ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 462, № 3, с. 274-277
МАТЕМАТИКА
УДК 517.984
БАЗИСНОСТЬ РИССА ИЗ ПОДПРОСТРАНСТВ ДЛЯ СИСТЕМЫ ДИРАКА С СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ
© 2015 г. А. М. Савчук, И. В. Садовничая
Представлено академиком РАН Е.И. Моисеевым 27.10.2014 г.
Поступило 01.12.2014 г.
DOI: 10.7868/S0869565215150062
В работе изучается оператор Дирака порожденный в пространстве Н = (Х2[0, я])2 дифференциальным выражением €Р(у) = Ву' + Ру, где
B =
( \
-i 0 I 0 i J
P(x) =
y(x) =
У1( x)
V У2(х)
( \ Pl (x) P2(x)
V P3(x) Pn(x)
\
(1)
Функции р, ] = 1, 2, 3, 4, предполагаются суммируемыми на отрезке [0, я] и комплекснозначны-ми. Краевые условия и область определения оператора будут обсуждаться ниже.
Заметим, что оператор Дирака можно также определять дифференциальным выражением €е(а) = Ва' + 0а, где
B =
( \ 0 -1
V 10 J
u(x) =
, Q (x) =
( \ 41 (x) q2 (x)
V 4з (x) 44 (x) J
(2)
u1 (x) V U2(x) J
Легко показать, что эти формы записи эквивалентны. В данной работе мы будем рассматривать систему вида (1). Далее мы покажем, что достаточно изучить случай, когда р4 = р1 = 0 (для системы, записанной в форме (2) это эквивалентно равенствам q1 = —q4, q2 = #3).
Система (2) была введена в рассмотрение П. Дираком в 1929 г. Оператор изучался во многих работах, но в основном в случае симмет-
Московский государственный университет
им. М.В. Ломоносова
E-mail: artem savchuk@mail.ru
рической матрицы Q с непрерывными функциями qj (см., например, монографию Б.М. Левитана и И.С. Саргсяна [1] и литературу в ней). Оператору с периодическими и антипериодическими условиями посвящена серия статей П. Джакова и Б. Митягина (см., например, работы [2, 3] и литературу в них). Изучение свойств базисности системы корневых векторов для обыкновенных дифференциальных операторов началось в 1960-е гг. Тогда же [4] был предложен абстрактный метод, позволяющий доказывать базисность Рисса со скобками. По поводу применения этого метода к обыкновенным дифференциальным операторам следует отметить статью А.А. Шкаликова [5]. В нашей работе мы также используем этот метод.
Результаты о полноте и минимальности системы собственных и присоединенных векторов оператора а также результаты о базисности Рисса для случая сильно регулярных краевых условий были получены авторами в 2011 г. (так, теорема 6 была анонсирована первым автором в [6]). При подготовке текста настоящей работы мы узнали о работе [7], в которой анонсирован этот же результат, а также метод, отличный от нашего. Основными результатами данной работы являются теорема о равномерной базисности Рисса системы собственных и присоединенных векторов сильно регулярного оператора и теорема о ба-зисности Рисса со скобками в регулярном, но не сильно регулярном случае. Отметим, что вопрос о базисности Рисса без скобок в последнем случае является весьма непростым.
1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Зададим максимальный оператор му := €Р(у) на области определения ®(^Р, м) = {у е АС[0, я]: €р(у) е Н} и минимальный оператор т, являющийся сужением оператора м на область ад, т) = {у е ОД, м): У(0) = у(п) = 0}. Здесь АС[0, я] — пространство абсолютно непрерывных
функций. Через Жр», м и Жр», т будем обозначать максимальный и минимальный операторы, порожденные сопряженным дифференциальным выражением
€Р*. (у) := Ву' + Р * у, где Р* =
С__л
Р1 Рз
V Р2 Р4 )
"11 "12 К У1 (0)
^ "21 "22 А У2(0 ) )
+
С V
"13 "14
V "23 "24 )
У1(п) V У2(П) )
(3)
% := (С, П) =
причем строки матрицы
с л
= "11 "12 "1з "14 линейно независимы. Обо-
V "21 "22 "23 "24 ) значим через /ар определитель, составленный из а-го и р-го столбца матрицы Ш.
