у 1 = 8НйЕ{)(ш + М)/п(Н + ЯВ)(ш + М + К^),
где А 1* - стационарное значение.
Из (8) следует, что амплитуда стремится к стационарному значению из любых начальных условий, в том числе из нулевых А0 = 0, т.е. условия самовозбуждения выполняются.
Переходной процесс до установления режима вибротранспортирования состоит из двух этапов. Вначале, до выполнения условия проскальзывания масс (5), амплитуда определяется по выражению (8).
Если условие (5) не выполняется, то вибротранспортирования не происходят и только за один этап устанавливается стационарный режим с параметрами (4), (6) при замене в них М на ш + М и ^ = 0, Т = 0, V = 0. В [3] показано, что этот режим устойчив. Зависимость амплитуды от частоты автоколе баний совпадает с амплитудно -частотной характеристикой линейного осциллятора при вынужденных колебаниях и показана кривой 1 на рис. 2, а. Граница (5) показана линией 2. Нереализуемый участок кривой 1 с амплитудами, отвечающими (5), показан штрихами. Значения параметра 2, соответствующие
этому участку, определяют частотный диапазон самовозбуждающихся режимов вибротранспортирования.
На втором этапе система приобретает еще одну степень свободы и ее переходной процесс описывается уравнениями (3) с начальными условиями конца предыдущего этапа. Таким образом, авторезонансная машина рассматривается как система с переменной структурой. При этом не используются уравнения для систем с переменной массой, так как относительная скорость масс M и m в момент разделения равна нулю.
Для важного практического случая ЮцЛ* > y, arcsin(у/ю0A) = y (ЮцЛ)-1 + е... после интегрирования (3) получаем
A = (A01 - A *) exp (-bt) + A*, (9)
где Aq1 - амплитуда на границе (5); A*, ю - определяются
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.