= ФИЗИКА И РАДИОТЕХНИКА
УДК 530.1
БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНЫЙ КЛАСТЕР ПЛОСКОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ЗАРЯДОВ СУ-ОБРАЗНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЩЕЛЬЮ
© 2005 г. В.Г. Сапогин1
Исследованы свойства бесстолкновительной динамической модели двухпотокового колебательного движения нензлучающих зарядов в плоском самосогласованном поле скопления, которое удерживается в ограниченной области пространства У-образной потенциальной щелью, глубина которой зависит от энергии зарядов, а ширина от величины интеграла полного давления.
Последние два десятилетия прошлого века ознаменовались открытием и разработкой технологий создания скоплений одноименных зарядов высокой плотности [1,2]. На что указывают эксперименты? Скопления зарядов (кластеры) образуются при создании сильного (от 2 до 10 кВ) электрического поля в зазоре между катодом и анодом, имеют малые размеры (от долей до десятков микрометров), большой отрицательный заряд (от до 1011 электронов в объекте) и время жизни сотни пикосекунд, превышающее время возможного разлета зарядов [2]. Средняя концентрация электронов в скоплении иногда может превысить на порядок среднюю концентрацию электронов в металле. При таких концентрациях, не имея кристаллической решетки, скопления зарядов проявляют механическую твердость.
С одной стороны, представить себе существование объектов, в которых нескомпенсирован-ный статический пространственный заряд занимает ограниченную область, даже на небольшое время, не позволяет теорема Ирншоу (55. ЕагшИаху). Она утверждает, что система неподвижных зарядов, расположенных на любом расстоянии друг от друга, не может находиться в состоянии устойчивого равновесия, если между зарядами действуют только кулоновские силы.
С другой стороны, в экспериментальной электростатике давно существует необъясненное явление, которое заключается в том, что одноименные заряды, сообщенные однородному проводнику с определенной геометрией, образуют у его поверхности скопление конечной толщины. Возникший слой хаотически движущихся зарядов представляет собой ограниченную в прост-
1 Таганрогский государственный радиотехнический университет, г. Таганрог.
ранстве динамическую систему, в которой куло-новское расталкивание скомпенсировано силами неизвестного происхождения.
В [3] найдено теоретическое описание коллективного взаимодействия, происходящего в скоплении зарядов (зарядовый кластер) различной геометрии и с различными уравнениями состояния, которое объясняет физические причины, условия и механизмы их возможного кратковременного удержания в ограниченной области пространства.
Под зарядовым кластером понимается динамическая система одноименных зарядов, удерживаемая силами полевого происхождения при условии равенства нулю средней плотности тока в произвольном объеме кластера.
Ниже углубляются идеи, предложенные в [3], и исследуются свойства бесстолкновительной динамической модели двухпотокового колебательного движения нензлучающих зарядов в плоском самосогласованном поле скопления, которое удерживается в ограниченной области пространства У-образной потенциальной щелью.
УРАВНЕНИЯ САМОСОГЛАСОВАННОЙ ГАЗОСТАТИКИ ОДНОИМЕННЫХ ЗАРЯДОВ
Рассмотрим двухпотоковое движение системы нерелятивистских нензлучающих зарядов, ограниченное по продольной координате х, с уравнением непрерывности
7 = Л+/2 = °> (1)
где - плотность тока, пересекающего плоскость х = 0в свободном от внешних полей и электродов пространстве в положительном направлении оси х: ]2 - плотность тока, пересекающего плоскость х = 0 в обратном направлении. При
этом /] — 7г ~ За ■
В силу плоской симметрии для любого потока В (1)
к = ^,п(х)ъ(х) = ^п0х>() (2)
где п - концентрация зарядов в произвольной плоскости; \) - соответствующий ей модуль скорости зарядов системы; п0 - концентрация зарядов системы в плоскости х = 0; и0 - соответствующий ей модуль скорости зарядов системы. Далее везде индекс "О" относится к плоскости х = 0.
Магнитное поле отсутствует в бесстолкнови-тельной системе противоположных токов, а заряды совершают одномерное движение по непересекающимся прямым в направлении оси х и обратно, не изменяя значений поперечных координат при возврате.
Движение каждого заряда в плоском самосогласованном поле не зависит от времени явно вследствие статичности задачи и определяется интегралом энергии:
Y - mvl - mv>1
+ q<p = const,
(3)
где У - значение полной механической энергии, одинаковое у всех зарядов из-за их моноэнерге-тичности; т - масса элементарного заряда q системы. Калибровка потенциала выбрана в виде Фо = 0-
Пространственное распределение скалярного потенциала ф-статического макроскопического самосогласованного поля, возбуждаемого движущимися зарядами системы, находится из уравнения Пуассона, в правой части которого плотность зарядов должна быть выражена через функцию распределения:
ф" = -4л^/1(ср), (4)
где штрихи обозначают дифференцирование по х.
Система уравнений (1)-(4) представляет собой уравнения самосогласованной газостатики одномерной системы одноименных зарядов. Для ее согласования найдем бесстолкновительную функцию распределения зарядов я(ф), которая следует из уравнения непрерывности (2) и закона сохранения (3)
n = nQ/jl-ф/фн,
(5)
где фн =У/<7 = та>о/2<7 - наибольшее значение
потенциала, достигаемое в плоскостях возврата системы, при двухпотоковых колебательных состояниях. Из функции распределения (5) следу-
ет, что в бесстолкновительной системе концентрация ее зарядов больше там, где больше ее скалярный потенциал.
