М ЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 3 • 2013
УДК 532.526.013.2:533.693.1
© 2013 г. Д. В. ШУХОВЦОВ
БИФУРКАЦИИ И КАТАСТРОФЫ В АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ
Представлены результаты экспериментальных исследований продольной устойчивости модели маневренного самолета в широком диапазоне углов атаки, полученные на динамической установке свободных одностепенных колебаний в потоке аэродинамической трубы. Показано, что в статических аэродинамических зависимостях коэффициентов нормальной силы и момента тангажа от угла атаки имеют место катастрофические переходы из одного стационарного состояния в другое. Выявлены свойства и особенности таких переходов. Экспериментально установлено, что потеря продольной устойчивости модели летательного аппарата в потоке при изменении углов отклонения стабилизаторов осуществляется мягко, через бифуркацию Хопфа. На больших углах атаки обнаружены режимы, на которых установившееся движение представляет собой странный аттрактор.
Ключевые слова: аэродинамические характеристики, экспериментальные исследования в аэродинамических трубах, нелинейные системы, бифуркации, катастрофы, устойчивость, странный аттрактор.
Как известно, важную роль при решении задач динамики полета маневренных самолетов играют вопросы, связанные с анализом устойчивости их установившегося движения в широком диапазоне балансировочных углов атаки.
Если на малых углах атаки уравнения движения летательного аппарата могут быть представлены системой линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, то на больших углах атаки, где имеют место отрывные течения, диференциальные уравнения становятся нелинейными.
Следовательно, для адекватного математического моделирования динамики поведения самолета на больших углах атаки необходимы экспериментальные исследования. Одни из таких исследований — испытания моделей летательных аппаратов в аэродинамических трубах. В частности, для решения задачи продольной устойчивости на больших углах атаки необходимо знание топологии продольных статических зависимостей и типа аттрактора как установившегося движения в фазовом пространстве. В свою очередь, известно, что тип аттрактора зависит от изменения управляющих параметров — имеют место бифуркации положения равновесия. В контексте обсуждаемой задачи это означает, что необходимо знать, как меняется характер установившегося движения летательного аппарата в продольном канале при изменении углов отклонения стабилизаторов. Важность определения типа аттрактора объясняется следующим образом. С одной стороны, всякая диссипативная динамическая система описывается как система, состоящая из двух частей: установившегося состояния (аттрактора) и переходного процесса, описывающего эволюцию системы во времени. Переходный режим с течением времени затухает, стремясь к установившемуся состоянию. Таким образом, установившийся режим есть фундаментальное свойство системы [1]. С другой стороны, аттрактор — это особая точка системы дифференциальных уравнений, моделирующих физическое явление и от того, насколько правильно будет определен тип особой точки, зависит адекватность математической модели и изучаемого явления.
Фиг. 1. Модель маневренного самолета в рабочей части аэродинамической трубы
Для исследования проблемы продольной устойчивости на больших углах атаки в аэродинамической трубе малых скоростей на динамической установке одностепенных свободных колебаний проведены статические и динамические испытания модели маневренного самолета. Выбор метода свободных колебаний для исследований выбран не случайно. Этот метод, в отличие от многих других, дает важнейшую информацию о типе аттрактора испытуемой модели в потоке.
1. Методика эксперимента. Экспериментальные исследования проводились на динамической установке свободных колебаний СК-103 ЦАГИ, основу которой составляет шарикоподшипниковый шарнирный узел, обеспечивающий свободное угловое перемещение модели в продольной плоскости относительно ее центра масс. Шарнир закреплялся на подфюзеляжной державке и через кронштейн жестко связывался с моделью самолета. Внутри шарнира размещались тензометрические весы, которые позволяли в процессе испытаний измерять продольные аэродинамические характеристики в связанной с моделью системе координат и индуктивный датчик угла, который фиксировал изменение во времени угла атаки модели. Линейное ускорение измерялось акселерометром, расположенным в хвостовой части модели. На фиг. 1 показана испытуемая модель самолета в рабочей части трубы.
Эксперимент включал в себя проведение статических испытаний (при этом шарнирный узел механически фиксировался, обеспечивая неподвижное положение модели) при различных значениях углов отклонения стабилизаторов. Затем проводились динамические испытания. Модель, удерживаемая в потоке в начальном положении при угле атаки а0, освобождалась и под действием аэродинамических сил выходила на балансировочный угол атаки аш в зависимости от угла установки стабилизаторов ф5(. При этом производилась запись временных рядов нормальной силы У(п), угла атаки а(п) и линейного ускорения а(п), где п — количество отсчетов в реализации.
