ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2004, том 40, № 1, с. 105-115
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
БЕЗРИСКОВЫЙ ДОХОД ПРОДАВЦА ОПЦИОНА ЕВРОПЕЙСКОГО ТИПА ПРИ ГЛАДКОЙ ФУНКЦИИ ВЫПЛАТ
© 2004 г. А. В. Нагаев, С. А. Нагаев
(Польша, Австрия)
Рассматривается опцион европейского типа с выпуклой функцией выплат. Предполагается, что скачки цен рисковых бумаг ограничены снизу и сверху. Устанавливается, что в условиях неполного рынка с дискретным временем у инвестора появляется безрисковый доход. Изучаются асимптотические свойства безрискового дохода в случае, когда модель допускает диффузионную аппроксимацию.
1. ВВЕДЕНИЕ
Рассмотрим простейший финансовый рынок, на котором обращаются ценные бумаги двух типов. Эволюция цен бумаг первого типа описывается уравнением
bk = b0pk, k = 0, 1, ..., (1)
где b0 > 0, р > 1. Цены регистрируются в равноотстоящие моменты времени tk = a + kh. Без потери общности будем считать, что a = 0, h = 1, т.е. tk = k. Цена бумаг второго типа в момент времени k имеет представление
Sk = So£,i...£,k, k = 0, 1, ..., (2)
где относительные величины скачков являются случайными величинами.
Ценные бумаги первого типа являются безрисковыми с процентом роста в единицу времени (р - 1) 100%. Будем условно называть их облигациями. Ясно, что приобретение ценных бумаг второго типа сопряжено, вообще говоря, с риском их обесценивания. Назовем их условно акциями.
Взятые вместе в определенных количествах в и у бумаги указанных типов образуют так называемый портфель, стоимость которого в момент времени k составляет Pbk + ysk. Игрой на рынке ценных бумаг рассматриваемого типа является изменение содержания портфеля в моменты времени k = 1, ..., n _ 1. Последовательные значения (P0, у0), (в1, у1), ..., (Pn _ 1, у„ _ 1) образуют так называемую стратегию. Разумеется, основанием для выбора (Pk, yk) служит предыстория эволюции цены акции s0, s1, ..., sk, т.е.
Pk = Pk(s0, s1, —, sk), Yk = Yk(s0, s1, —, sk)•
Стратегия называется самофинансируемой, если изменение содержания портфеля не меняет его общей стоимости, т.е.
Pkbk + Yksk = Pk-1 bk + Yk-s, k =1, —, n -1.
В качестве конечной цели игры выберем выполнение условия
Xn = Pn-1bn + Yn-1 sn ^ f (sn), (3)
где f(s) называется функцией выплат простейшего опциона европейского типа, а n является моментом его исполнения. Более подробно о математической и содержательной части теории опционов можно прочесть в (Ширяев, 1998; Ширяев и др., 1994).
Основными задачами теории опционов являются установление так называемой рациональной цены опциона и нахождение отвечающей ему стратегии, приводящей к (3). Напомним, что рациональной ценой опциона называется минимальный стартовый капитал x0, позволяющий добиться при правильной стратегии игры выполнения условия (3).
Задача установления рациональной цены легко решается для случая так называемой бинарной модели, когда случайные величины Ь,к могут принимать только два значения С и и, С < р < и. В этом случае (см. например (Ширяев, 1998, т. 2, гл. VI; Ширяев и др., 1994)):
n
-n V"1 .r^k k / -, ч n - k ^, k }n - k ч /,|Ч
= P ^ CnP*( 1-P* ) f(soud ), (4)
к = 0
где
р - с
Р* = —-
и - С
Стоит подчеркнуть, что формула (4) не предполагает никаких условий на меру, задающую совместное распределение случайного вектора (^1, ..., ^„). При этом существует единственная самофинансируемая стратегия
(в, У) = {(РоЛоИРьУ 1 ),...,(Р„-1, Уп-1)},
приводящая к равенству
Хп = рп-1 Ьп + Уп-1 Sn = /(^) (5)
и определяемая равенствами
ufk +i( Sk d ) - d f k +1 ( SkU ) p£>k(u - d)
Pk = -ГТ77—Тл-' (6)
f k +1(SkU) - f k + 1(Skd) ,nч
Y k = -;-T\-' (7)
Sk ( u - d )
где
k
fk ( S ) = P-(n - k)X Cn - kPJqn - k - jf ( SUjdn - k - j ). (8)
j = 0
Нетрудно подсчитать, что последовательные стоимости портфеля вычисляются по формулам
Xk = fk(Sk), k = 0, 1, ..., n - 1. (9)
Если же ^k могут принимать более двух значений, то обеспечить выполнение с вероятностью 1 условия (5) невозможно. Однако в ряде случаев возможно обеспечить выполнение (3). Например, если е [d, u], а функция /(s) выпукла, то, как будет показано ниже, минимальный стартовый капитал рассчитывается по той же формуле (4). При этом приходится пользоваться стратегией, задаваемой (6) и (7), с изъятием на каждом шаге из игры некоторых сумм, которые в итоге составят безрисковый доход игрока - продавца опциона. Цель данной работы - изучение этого безрискового дохода в случае, когда процесс эволюции цен допускает простейшую диффузионную аппроксимацию.