Определение 1. Краевое условие, определенное формой и, называется регулярным (по Биркгофу), если /14 • J13 Ф 0. Оператор Дирака, порожденный регулярным краевым условием и (т.е. оператор Жр, и с областью определения (3), будем называть регулярным.
Мы уже говорили выше, что без ограничения общности можно считать функции р1 и р4 нулевыми. Напомним, что два замкнутых оператора А1 и А2 в гильбертовом пространстве с плотными областями определения подобны, если существует такой ограниченный и ограниченно обратимый оператор Т, что А2 = Т-ХА1Т, а ®(А2) = 7-1®(А1). Подобные операторы имеют одинаковый спектр, в частности, если спектр оператора А1 состоит из собственных значений а(А1) = то и ст(А2) = причем кратности этих собственных значений для А1 и А2 совпадают. Если {еп} — система собственных и присоединенных векторов оператора А1, то {Т-1еп} — система собственных и присоединенных векторов оператора А2. Отсюда следует, что эти системы обладают одинаковыми геометрическими свойствами (полнота, минимальность, ба-
зисность Рисса, базисность Рисса со скобками и т.д.).
Ут верждение 2. Пусть Р(х) — произвольная матрица размера 2 х 2 с элементами е Х1[0, я], ] = 1, 2, 3, 4, а матрица Ш задает регулярные краевые условия. Тогда оператор Жр, иподобен оператору Ж-рЬ + у/, где
(
Утверждение 1. При любом X е С операторы Жр, м — XI и Ж^р», т — XI фредгольмовы, являются взаимно сопряженными, а их дефектные числа равны {2, 0} и {0, 2} соответственно.
Опишем расширения Ж оператора Жр, т, для которых Жр т с Ж с Жр м. Зададим оператор Ж — Жр и на области определения
Э (Жр, и) = {У е Э (Жр, м): и(у) = 0}, где и(у) = Су(0) + Бу(п) =
Р(х) =
0 Р2 (х) V (х) 0
Р2 (X) = Р2 (X) - *х)), РРз (X) = Рз (X)- ^(Х)),
ф(х) = ух - |р 1 (г)(г, у(х) = |р4(г)(г - ух,
0 0 п
у = 2П /СРхС г) + Р4( г)) Я,
0
Ш = (С, Б ), С = с ,
Б = ехрI
;|(Р1 (*) -Р4(г))(г
Б.
Р(х) =
Р2(•), Рз(•) е Ь[0,п], (4)
Всюду далее в работе мы будем считать, что преобразования уже проведены (при этом спектральный параметр X мы заменяем на X + у). Таким образом, мы будем рассматривать оператор, порожденный дифференциальным выражением (1), где матрица Р(х) имеет вид
С 0 Р2(х) '
Рз (х) 0
и регулярным краевым условием (3).
О пределение 2. Оператор Дирака Жр и называется сильно регулярным, если он регулярен и к тому же (/12 + /34)2 + 4/14/23 Ф 0.
Мы будем сравнивать асимптотическое поведение собственных значений и собственных функций оператора Жр, и и оператора Ж0, и, порожденного дифференциальным выражением €0(у) = Ву' и регулярным краевым условием и(у) = 0 вида (3).
Ут верждение 3. Спектр оператора Ж0 и состоит из собственных значений, которые можно записать двумя сериями \ -- 1пг0 + 2п > и \ - - + 2п >, [я ] [ я ]
п е Ж, где z0 и z1 — корни квадратного уравнения
Лзг2 - ии + ^34 ] г - /14 = 0,
а значения ветви логарифма фиксируются в полосе & е (—я, я].
