(Германия), BEV (Австрия), JV (Норвегия), SP (Швеция), NMC (Сингапур), INMETRO (Бразилия), NPL (Англия), VNIIM (Россия).
В качестве транспортируемого эталона лабораторией-пилотом были представлены одноэлементный ТЭП с номинальной силой тока 10 мА и шунт переменного тока с номинальной силой тока 5 А. Падение напряжения на шунте измеряли одноэлементным ТЭП напряжения с номинальным значением 1 В, также представленного лабораторией-пилотом. Отдельные результаты сличений приведены на рис. 2, 3. Результаты международных ключевых сличений подтверждают достоверность заявленных ВНИИМ метрологических характеристик, а также то, что ГЭТ 88—2014 не уступает уровню национальных эталонов промышленно развитых стран — Англии, Германии и США.
Л и т е р а т у р а
1. Приказ Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 14 мая 2015 г № 575 «Об утверждении Государственной поверочной схемы для средств измерений силы переменного электрического тока от 1-10-8 до 100 А в диапазоне частот от 1-10-1 до 1-106 Гц».
2. Приказ Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 29 января 2015 г № 121 «Об утверждении Государственного первичного специального эталона единицы силы электрического тока в диапазоне частот 20-1-106 Гц».
3. Рождественская Т. Б. Электрические компараторы для точных измерений тока, напряжения и мощности. М.: Издательство стандартов, 1964.
Дата принятия 27.04.2015 г.
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕТРОЛОГИИ И ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ
53.081.1
Байесовские оценки систематических погрешностей средств измерений
Н. А. БУРМИСТРОВА, А. В. СТЕПАНОВ, А. Г. ЧУНОВКИНА
Всероссийский научно-исследовательский институт метрологии им. Д. И. Менделеева,
С.-Петербург, Россия, e-mail: N.A.Burmistrova@vniim.ru
Рассмотрена задача вычисления расширенной неопределенности измерений при калибровке. Выделены два ее источника, обусловленные неопределенностью опорного значения, получаемого с помощью эталона, и разбросом показаний калибруемого средства измерений. Применен байесовский подход для получения зависимости коэффициента охвата от числа повторных измерений и соотношения названных неопределенностей.
Ключевые слова: систематическая погрешность, расширенная неопределенность, коэффициент охвата, байесовская оценка.
The problem of expanded uncertainty estimation at calibration of measuring instrument is considered. The two main sources of measurement uncertainty are revealed: the first one is associated with the reference value and the second one with the dispersion of measuring instrument indications. The dependence of coverage factor on a number of repeated indications and a ratio of the above two sources of uncertainties is obtained.
Key words: systematic error, expanded uncertainty, coverage factor, Bayesian estimate.
Концепция неопределенности измерений [1—4] используется в отечественной метрологии наряду с оцениванием погрешностей [5]. Вопрос о том, в каких метрологических задачах предпочтительнее использовать тот или иной подход, остается открытым. Однако в задачах калибровки средств измерений (СИ) вычисление неопределенности получило широкое распространение. При калибровке достаточно часто устанавливается систематическая погрешность СИ как
отклонение показаний от опорного значения измеряемой величины, воспроизводимого или получаемого с помощью соответствующего эталона.
При расчете неопределенности измерения учитывают: неопределенность калибровочных характеристик эталонных измерительных приборов или действительных значений эталонных мер, их нестабильность; нелинейность калибровочной характеристики эталонных измерительных приборов;
случайные погрешности эталонов, калибруемых СИ и методик калибровки; неопределенность поправок на отклонения от нормальных условий, специфичных для каждого вида измерений и методики передачи единицы величины.
В данной статье принята упрощенная модель систематической погрешности В калибруемого СИ:
В = X - X
ге^
(1)
где X — среднее показание калибруемого средства при числе повторных измерений, стремящемся к бесконечности; Хге: — опорное значение измеряемой величины.
Для конкретного вида измерений и методики калибровки модель (1) усложняется введением поправок на влияющие величины, и рассматриваемый далее подход можно обобщить для каждого конкретного случая.
При выполнении измерений с помощью эталона получают оценку измеряемой величины с соответствующей неопределенностью (хге:,и(хге:)} или с указанием границ погрешности {хге:,9}. В первом случае информацию об измеряемой величине можно представить плотностью нормального распределения рге:(х) с математическим ожиданием хге: и стандартным отклонением и(хге) а во втором — в виде равномерного закона распределения с центром хге: и симметричными границами ± 8 [6].
Обычно при калибровке выполняют многократные измерения х1,...,хп, чтобы оценить суммарную случайную погрешность, обусловленную применяемыми эталонами, калибруемыми СИ и методикой калибровки. При этом предполагается, что единичные показания СИ распределены по нормальному закону с неизвестными параметрами {Хге: + В,о}, где о - параметр прецизионности (повторяемости) результатов измерений при калибровке. Таким образом, в данной задаче имеются три неизвестных параметра Хге:,В,о. Совместную плотность распределения значений этих параметров находят, используя теорему Байеса, на основе имеющейся априорной информации, а также полученной при измерениях. Данные параметры считаем независимыми; дополнительно предполагаем, что априорная информация о смещении показаний СИ и прецизионности измерений отсутствует и описывается неинформативной априорной плотностью распределения этих параметров р(Ь,о)~о-1 (символ ~ означает равенство с точностью до нормирующей константы).