2. ФОРМУЛА ДЛЯ БЕЗРИСКОВОГО ДОХОДА ПРОДАВЦА ОПЦИОНА Начнем со следующего вспомогательного предложения.
Предложение. Если Ъ,к е [d, u], k = 1, 2, ..., d < p < u, a функция выплат выпукла, то рациональная цена опциона имеет вид (4).
Доказательство. Ответим на вопрос, каким должен быть капитал в момент n-1, чтобы покрыть контрактные обязательства, т.е. чтобы гарантированно иметь
Xn — f ( Sn ) = Xn.
Ясно, что задача является оптимизационной: найти минимум линейной функции
Xn-1 = Xn-1 (P, Y) = bn-1 p + Sn-1Y
X
0
при линеиных же ограничениях
Хп = *„(Р,У) = Ь„в + 5„у> /(Бп)
или иначе
Ьп-1 рр + Бп-1 ^пУ> /(Бп-1 "п).
Выберем в и у, удовлетворяющими системе:
Г / ( Яп-1 и ) = Ьп-1 рв + Sn-1 иу, 1 / (Яп-1 й) = Ьп-1 рв + Яп-1 йу.
Тем самым контрактные требования будут выполнены при экстремальных скачках цен. Из системы получаем
/ ( Яп-1 и ) - / ( Яп-1й )
у * = в * =
Яп-1 (М - й) и/ ( Б-1й ) - й/ ( Б -1 и )
р Ьп-1 (и - й) что приводит к
Х*-1 = Хп-1 (в*, У * ) = р-1 ( р/ ( Яп-1и ) + & ( Б-1й )). При других скачках имеем в силу выпуклости /(б)
Хп = Хп (в *,У * ) = Ьп-1 рв* + Яп-1 "пУ * =
= / (Яп-1й) Ы-й + /(Яп-1и) Ы-й > /(Бп-1 "п).
Тем самым решение экстремальной задачи получено. Иными словами, х*:1 = хп - х(в*, У*) является минимальным капиталом, обеспечивающим выполнение контрактных обязательств при распределении его в портфеле в соответствии с
(вп -1,7 п-1) = (в *Л *).
Обозначим
/п-1 ( Я ) = р-1 ( р/ ( БЫ) + & ( Бй))
и
Хп-1 = /п-1( Бп-1 ) .
Поскольку попасть точно в Хп _ 1 мы не можем, то приходится обеспечивать неравенство
Хп-1 > Хп-1 = /п-1 ( Бп-1 ) ,
тем самым получен новыИ опцион европейского типа с функцией выплат /п - х(б) и моментом предъявления п-1. Рассуждая подобным образом, получаем цепочку Х0, Х1, ..., Хп:1 капиталов, гарантирующих выполнение контрактных обязательств. При этом (см. (8))
Хк = /к (Бк), (10)
а оптимальное распределение Хк, к = 0, 1, ..., п - 1, в портфеле задается формулами (1), (2). Ясно, что Х0 есть искомая рациональная цена. Заметим, что Х0 > 0, т.е. арбитражной ситуации не возникает, а цепочка(Хо, Х1 , . , Хп _ 1) образует так называемый хедж или, в принятоИ (Ширяев, 1998) терминологии, верхний хедж. Тем самым получено решение задачи хеджирования в условиях неполного рынка при ограниченных относительных скачках цен.
Доказанное утверждение, по существу, совпадает с утверждением (Ширяев, 1998, т. 2, с. 1, теорема V), хотя доказывается иначе. К тому же, в отличие от (Ширяев, 1998), мы сознательно
избегаем маргинальной терминологии и вообще не делаем никаких предположений относительно меры, определяющей эволюцию цен рисковых бумаг.
