ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2008, том 421, № 1, с. 18-20
МАТЕМАТИКА
УДК 517.944
БИФУРКАЦИОННАЯ ДИАГРАММА И ДИСКРИМИНАНТ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ ТИПА ТВЕРДОГО ТЕЛА НА АЛГЕБРАХ ЛИ so(2n + 1), sp(2n) И sl(n)
© 2008 г. А. Ю. Коняев
Представлено академиком А.Т. Фоменко 28.01.2008 г. Поступило 08.02.2008 г.
В работах A.C. Мищенко и А.Т. Фоменко [3] уравнения Эйлера для движения твердого тела с закрепленной точкой обобщаются на случай произвольной редуктивной комплексной и вещественной алгебры Ли. Известно, что для таких систем существует лаксово представление со спектральным параметром. Естественно ожидать, что особенности слоения на совместные поверхности уровня интегралов будут определяться соответствующей спектральной кривой, однако общие результаты на эту тему в настоящее время отсутствуют. В работе Ю.А. Браилова [2] доказано совпадение бифуркационной диаграммы и дискриминанта спектральной кривой для случая комплексной алгебры sl(n). Для аналогичных систем с малым числом степеней свободы подобный результат также был известен (например, [6]). В работе Ю.А. Браилова и А.Т. Фоменко [4] высказывается гипотеза о том, что данное утверждение справедливо для всех комплексных полупростых алгебр Ли. В данной работе эта гипотеза доказывается для комплексных классических алгебр so(2n + 1) и sp(2n) и вещественных форм алгебр sp(2n), so(2n + 1), sl(n). Доказательство использует глубокие результаты о нильпотентных элементах полупростых алгебр Ли и является универсальным для комплексных алгебр sl(n), sp(2n) и so(2n + 1), обобщая, в частности, результат Ю.А. Браилова [2].
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть g - одна из комплексных алгебр sl(n), sp(2n) или so(2n + 1). Отождествим алгебру и ко-алгебру при помощи формы Киллинга. Метод сдвига аргумента описан в работе В.В. Трофимова и А.Т. Фоменко [7]. В результате применения этого метода мы получаем коммутативную в смысле скобки Пуассона-Ли подалгебру макси-
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
мальной функциональной размерности в алгебре Пуассона-Ли Р(д), в определение которой в качестве параметра входит регулярный полупростой элемент А е д. Обозначим эту подалгебру через 9А. Она называется подалгеброй Мищенко-Фоменко. Через д ^ См, где N = 1 (ётд + Шд),
обозначим отображение момента. Бифуркационной диаграммой X называется множество особых значений отображения момента Уравнение для спектральной кривой в нашем случае имеет вид Я(Х, ц) = det(Х + ХА - цЕ = 0. Сумма степеней коэффициентов характеристического многочлена равна N, а количество непостоянных коэффи-ентов равно тёд. Таким образом, в многочлене ёе^Х + ХА - цЕ есть ровно N + тёд + 1 слагаемых, среди которых тёд + 1 постоянных. Дискриминант Б спектральной кривой - это подмножество точек С, таких, что соответствующая спектральная кривая имеет особенность, т.е. Я(Х, ц) = 0, Ж(Х, ц) = 0. Исключив при помощи результантов Х и ц, получаем одно алгебраическое уравнение на Б в пространстве С. Замена образующих в подалгебре Мищенко-Фоменко равносильна заданию алгебраического автоморфизма С, т.е. полиномиального отображения, обратное к которому полиномиально. Это означает, что X и Б определены однозначно, с точностью до алгебраического автоморфизма пространства С.
Для бигамильтоновой интегрируемой системы существует эффективный критерий полноты полученного множества интегралов, предложенный А.В. Болсиновым [1]. В этой же работе показано, что метод сдвига аргумента допускает подобную интерпретацию. В работе Ю.А. Браилова [2] критерий Болсинова для метода сдвига аргумента переформулирован так: дифференциалы функций порождают пространство размерности N в точке Х, если и только если плоскость Х + ХА не содержит сингулярных элементов за исключением нуля.
БИФУРКАЦИОННАЯ ДИАГРАММА
19
Пусть ^ - картановская подалгебра д и A е Фиксируем базис Вейля, связанный с этой подалгеброй. Через ах, а2, ..., ак; к = ёт^ = гкд обозначим простые корни данной алгебры. Корневой вектор, соответствующий корню а, обозначим как eа. Помимо A выделим в ^ еще два элемента: ^ такой, что а^о) = 0, аг(^) = 1, г > 2, и h такой, что a1(h) = 0. Элемент ^ задает на алгебре д градуировку
д = © дг; дг = {х\ [х, к] = гх};
г е X
[ д,> д, ]с дг+}.
