научная статья по теме БАЙЕСОВСКИЕ ОЦЕНКИ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ Метрология

Текст научной статьи на тему «БАЙЕСОВСКИЕ ОЦЕНКИ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ»

(Германия), BEV (Австрия), JV (Норвегия), SP (Швеция), NMC (Сингапур), INMETRO (Бразилия), NPL (Англия), VNIIM (Россия).

В качестве транспортируемого эталона лабораторией-пилотом были представлены одноэлементный ТЭП с номинальной силой тока 10 мА и шунт переменного тока с номинальной силой тока 5 А. Падение напряжения на шунте измеряли одноэлементным ТЭП напряжения с номинальным значением 1 В, также представленного лабораторией-пилотом. Отдельные результаты сличений приведены на рис. 2, 3. Результаты международных ключевых сличений подтверждают достоверность заявленных ВНИИМ метрологических характеристик, а также то, что ГЭТ 88—2014 не уступает уровню национальных эталонов промышленно развитых стран — Англии, Германии и США.

Л и т е р а т у р а

1. Приказ Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 14 мая 2015 г № 575 «Об утверждении Государственной поверочной схемы для средств измерений силы переменного электрического тока от 1-10-8 до 100 А в диапазоне частот от 1-10-1 до 1-106 Гц».

2. Приказ Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 29 января 2015 г № 121 «Об утверждении Государственного первичного специального эталона единицы силы электрического тока в диапазоне частот 20-1-106 Гц».

3. Рождественская Т. Б. Электрические компараторы для точных измерений тока, напряжения и мощности. М.: Издательство стандартов, 1964.

Дата принятия 27.04.2015 г.

ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕТРОЛОГИИ И ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ

53.081.1

Байесовские оценки систематических погрешностей средств измерений

Н. А. БУРМИСТРОВА, А. В. СТЕПАНОВ, А. Г. ЧУНОВКИНА

Всероссийский научно-исследовательский институт метрологии им. Д. И. Менделеева,

С.-Петербург, Россия, e-mail: N.A.Burmistrova@vniim.ru

Рассмотрена задача вычисления расширенной неопределенности измерений при калибровке. Выделены два ее источника, обусловленные неопределенностью опорного значения, получаемого с помощью эталона, и разбросом показаний калибруемого средства измерений. Применен байесовский подход для получения зависимости коэффициента охвата от числа повторных измерений и соотношения названных неопределенностей.

Ключевые слова: систематическая погрешность, расширенная неопределенность, коэффициент охвата, байесовская оценка.

The problem of expanded uncertainty estimation at calibration of measuring instrument is considered. The two main sources of measurement uncertainty are revealed: the first one is associated with the reference value and the second one with the dispersion of measuring instrument indications. The dependence of coverage factor on a number of repeated indications and a ratio of the above two sources of uncertainties is obtained.

Key words: systematic error, expanded uncertainty, coverage factor, Bayesian estimate.

Концепция неопределенности измерений [1—4] используется в отечественной метрологии наряду с оцениванием погрешностей [5]. Вопрос о том, в каких метрологических задачах предпочтительнее использовать тот или иной подход, остается открытым. Однако в задачах калибровки средств измерений (СИ) вычисление неопределенности получило широкое распространение. При калибровке достаточно часто устанавливается систематическая погрешность СИ как

отклонение показаний от опорного значения измеряемой величины, воспроизводимого или получаемого с помощью соответствующего эталона.

При расчете неопределенности измерения учитывают: неопределенность калибровочных характеристик эталонных измерительных приборов или действительных значений эталонных мер, их нестабильность; нелинейность калибровочной характеристики эталонных измерительных приборов;

случайные погрешности эталонов, калибруемых СИ и методик калибровки; неопределенность поправок на отклонения от нормальных условий, специфичных для каждого вида измерений и методики передачи единицы величины.

В данной статье принята упрощенная модель систематической погрешности В калибруемого СИ:

В = X - X

ге^

(1)

где X — среднее показание калибруемого средства при числе повторных измерений, стремящемся к бесконечности; Хге: — опорное значение измеряемой величины.

Для конкретного вида измерений и методики калибровки модель (1) усложняется введением поправок на влияющие величины, и рассматриваемый далее подход можно обобщить для каждого конкретного случая.

При выполнении измерений с помощью эталона получают оценку измеряемой величины с соответствующей неопределенностью (хге:,и(хге:)} или с указанием границ погрешности {хге:,9}. В первом случае информацию об измеряемой величине можно представить плотностью нормального распределения рге:(х) с математическим ожиданием хге: и стандартным отклонением и(хге) а во втором — в виде равномерного закона распределения с центром хге: и симметричными границами ± 8 [6].

Обычно при калибровке выполняют многократные измерения х1,...,хп, чтобы оценить суммарную случайную погрешность, обусловленную применяемыми эталонами, калибруемыми СИ и методикой калибровки. При этом предполагается, что единичные показания СИ распределены по нормальному закону с неизвестными параметрами {Хге: + В,о}, где о - параметр прецизионности (повторяемости) результатов измерений при калибровке. Таким образом, в данной задаче имеются три неизвестных параметра Хге:,В,о. Совместную плотность распределения значений этих параметров находят, используя теорему Байеса, на основе имеющейся априорной информации, а также полученной при измерениях. Данные параметры считаем независимыми; дополнительно предполагаем, что априорная информация о смещении показаний СИ и прецизионности измерений отсутствует и описывается неинформативной априорной плотностью распределения этих параметров р(Ь,о)~о-1 (символ ~ означает равенство с точностью до нормирующей константы).