Рассмотрим указанный выше первый случай. При этом апостериорная совместная плотность распределения задается выражением
р (х,Ь,о| Х1,..., хп, (хге^)<
тс о
-(п+1),
ехр-¡--VX(Х1 - Ь -х)2 [х
2о
{- (х - хге )2/[ 2 (хге)]}.
х ехр |- (х - хге
Интегрирование по мешающим параметрам позволяет найти апостериорную плотность распределения систематической погрешности:
р (ь|х1.....хп, х^, )) = | р (х, Ь, о| х1,..., хп, х^, ))сУосГх.
(2)
После несложных вычислений получаем
/ 2\(п-1)/2
р(Ь) И5^__Цп/2)__1_х
р (Ь) 2(п-1)/2 п и(хГе:) Г(п-1/2) оП+1 Х
[ (п(Ь + х-х)2 + (п-1^2) П/2ехр--(х /ге)2 [¿х;
' I 2и 2( х^) 1
S2 = У (х, - х)2, х = 1У х,, пI ' п 1
где Г(п/2), Г(п - 1/2) — гамма-функции; х — среднее значение для конечной выборки.
Таким образом, при байесовском подходе систематическая погрешность описывается случайной величиной В с плотностью распределения (2), математическое ожидание и стандартное отклонение которой являются оценкой систематической погрешности и стандартной неопределенности, соответственно. Оценку систематической погрешности можно получить, подставив оценки входных величин в (1 ):
Ь = х - .
Согласно [1 ] соответствующую стандартную неопределенность вычисляют по формуле
и 2(Ь) = и А(х) + иВ(х^) = Б2/ п + и 2(х^). (3)
Однако байесовский подход приводит к другой формуле для стандартной неопределенности [7]:
~2(Ь) = (п -1) S2| [(п - 3)п] + и 2( хгег).
(4)
Выражение (4) имеет смысл только при п > 3. Интересно отметить, что в [8] под многократными измерениями также понимают измерения при п > 3. С ростом п выражение (4), монотонно убывая, стремится к (3), при достаточно больших п формулы (3) и (4) практически совпадают.
Цель данной статьи — вычисление расширенной неопределенности измерений при вероятности Р (уровне доверия), которая выражается произведением суммарной стандартной неопределенности на коэффициент охвата к:
ир (Ь) = к~( Ь).
Для оговоренных выше случаев (В,о независимы; отсутствует априорная информация о их возможных значениях) найдено выражение для к при Р = 0,95. На практике в этом случае, как правило, принимают к = 2. В статье анализируются различия в оценках неопределенности, полученных при использовании к = 2 и его точного значения.
Рассмотрим преобразованную случайную величину
В = [В - (X - ХгеГ)]].
Плотность распределения В определена преобразованием (2) для величины В:
Г(п/2)
V > кМп
1) Г((п-1)/2))
Конечной целью являлось получение зависимостей к(уп), которые позволяют переходить от стандартной к расширенной неопределенности измерения. При п > 3 для стандартной неопределенности справедлива формула (4), и соответственно коэффициент к вычисляется как
1
п-1
.Упи^)
+1
-п / 2
ехР1- V
ко,95 = «0,95 [2 + (П - 1)/(П - 3)]
1-1/2
(5)
Выражение (5) является сверткой нормального распределения и масштабированного распределения Стьюдента с (п - 1 )-й степенями свободы, которая зависит от параметра У = л/пи(хге)/S. При у ^ 0 распределение (5) сходится к распределению Стьюдента, а при у ^ ~ оно стремится к нормальному распределению. Параметр у является отношением стандартной неопределенности, обусловленной применяемым эталоном, к выборочному стандартному отклонению усредненного результата, которое характеризует случайную погрешность измерений при передаче единицы величины. Очевидно, на практике значения параметра всегда ограничены.
В данной работе для разных значений у, п и симметричных интервалов вероятности при Р = 0,95 были вычислены процентные точки а0 95 распределения (5). Соответственно расширенная неопределенность исходной величины В рассчитывается по формуле
А0,95 = «О^Д/П.
На рис. 1 представлены значения к095 в зависимости от параметра у для разных п.
Значение к = 2 является оценкой сверху при Р = 0,95, если стандартная неопределенность измерений вычисляется в соответствии с (4), причем для п > 5 отличие к от 2 не превышает 2 %. Аналогичные вычисления к были проведены для случая, когда известны оценка опорного значения и предел его допускаемой погрешности {хге:,8}. При этом информация о значении измеряемой величины формализуется в виде равномерного закона распределения с центром хге: и симметричными границами ± 8. Также были получены значения к для вычисления расширенной неопределенности:
ир(Ь) = ки(Ь), ~2(Ь) = (п -1)S2/[(п - 3)п] + 82/3.
(6)
Зависимости к0
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.