КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2014, том 52, № 6, с. 476-488
УДК 521.31
БАЛЛИСТИЧЕСКОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТРАЕКТОРИЙ ПЕРЕЛЕТА С ОРБИТЫ ИСКУССТВЕННОГО СПУТНИКА ЗЕМЛИ НА ГАЛО-ОРБИТУ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ Ь2 СИСТЕМЫ СОЛНЦЕ-ЗЕМЛЯ
© 2014 г. И. С. Ильин1, Г. С. Заславский1, С. М. Лавренов2, В. В. Сазонов1, В. А. Степаньянц1,
А. Г. Тучин1, Д. А. Тучин1, В. С. Ярошевский1
Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, г. Москва 2Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Москва
is.ilin@physics.msu.ru Поступила в редакцию 26.03.2013 г.
В работе рассмотрено баллистическое проектирование перелета КА в окрестность точки Ь2 и последующий выход КА на гало-орбиту. Изложен метод расчета траекторий одноимпульсных перелетов Земля—гало-орбита с использованием и без использования лунного гравитационного маневра. При расчете одноимпульсных траекторий перелетов Земля—гало-орбита применяется алгоритм построения начальных приближений. Указанные приближения строятся путем расчета и анализа изолиний функции от двух переменных. В качестве такой функции рассматривается высота перицентра отлетной орбиты над поверхностью Земли. Аргументами функции являются специальные параметры, характеризующие гало-орбиту. Указанный алгоритм позволяет получить гало-орбиты с заданными геометрическими характеристиками как в плоскости эклиптики, так и в плоскости, ей ортогональной. Получены оценки затрат характеристической скорости на поддержание КА на выбранной гало-орбите. Описанная методика была использована для поиска рабочих орбит КА Спектр-РГ и Миллиметрон. Приведены примеры полученных орбит.
БО1: 10.7868/80023420614060028
ВВЕДЕНИЕ
Гало-орбиты — семейство условно-периодических пространственных орбит в окрестности кол-линеарных точек либрации Ь2, Ь3, являющихся решениями круговой ограниченной задачи трех тел [1, 2]. Космический аппарат, находящийся на гало-орбите, не совершает орбитального движения вокруг точки либрации в общепринятом понимании, но движется по замкнутой периодической траектории, не покидающей окрестности точки либрации.
Работа посвящена описанию алгоритма построения траекторий перелета космического аппарата с низкой околокруговой орбиты на гало-орбиту с заданными параметрами около точки Ь2 системы Солнце—Земля. Рассмотрены прямые перелеты и перелеты с использованием гравитационного маневра у Луны.
Гало-орбита задается четырьмя параметрами: А — удаление КА от точки Ь2 в плоскости эклиптики, В — удаление КА от точки Ь2 в плоскости, ортогональной эклиптике, ф1 — фаза колебательного движения КА в проекции на плоскость эклиптики, ф2 — фаза колебательного движения КА в проекции на плоскость, ортогональную эклиптике.
Пример траектории перелета и полета по гало-орбите показан на рис. 1. На этом рисунке представлена проекция траектории на плоскость ОХУ вращающейся СК с началом в точке Ь2. Ось ОХ направлена от точки Ь2 к Земле. Ось OZ ортогональна
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
2 0 2 4 6 8 10 12 14 16
Рис. 1. Перелет без использования гравитационного маневра у Луны: траектория перелета и проекция гало-орбиты вокруг точки Ь2 на плоскость ОХУ вращающейся СК.
плоскости эклиптики. Ось ОУ дополняет систему до правой. Цифры, указанные вдоль кривой, — сутки полета. Примерно через 20 суток полета КА выходит из сферы действия Земли, а через 100 суток полета КА переходит на гало-орбиту. Траектория полета по гало-орбите приведена с учетом выполнения коррекций удержания. При полете по гало-орбите КА облетает точку Ь2 за 180 суток.
1. НАЧАЛЬНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЛЯ ТРАЕКТОРИИ ПРЯМОГО ОДНОИМПУЛЬСНОГО ПЕРЕЛЕТА С НИЗКОЙ ОКОЛОЗЕМНОЙ ОРБИТЫ
НА ЗАДАННУЮ ГАЛО-ОРБИТУ ВОКРУГ ТОЧКИ L2
Приближенное описание прямых одноим-пульсных перелетов (без гравитационного маневра у Луны) с околокруговой орбиты ИСЗ на заданную гало-орбиту использует метод изолиний функции высоты перицентра от параметров гало-орбиты, предложенный в [5]. В данной работе этот метод распространен на случай перелета с гравитационным маневром у Луны. Рассмотрим метод подробно. Движение КА рассматривается во вращающихся системах координат: в системе Ох1х2х3 с началом в центре Земли O и в системе с началом О' в точке либрации L2 (рис. 2). При этом: x = 2,! - |ОО'|, x2 = 2, x3 = £,3.
Зависимость координат £,2,2,3 от времени определяется следующими формулами:
^ = A cos (ю^ + ф!) + CeXt + De~Xt, = -k2Asin(oV + ф!) + k! (CeXt - De~Xt), (1) = B cos (t + ф2 ),
где
ю! = n1
L - 8BL - BL + 2) - 0.035384 рад/сутки, ю2 = n! -JbL ~ 0.034148 рад/сутки,
X = ni J1 (V9B
>l - 8BL + BL - 2 рад/сутки,
0.042734
k =
2 (V ni)
[(Vn1 )2 - 2BL - i] - -0.54525,
k2 =
2 (<»i/ ni)
[(<i/ ni)2
+ 2Bl +1
]
3.i873,
Bl =
И И =— И + И
Л ■ Л
1 | Ц
3 3
V rL1 rL У
На Солнце Рис. 2. Системы координат Ох\х2Х3 и О'Е^Е^З.
ц1, ц — массы Солнца и Земли, а1 — астрономическая единица, ги, гь — расстояния от точки Ь2 до Солнца и Земли, П1 — средняя угловая скорость орбитального движения Земли, А, В, С, Б, ф1, ф2 — постоянные интегрирования. Формулы (1) представляют собой общее решение линеаризованных уравнений, описывающих малые колебания КА в окрестности точки Ь2 [1].
Наличие слагаемого Бех\ затухающего с ростом I, позволяет КА, находящемуся на гало-орбите в начальный момент времени, удаляться от точки Ь2 на значительное расстояние. Поэтому в рамках задачи трех тел существует семейство орбит (орбиты перелета), которые, с одной стороны, достаточно близко подходят к Земле (в начальный момент времени), а с другой стороны, некоторое время являются гало-орбитами (спустя 100 суток после отлета от Земли). На этом свойстве основан метод построения начального приближения для траекторий перелета с низкой орбиты ИСЗ на заданную гало-орбиту в окрестности точки Ь2 без импульса торможения.
Определим х* = -0 • гь. Выбором 9 в интервале [2/3,3/4] можно удовлетворить следующим условиям. Если траектория начинается в окрестности Земли и является асимптотической к условно-периодической орбите, расположенной в достаточно малой окрестности Ь2, то такая траектория
обязательно пересечет плоскость х: = х*. При
этом характеристики траектории для <
должны удовлетворительно описываться реше-
ниями задачи двух тел, а при x > приближением.
линейным
Асимптотическое приближение к условно-периодической орбите в рамках такого приближения определяется условием С = 0. За счет выбора Б
обеспечивается сопряжение гало-орбиты с орбитой ИСЗ.
Пусть начало отсчета выбрано так, что при
г = t0 выполняется равенство: х1 = х**. Тогда из первого уравнения системы (1) находим
а в невращающеися геоцентрической эклиптической СК по формулам:
D = x* + rL - A cos ф1.
(2)
Тем самым, при t = 0 координаты x1, x2, x3 и
скорости
dx1 d%2 d%3
оказываются однозначны-
, xb x2, x3 )T — вектор состояния КА в
x1 = %1 - rL, x1 = %1 - n1x2, x2 = % 2, x2 = % 2 + n1x1, x3 = %3, x3 = % 3.