В статических испытаниях с помощью тензометрических весов измерялись нормальная сила У и момент тангажа Mz. При свободных колебаниях модели момент тангажа в шарнире равен нулю, поэтому его значение рассчитывалось с использованием показания акселерометра по формуле = ^ ■ а/г, где ^ и г — известные момент инерции и расстояние от акселерометра до оси колебаний модели соответственно. Затем
-1
а
□ 1 о 2 ■3 • 4
г су 1 1 1
1 1 1 "л
< 1.96 1.92 л N
50 60
О
-0.12
-0.24
20
40 а,град 60
-0.36
Фиг. 2. Статические аэродинамические зависимости су(а), ш^(а): 1—4 — су(а > 0), а > 0), су(а < 0), шг(а < 0)
значения Г и М обезразмеривались, получая при этом коэффициенты аэродинамиче-
Исследования проводились при числах Маха 0.2 и Рейнольдса 0.9 ■ 106.
2. Результаты исследований. Рассмотрим результаты статических испытаний.
На фиг. 2, а представлены продольные статические зависимости су = су(а), = шг(а), полученные при прямом а > 0 и обратном а < 0 изменении угла атаки в диапазоне а от —10 до 70°. Отметим особенности в поведении экспериментальных кривых на фиг. 2. Зависимости су = су(а), = ш^а) однозначны во всем исследуемом диапазоне углов атаки — статический гистерезис отсутствует. Зависимость шz = шг(а) непрерывна во всем диапазоне, за исключением угла атаки а « 53°, где она терпит разрыв. Такой скачкообразный переход в теории катастроф называют катастрофой [2]. В зависимости су = су(а) подобной катастрофы не видно. Однако, сузив диапазон построения а от 40 до 60°, на угле атаки а « 53° также обнаружен скачкообразный переход су из одного стационарного состояния в другое (фиг. 2, б). Таким образом, в продольных статических характеристиках исследуемой модели существует угол атаки, в окрестности которого происходит катастрофическое изменение значений коэффициентов су, ш^
Дальнейшие рассуждения в статье приводятся относительно коэффициента момента тангажа, поскольку эта характеристика более важна в контексте рассматриваемой задачи.
На фиг. 3 представлено семейство зависимостей = шг(а), полученных при изменении значений углов отклонения стабилизаторов в диапазоне от —35 до —42.5°. Этот диапазон представляется наиболее интересным, так как балансировочное значение угла атаки аш в этом случае попадает в область существования катастрофы.
с
ш
у
z
0
2
1
0
ских силы су и момента шг
-0.2
45
50
55
50 55
50 55
50 55 а,град
Фиг. 3. Зависимости т а - ф^ = —35, —37.5,
х тг(а) при изменении угла отклонения стабилизаторов: 40, -42.5°
Как видно, свойство однозначности зависимости = т^а) сохраняется для всех исследуемых ф^. Важно отметить, что катастрофа в зависимости коэффициента момента тангажа по углу атаки при изменении ф^ сохраняет свое положение по углу атаки а « 53° и величину скачка Атг « 0.07. При ф^ = -35° балансировка модели попадает на начало катастрофы коэффициента момента тангажа. При увеличении угла отклонения стабилизаторов до значения ф^ = -42.5° балансировка изменяется вдоль катастрофы, проходя ее полностью. Это означает, что изменение угла отклонения стабилизаторов в исследованном диапазоне не приводит к изменению балансировочного значения угла атаки.
Для уточнения поведения зависимости коэффициента момента тангажа в области катастрофы были проведены квазистатические испытания, при которых модель перемещалась по углам атаки с угловой скоростью а = 0.5 град/с в потоке аэродинамической трубы. На фиг. 4, а показана реализация т(), записанная в процессе углового перемещения модели. На графике виден скачкообразный переход АВ. На фиг. 4, б показана катастрофа, зафиксированная уже на неподвижной модели (ф^ = -40°, а = 52°) — во время записи реализации произошло резкое изменение коэффициента момента
Приведем некоторые величины, характеризующие скачкообразный переход. Время резкого изменения коэффициента т1 при угловом перемещении модели составляет At« 0.1 с. Учитывая скорость перемещения модели, можно определить диапазон углов атаки, в котором осуществляется резкий переход Аа « 0.05°. Зная Аа и величину скачка Ат^ можно оценить производную на скачке т^ « 80, что более, чем на два порядка
тангажа т .
-0.02
А
-0.04
В
А)
0
1
2
Г, с
Фиг. 4. Временные реализации тг(0, полученные при угловом перемещении модели (а) и на неподвижной модели (б)
больше максимальной величины на гладких участках зависимости mz = тг(а). Таким образом, результаты квазистатических испытаний подтверждают существование катастрофы в зависимости коэффициента момента тангажа от угла атаки и обнаруживают неустойчивую ветвь, вдоль которой изменяется значение тг.
Рассмотрим результаты динамических испытаний, при которых модель совершала свободные колебания в потоке. В эксперименте основное внимание уделялось случаю, когда значение балансировочного угла атаки модели попадает в область существования катастрофы.
На фиг. 5 представлены фазовые портреты для двух значений углов отклонения стабилизаторов: ф5( = —37.5, —40°. Как видно,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.