Рассмотрим указанный выше первый случай. При этом апостериорная совместная плотность распределения задается выражением

р (х,Ь,о| Х1,..., хп, (хге^)<

тс о

-(п+1),

ехр-¡--VX(Х1 - Ь -х)2 [х

{- (х - хге )2/[ 2 (хге)]}.

х ехр |- (х - хге

Интегрирование по мешающим параметрам позволяет найти апостериорную плотность распределения систематической погрешности:

р (ь|х1.....хп, х^, )) = | р (х, Ь, о| х1,..., хп, х^, ))сУосГх.

(2)

После несложных вычислений получаем

/ 2\(п-1)/2

р(Ь) И5^__Цп/2)__1_х

р (Ь) 2(п-1)/2 п и(хГе:) Г(п-1/2) оП+1 Х

[ (п(Ь + х-х)2 + (п-1^2) П/2ехр--(х /ге)2 [¿х;

' I 2и 2( х^) 1

S2 = У (х, - х)2, х = 1У х,, пI ' п 1

где Г(п/2), Г(п - 1/2) — гамма-функции; х — среднее значение для конечной выборки.

Таким образом, при байесовском подходе систематическая погрешность описывается случайной величиной В с плотностью распределения (2), математическое ожидание и стандартное отклонение которой являются оценкой систематической погрешности и стандартной неопределенности, соответственно. Оценку систематической погрешности можно получить, подставив оценки входных величин в (1 ):

Ь = х - .

Согласно [1 ] соответствующую стандартную неопределенность вычисляют по формуле

и 2(Ь) = и А(х) + иВ(х^) = Б2/ п + и 2(х^). (3)

Однако байесовский подход приводит к другой формуле для стандартной неопределенности [7]:

~2(Ь) = (п -1) S2| [(п - 3)п] + и 2( хгег).

(4)

Выражение (4) имеет смысл только при п > 3. Интересно отметить, что в [8] под многократными измерениями также понимают измерения при п > 3. С ростом п выражение (4), монотонно убывая, стремится к (3), при достаточно больших п формулы (3) и (4) практически совпадают.

Цель данной статьи — вычисление расширенной неопределенности измерений при вероятности Р (уровне доверия), которая выражается произведением суммарной стандартной неопределенности на коэффициент охвата к:

ир (Ь) = к~( Ь).

Для оговоренных выше случаев (В,о независимы; отсутствует априорная информация о их возможных значениях) найдено выражение для к при Р = 0,95. На практике в этом случае, как правило, принимают к = 2. В статье анализируются различия в оценках неопределенности, полученных при использовании к = 2 и его точного значения.

Рассмотрим преобразованную случайную величину

В = [В - (X - ХгеГ)]].

Плотность распределения В определена преобразованием (2) для величины В:

Г(п/2)

V > кМп

1) Г((п-1)/2))

Конечной целью являлось получение зависимостей к(уп), которые позволяют переходить от стандартной к расширенной неопределенности измерения. При п > 3 для стандартной неопределенности справедлива формула (4), и соответственно коэффициент к вычисляется как

1

п-1

.Упи^)

+1

-п / 2

ехР1- V

ко,95 = «0,95 [2 + (П - 1)/(П - 3)]

1-1/2

(5)

Выражение (5) является сверткой нормального распределения и масштабированного распределения Стьюдента с (п - 1 )-й степенями свободы, которая зависит от параметра У = л/пи(хге)/S. При у ^ 0 распределение (5) сходится к распределению Стьюдента, а при у ^ ~ оно стремится к нормальному распределению. Параметр у является отношением стандартной неопределенности, обусловленной применяемым эталоном, к выборочному стандартному отклонению усредненного результата, которое характеризует случайную погрешность измерений при передаче единицы величины. Очевидно, на практике значения параметра всегда ограничены.

В данной работе для разных значений у, п и симметричных интервалов вероятности при Р = 0,95 были вычислены процентные точки а0 95 распределения (5). Соответственно расширенная неопределенность исходной величины В рассчитывается по формуле

А0,95 = «О^Д/П.

На рис. 1 представлены значения к095 в зависимости от параметра у для разных п.

Значение к = 2 является оценкой сверху при Р = 0,95, если стандартная неопределенность измерений вычисляется в соответствии с (4), причем для п > 5 отличие к от 2 не превышает 2 %. Аналогичные вычисления к были проведены для случая, когда известны оценка опорного значения и предел его допускаемой погрешности {хге:,8}. При этом информация о значении измеряемой величины формализуется в виде равномерного закона распределения с центром хге: и симметричными границами ± 8. Также были получены значения к для вычисления расширенной неопределенности:

ир(Ь) = ки(Ь), ~2(Ь) = (п -1)S2/[(п - 3)п] + 82/3.

(6)

Зависимости к0

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Метрология»