(4)
& & &
ми функциями четырех параметров: А, В, ф1, ф2. Переходя к невращающейся СК, определим зависимости элементов геоцентрической орбиты V п, ю, О,, I, гп, т от этих параметров. Естественно выделить траектории одноимпульсного перелета условием на расстояние перицентра
гп = Яъ + к = г*, где Яъ — экваториальный радиус Земли, h — заданная высота орбиты ИСЗ.
Тем самым, множество орбит перелета определяется зависимостями элементов геоцентрической орбиты Vп, ю, О, I, гп и т от параметров А, В, ф 1 и ф2 гало-орбиты при условии, что расстояние перицентра гп равно заданной величине. При фиксированных А и В в плоскости ф1, ф2 строится изолиния: Гп (ф1, ф2) = Г*.
Рассмотрим алгоритм вычисления гп по заданным фазам ф1 и ф2. Сначала вычисляется вектор состояния КА в инерциальной СК, полученной фиксацией осей вращающейся СК на фиксированный момент времени ? в зависимости от параметров: А, В, ф1 и ф2. Введем обозначения:
(( 2, £3, 4 1, 42,43)Т — вектор состояния КА в момент времени г = 0 во вращающейся СК с центром
Далее по вектору (х1, х2, х3, хь хс2, хс3) вычисляются элементы орбиты и в том числе расстояние перицентра гп.
Рассмотрим функцию f (ф1, ф2,0А, 0в), которая заданным значениям ф1, ф2, 0А = Агь и 0в = В/гь сопоставляет расстояние перицентра гп в соответствии с вышеописанным алгоритмом.
Алгоритм построения изолинии функции высоты перицентра от параметров гало-орбиты в фазовой плоскости ф1, ф2 состоит из двух этапов: поиска начальной точки изолинии и расчета изолинии по начальной точке.
Поиск начальной точки изолинии выполняется сканированием в интервалах от 0° до 360° по параметру ф1 и от —180° до 180° по параметру ф2. При фиксированном значении ф2 вычисляются значения f (ф1, ф2,0А, 0в) для значений ф1 из указанного интервала. Если выполняется условие:
(f (ч>1 - V Ф2, е a, ев)- r*) х х (f (Ф1, Ф2, е A, )- r*) < 0,
(5)
в ^ (x1, x2, x3
момент времени t = 0 в невращающейся геоцентрической эклиптической СК Ox1x2x3, ось Ox1 которой направлена на Солнце в момент времени t0. Координаты и компоненты вектора скорости КА во вращающейся СК с центром в L2 вычисляются по формулам:
D = rL + x* - A cos ф1,
41 = rL + x*, 41 = -®1A sin ф1 - XD,
42 = -k2A sin ф1 - k1D, (3)
4 2 = -k2®1A cos ф1 + k{k D,
43 = B cos ф2, 43 = -®2B sin ф2,
то искомое значение ф1 лежит в интервале от
ф1 - к1р1 до ф1. Для нахождения ф ** с требуемой точностью используется метод бисекции [6].
Рассмотрим алгоритм расчета следующей точки изолинии при известной текущей точке. Основной принцип алгоритма состоит в том, что если известна точка (ф1, ф2), принадлежащая изолинии, то ищется точка пересечения изолинии с прямой, параллельной оси ф1 на плоскости ф1, ф 2 и проходящей через точку начала поиска (ф1 + s, ф2 + 5), либо точка пересечения изолинии с прямой, параллельной оси ф2 и также проходящей через точку начала поиска (рис. 3).
Входной информацией этого алгоритма является точка, принадлежащая изолинии (ф1, ¡, ф2;-) и шаг поиска кСлучай поиска второй точки изо-
линии от случая поиска третьей и последующих точек отличается выбором параметра 5.
Ф2
если I = 1;
(6)
1 - Ф1,1-1 )2 + (ф2,1 - Ф2,г-1 )2 если I > 1,
где (ф1, ¡, ф2,1), (ф1, {_1, ф2, {_1) — точки, прина
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.