х
х
0
276
САВЧУК, САДОВНИЧАЯ
В дальнейшем мы будем нумеровать эти собственные значения одним индексом п е Ж, объ-
Л о „
единяя две серии в одну: ХП = к, + п, где у = 0 для
четных п и] = 1 для нечетных п, к0 = — - 1пг0, к1 =
п
= - - 1п Zl - 1. п
Утверждение 4. Нормированные собственные функции уП, п е Ж, сильно регулярного оператора и имеют вид
■1 о t -1 0 t
0 0 / nX р.\ 0 /n -Kx '
Уп = ©1, ■(e , 0) + ©2, j(0, e ) , n e Z,
где j = 0 при четном n и j = 1 при нечетном n. Числа
2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
Обозначим через
E(x, X) =
eii(x, X) ei2(x, X)
ю° ,■ определяются матрицей
V e2i(x, X) e22(x, X) У
матрицу фундаментальной системы решений уравнения €P(y) = Xy с начальными условиями ^(0, X) = I. Для исследования регулярного оператора р мы воспользуемся результатами об асимптотическом поведении фундаментальной системы решений (5) в комплексной X-плоскости внутри полос Па = {X e С| j^Xj < а}, полученными авторами в [8], а также результатами об асимптотическом поведении фундаментальной системы решений в секторах = {X e С: 6 < argX < п — б} и S2 = {X e С: —п + 6 < arg X < —6}, полученными в работе [9].
Тео р е ма 1. Функции ei(x, X) аналитичны по X во всей комплексной плоскости и
E(x, X) =
eiXx •( 1 + o( 1)) + e~iXx ■
o (1)
eiXx • o (1) + e-Xx • o (1)
eiXx • o(1) + eAXx • o(1) eXx • o(1) + e~iXx •( 1 + o( 1))
при С Э X ^ да равномерно по х е [0, п].
Сформулируем результаты об асимптотическом поведении собственных значений и собственных функций оператора
Теорема 2. Пусть потенциал Р имеет вид (4) и и — регулярный оператор Дирака. Обозначим
через {ХП} собственные значения оператора и и через {Хп} — собственные значения оператора и с учетом алгебраической кратности. Тогда при подходящей нумерации последовательности {Хп}п е Ж (и такая нумерация возможна): Хп = ХП + о(1) при |п| ^ да. В частности, {Хп}п е Ж с Па для некоторого а0 > 0.
Теорем а 3. Пусть потенциал Р(х) имеет вид (4), а оператор и сильно регулярен. Обозначим через {уп(х)} нормированные собственные функции этого оператора, отвечающие собственным значениям {Хп}, а через {уП (х)} — нормированные собственные функции оператора и, отвечающие собственным значениям {ХП}. Тогда
уп (X) = уП (X) + Гп(X), где ||гп||с ^ 0. Более того, справедливо представление
У1 , п (X) = еКХ X! , п (х) , У 2, П (X) = е '^ Т2, п (X),
причем |Tj, n(0)| < C, j = 1, 2, а производные функций т, n(x) подчинены оценке
т
n (x )|< С ( ^2( x )| + \p3 (x )|) ,
(6)
почти всюду на [0, п] Э х, где постоянная С не зависит ни от п, ни от х.
Пусть теперь оператор и регулярен, но не сильно регулярен. В этом случае собственные значения оператора идвукратны: Х°2п = Х°2п +1, п е Ж. Определение 3. Выберем число N так,
что для всех п, |п| > выполнено |Х2п — Х^2п | < - и
8
|X2n + 1 - X2n | < 8 . Обозначим
Pn :=
2ni I
R(X)dX,
: 1/4
п = ±N0, ±(N0 + 1),..., r(X) = (% V- XI)Л Тогда Рп является спектральным проектором на корневое подпространство, отвечающее собственным значениям Х2п и Х2п +1, которое мы обозначим Нп. Определим также операторы
рП := [ Л2(Х)dX,
2п i 1
1/4
n = ±N),±(N0 + 1),..., R0(X) = (U- XI)
-1
спектральные проекторы на корневые подпространства оператора Ж0, и, отвечающие собствен-
Л О л о
ным значениям X2n = X2n +1.
Теорема 4. Для любого регулярного, но не сильно регулярного оператора Жр, и:
LP - P
-*• n ■*■ щ
Li ^
с ^ 0 при \n\ ^ да.
3. МИНИМАЛЬНОСТЬ, ПОЛНОТА И БАЗИСНОСТЬ РИССА
Теорема 5. Пусть потенциал Р имеет вид (4), а краевые условия (3) регулярны. Тогда система {уп}п е ж собственных и присоеди
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.