Рассмотрим последовательность х0, х1, ..., хп -1. Будем называть ее оптимальной эволюцией капитала с тем, чтобы отличить от реальной эволюции х1, ..., хп. Чтобы обеспечить такую эволюцию капитала, инвестор вынужден поступать следующим образом. Имея после шага к - 1 капитал хк-1, распределенный в портфеле согласно (6) и (7), на следующем шаге к он получает капитал
и ^ ^ ((
хк = Рк-1 ьк + Ук-1 Sk = "ии^т^/к (¿к-1() + ик"-( fk (¿к- 1и) •
Если е [(, и], к = 1, ..., п, то
5к = Хк-Хк = /к( Як-1() и-""(к + /к( Як- 1 и) и-"!-/к (¿к- 1^к 0. (11)
Это означает, что на шаге к продавец должен изъять из игры излишек 5к, который к моменту окончания контракта превращается в 5крп - к. Таким образом, условие самофинансирования выполнено только в той его части, которая запрещает привлечение средств со стороны. По изъятию излишков следует пользоваться "бинарной" оптимальной стратегией, определяемой (6) и (7). В итоге в момент окончания контракта продавец имеет безрисковый доход
АС- п-1 ^ п - 2 ^
п = §1Р + 82 р + ... + 5 п •
Распределение Лп найти непросто даже в случае независимых скачков Поэтому возникает вопрос о разумном приближении этого распределения. Ниже предпринимается попытка такой аппроксимации.
3. "ЛОКАЛЬНЫЙ" ДОХОД ПРОДАВЦА ОПЦИОНА
Положим в (11)
, , -1 -1/2. 1 -1/2 -1, и = ип = ехр(цп + хп ) = 1+ хп + О(п ),
( = (п = ехр (цп-1- уп~112) = 1- уп~т + О (п-1),
р = р п = ехр (-а п-1) = 1- а п-1 + О (п-2), (12)
£ £ / -1 -1/2 ч ! -1/2 „ , -1ч
= п = ехр(цп + Цкп ) = 1+ Пкп + Ор(п ),
~ Як, п = ¿0^1, п •••^к, п'
где ц > 0, а случайные величины цк, к = 1, ..., п, независимы и одинаково распределены в промежутке [-у, х], и при этом ЕПх = 0, Уаг п = Ф2 > 0. Положим
_ Р n d n 7 _ fvj j (i )Ш — j
Pn = ' т> b j, m = CmPn( 1— Pn) , un — d
nn
t — d
Ъп n _ j ,m — j
~U da-, aj, m = undn •
un — dn
С учетом этих обозначений дисконтированный "локальный" доход продавца опциона приобретает следующий вид:
n — k
Ak, n = 5k, n Pn = ^ bj, n — k (^nf ( sk —1, nunaj, n — k ) + ( 1 — ^n ) / ( sk — 1, ndnaj, n — k ) — f ( sk — 1, n ^k, naj, n — k ))• (I3) j = 0
Предположим, что f(s) трижды непрерывно дифференцируема, причем
sup| f'"( S )|<~ •
s > 0
БЕЗРИСКОВЫЙ ДОХОД ПРОДАВЦА ОПЦИОНА Тогда в окрестности точки г = 1 имеем
/ ( Бк-1, па}, п - кг ) = / ( Бк-1, па}, п - к ) + / ( Бк-1, па], п - к ) Бк-1, па], п - к ( г _ 1 ) +
+ 2 f " ( sk _i, naj, n - k ) sLi, „ - k ( z - 1 )2 + б- Qsupl f '"( s )| „flj, „ -k ( z - 1 )3,
s > 0
где |6| < 1.
Отсюда легко получить
n - k
Ak, n - 2) S2 - 1, n ( Xn ( 1- Un ) + ( 1- Xn )( 1- dn ) - ( 1- ^k, n ) bj, n - ka2, n - kf"( sk - 1, naj, n - k )
+
j -0
n - k
+
cs3-1, n ( max (|1 - Un |, |1 - dn|, I1 - ^k, n| )) ^ bj, n - kaj, n - k •
j-0
Докажем пару вспомогательных предложений. Лемма 1. Положим
z - z.
m, j, n
J - m P n T - m
Jmpn( 1 - Pn У n'
тогда при n —^
ai, m - exP
(r(a - xy^J + ^TXyx + |z| O(n 1/2)J
равномерно по т e
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.