Согласно работе А.Г. Элашвили и В.Г. Каца [5], для данной градуировки на изучаемых алгебрах найдется нильпотентный элемент е е д1 такой, что аёе: дг ^ дг + 1 является вложением для г < 0 и эпиморфизмом в противном случае. Кроме того, таких элементов - открытое всюду плотное множество в д1. Заметим, что и = еа + а + еа + ... + еа е
е д1 и при этом а&и: ^ ^ д 1 является эпиморфизмом, так как для алгебр sl(n), sp(2n) и ,го(2п + 1) размерности д1 и ^ совпадают, и у аАи отсутствует ядро. Это означает, что е можно выбрать так, что аёе: ^ ^ д1 - эпиморфизм.
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
Известно, что сингулярные элементы в представлении минимальной размерности для 8о(2п + 1) и зр(2п) - это матрицы, у которых существует хотя бы два линейно-независимых вектора с одинаковым собственным значением ц0. Следующая теорема является основным результатом работы.
Теорема 1. Для комплексных алгебр 5о(2п + 1) и 5р(2п) дискриминант спектральной кривой О совпадает с бифуркационной диагра-мой X отображения момента.
Доказательство проводится в несколько шагов.
Лемма 1. Имеет место включение X с О.
Схема доказательства леммы. Если отображение момента вырождается в точке X, то по критерию Болсинова найдется Х0, такое, что X + ^0А - сингулярный элемент. Учитывая предыдущее замечание и то, что производные по ц и X суть линейные комбинации миноров порядка меньше на единицу, чем порядок матрицы X, мы получаем, что dR(X0, ц0) = 0.
Для доказательства включения в обратную сторону доказываем, что если г е О, такое, что спектральная кривая имеет особую точку вида (0,
ц0), то в прообразе еА (г) есть сингулярный элемент. Рассмотрим А е © дг © h, сопряженный А,
г < о
и X = h + е. Сингулярность X следует из того, что
аёх: © дг ^ © дг. Теперь воспользуемся равен-
г > о г > о
ствами, полученными в работе [3] для метода сдвига аргумента:
[dHk, х] = [dHk + 1, А],
где dHk и dHk + 1 - порождающие алгебры 9А степеней к и к + 1 по элементам X соответственно, получающиеся в разложении одного и того же порождающего кольца инвариантов по X (в общем случае для бигамильтоновых систем подобные равенства известны как схема Ленарда-Магри). Легко видеть, что по группе переменных г е С система R(0, ц) = 0, dR(0, ц) = 0 линейна. При помощи описанной градуировки и предыдущих равенств удается построить отображение из плоскости решений данной системы в аффинную
плоскость © дг © ^ © е. Это отображение явля-
г<о
ется в некотором смысле обратным к отображению Еа.
Обозначим через дR некоторую вещественную форму алгебры д, через еА : дR ^ С, через ХА -множество особых точек отображения еА , через
9А - функции, получаемые ограничением 9А на дА. Критерий Болсинова для вещественного случая формулируется следующим образом: дифференциалы функций ^А порождают пространство размерности N в точке X е дА, если и только если плоскость X + ХА, X е С, не содержит сингулярных элементов д за исключением нуля. Отсюда непосредственно следует, что ХА совпадает с X п 1ш еА . Из этого факта и предыдущей теоремы вытекает следущий результат данной статьи.
Теорема 2. Для вещественной формы gR алгебры д пересечение дискриминанта спектральной кривой О с образом отображения момента совпадает с бифуркационной диаграммой XR этого отображения.
В случае, когда в качестве gR выступает овеществление алгебры д в базисе Вейля или ди -компактная вещественная форма (в этом случае получается так называемая компактная серия интегрируемых систем на алгебрах я1(п), ¿р(2п),
5о(2п + 1), см. [3]), ^А состоит из веществен-
нозначных функций, т.е. Еаа отображает gR в К^ Последний случай содержит ряд известных примеров интегрируемых систем из классической механики, поэтому представляет особый интерес.
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК том 421 < 1 2008
2*
20
КОНЯЕВ
Теорема 3. Для компактной формы Qu алгебр sl(n), so(2n + 1), sp(2n) пересечение образа отображения момента с дискриминантом спектральной кривой D совпадает с бифуркационной диаграммой X.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Болсинов A.B. ДАН. 1988. Т. 301. № 5. С. 10371940.
2. Браилов Ю.А. // Мат. сб. РАН. 2003. Т. 194. № 11. С. 2-16.
3. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. // Изв. АН СССР. 1978. Сер. мат. Т. 42. № 2. С. 396-415.
4. Brailov Yu.A., Fomenko A.T. In: Research and Exposition in Mathematics. Recent Advances in Lie Theory. B.: Helderman, 2002. V. 25. P. 45-76.
5. Elashvili A.G., Kac V.G. // Adv. Math. Sci. Ser. 2. 2005. V. 213. № 56. P. 85-104.
6. Audin M. Spinning Tops. A Course of Integrable Systems. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1999. 150 p.
7. Трофимов В В., Фоменко А.Т. // УМН. 1984. Т. 39. № 2. С. 3-56.
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК том 421 < 1 2008
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.