Подставляя (5) в (4), преобразуем уравнения самосогласованной газостатики к виду
4л
2)0
J-(Y-q Ф) V т
(б)
Покажем, что уравнение (6) имеет точное решение, которое описывает локализованные в пространстве состояния двухпотокового колебательного движения одноименных зарядов в V-образной потенциальной щели, образованной самосогласованным полем системы.
ГАМИЛЬТОНОВА ФУНКЦИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЗАРЯДОВ С ПОЛЕМ
Уравнение (6) допускает понижение порядка, имеет первый интеграл, являющийся вторым гамильтонианом системы и соответствующий ее полному давлению Р:
- р{ ф) = н{ = Р = const. (7) 8я V 4 тс )
В (7) уменьшаемое представляет собой давление самосогласованного поля системы, а вычитаемое - бесстолкновительное давление одномерного движения зарядов системы /?(ф), совпадающее с удвоенной объемной плотностью их кинетической энергии
2;'о
I ф 2
pQ \1—— - птх> ,
Ч Ф„
(8)
где р0 = п0т\)0 - давление зарядов в плоскости
нуля потенциала. Давление, создаваемое движущимися зарядами системы, обусловлено наличием у них массы.
Канонически сопряженные величины в функции Гамильтона (7): обобщенный импульс (р'/4я и обобщенная координата ф. Роль обобщенного времени играет координата л. Закон сохранения (7) выполняется как следствие того, что гамильтониан системы не зависит от обобщенного времени явно, то есть
йН _ дН
= 0.
(9)
Равенство (9) выполняется при отсутствии любых внешних статических электрических полей неподвижных зарядов, рассматриваемых по отношению к самосогласованному полю системы. Оно представляет собой условие физической осуществимости кластера (давление поля в любой плоскости системы больше давления зарядов). В гамильтоновой системе давление поля всегда больше там, где больше давление зарядов и меньше там, - где меньше давление зарядов.
Дифференцируя (7) по обобщенному времени, получим, что в любом элементарном объеме пространства взаимодействия градиенты давлений самосогласованного поля и зарядов равны между собой и имеют одинаковые направления. Из чего видно, что фундаментальный закон сохранения (7) обусловлен равенством объемных сил действия, совпадающих с градиентом давления зарядов, и противодействия, совпадающих с градиентом давления самосогласованного поля, взятым с противоположным знаком, что позволяет выяснить физический смысл "выталкивающей" силы Вернул ли, противоположной градиенту давления зарядов. Это равенство выполняется в любом элементарном объеме системы, рассматриваемой как участок сплошной среды.
Возникающее равновесие элементарного объема динамической системы зарядов с полем формирует полевую ловушку, в которой действие объемной плотности электрической силы
рЕ (аналог силы Кулона) скомпенсировано действием объемной плотности газостатической силы лы полевого происхождения / = -рЕ = -Е(И\Е / 4л;
(аналог "выталкивающей" силы Бернулли). Отсюда условие равновесия в векторной форме имеет вид:
р£ + / = 0, где / = -§гай{р)
и для одномерной бесстолкновительной системы совпадает с уравнением (6).
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
Полевая ловушка образуется только при положительном полном давлении 0 <Р <<*>, когда система находится в двухпотоковом состоянии колебательного движения зарядов. В этом случае существует два значения координаты х = ±Ь, при которых давление зарядов системы р(ф) об-
ращается в нуль и система ограничена. При х = ±Ь ее потенциал принимает наибольшее значение Фк', а градиент потенциала имеет одинаковый модуль, но различные знаки ф^ = ±\'8тсР.
Как показывает решение, в этих плоскостях заряды системы останавливаются, вследствие чего плоскости х = ±Ь назовем плоскостями возврата потока. Они же ограничивают ширину системы.
Будем искать интегральную кривую, проходящую через точку (0, 0). Для этого интегрирование в (7) представим в виде
Интегрируя (10), получим
ак
т
= (1 + Р)1/2(1-2Р)-
-(Л.Т-Ф/Ф* +р)1/2(л/1-ф/ф„ -2р), (11)
где введены обозначения:
Р - Р/р0 - параметр состояния двухпотоковой системы, изменяется в пределах 0 < р <
/ = 4фн/ЗЯ* - пространственный масштаб системы,
Еш = Л/8л:р0 - масштаб напряженности поля системы,
G = sign(ф') - знаковый множитель, определяемый ниже.
Как видно из (11), правая часть обратной функции х = л:(ф) неотрицательна для значений аргумента, изменяющегося в пределах 0 < ф/ф„ < < 1. Это позволяет определить функцию знакового множителя в виде
а =
+1 при х > 0; -1 при х > 0.
(12)
Полуширина пространства взаимодействия следует из (11) при ф/фн = 1, а = +1 и зависит от параметра состояния системы
= (1 + Р)1/2(1-2Р) + 2р
I
3/2
(13)
Зависимость (13) для значений р изменяющихся в пределах 0 < р
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.