научная статья по теме БИФУРКАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ ЛАМИНАРНО-ТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕХОДА В ПРОСТЫХ ТЕЧЕНИЯХ Математика

Текст научной статьи на тему «БИФУРКАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ ЛАМИНАРНО-ТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕХОДА В ПРОСТЫХ ТЕЧЕНИЯХ»

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 3, с. 523-529

УДК 519.634

БИФУРКАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ ЛАМИНАРНО-ТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕХОДА В ПРОСТЫХ ТЕЧЕНИЯХ^

© 2015 г. И. В. Ериклинцев, С. А. Козлов

(123056Москва, ул. 2-я Брестская, 19/18, Ин-т автоматизации проектирования РАН)

e-mail: sergei.alex.kozlov@gmail.com Поступила в редакцию 12.08.2014 г.

Как альтернативное дополнение к используемым моделям, основанным на турбулентной вязкости, для течений в плоском канале с постоянным градиентом давления и сдвиговом слое с постоянным давлением рассматривается простая схема замыкания RANS (Reynolds — averaged Navier—Stokes, система уравнений Навье—Стокса, осредненная по Рейнольдсу), позволяющая производить расчеты течений при любом числе Рейнольдса, в частности в области ламинарно-турбулентного перехода. Библ. 14. Фиг. 5.

Ключевые слова: сдвиговый слой, плоское течение Куэтта, ламинарно-турбулентный переход, бифуркационная модель турбулентного течения.

DOI: 10.7868/S0044466915030059

1. ТУРБУЛЕНТНЫЕ СХЕМЫ ЗАМЫКАНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Разработанные к настоящему времени многочисленные схемы замыкания цепочки уравнений Рейнольдса приспособлены, в основном, к описанию развитой турбулентности (см. [1]), в них, по существу, моделируются одни и те же физические процессы, ответственные за генерацию и поддержание турбулентности. При этом во многих моделях моделирование турбулентности сводится к нахождению функции турбулентной вязкости, которая некоторым образом добавляется в систему RANS, например с помощью гипотезы Буссинеска (см. [2]). Создать подобным образом модель, находящуюся в хорошем согласии с экспериментом не только в режиме развитой турбулентности, но и в области ламинарно-турбулентного перехода, становится затруднительным вследствие нарушения закона сохранения импульса.

Рассмотрим движение вязкой несжимаемой жидкости в некоторой области. Оно описывается уравнениями Навье—Стокса, дополненными уравнением неразрывности:

dV + + 1дР-vdV = 0, dVk = 0, (1.1)

dt dxk p dxi dxk dxk

где Vt — компоненты поля скоростей (i = 1,2,3), xj — декартовы координаты точек области течения, р = const — плотность, P — давление, v — кинематическая вязкость (здесь и далее предполагается суммирование по повторяющимся индексам).

Для вывода уравнений в осредненных переменных требуется представить поле мгновенных скоростей в виде суммы Vt = Ut + щ, где U(t,x) = {Vt) ~ компоненты скорости, осредненные по ансамблю реализаций течения, а щ — случайные пульсации компонент скорости, для которых (щ) = 0. Из уравнений (1.1) стандартным способом (см. [1]) находятся уравнения Рейнольдса для компонент осредненной скорости Ui(t, x) и тензора корреляций пульсаций скорости xij(t, x) = (щu(t, x)Uj(t, x)) (также будем называть их напряжениями Рейнольдса):

dU+Uk dU+1 ^+AL -vdU 1 — 0,

'k--1----1--1 Tjk — v- | — 0, (1.2)

dt dxk p dx{ dxk \ dxk

Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (соглашение № 14-11-00719).

где р = Р - (Р) — пульсация давления.

Система уравнений (1.2), (1.3) является исходным пунктом для построения большинства статистических моделей турбулентных течений. В схемах замыкания первого порядка применяются соотношения, связывающие компоненты тензора корреляций с другими величинами, входящими в (1.2). Уравнения (1.3) при этом не используются, как было сказано выше. Для построения схем замыкания второго порядка необходимы соотношения, связывающие моменты третьего порядка в правых частях соотношения (1.3) с другими величинами. В общем случае схемы второго порядка являются более сложными в сравнении с первыми, но обладают рядом преимуществ благодаря более точному моделированию основных физических процессов, имеющих место в турбулентных течениях (см. [1]).

2. ЗАМЫКАНИЕ КАШ В СЛУЧАЕ ПРОСТЫХ ПЛОСКИХ ТЕЧЕНИИ

Рассмотрим плоское стационарное течение вдоль некоторого направления х1. При этом только одна компонента скорости и1 отлична от нуля (см. фиг. 1). Также будем считать, что для рассматриваемого течения профили осредненной скорости остаются неизменными вдоль оси х1. В данной постановке производные осредненных компонент скоростей, а также элементов тензора корреляций по направлениям х1 и х3 отсутствуют; также должны отсутствовать компоненты скорости и2 и и3, как было предположено выше. Обозначим характерные масштабы поперечной (вдоль оси х2) длины и продольной (вдоль оси х:) скорости через к и и * соответственно и введем связанное с ними число Рейнольдса Яе = и*к/\.

Выполним замыкание системы (1.2), (1.3) аналогично тому, как это сделано в [3]. В рассматриваемом случае из (1.3) получаем

dUj

- v-

5 2т

22 Я " 1 2

дх2 дх2

12 _

II + 12

(2.1)

iiл p (дг I - 2vdrН

Р\ (дх2 Л \дх2 dx2l

I = -

дх pu)+W

8X2 ^р

(2.2)

(2.3)

Из уравнения (1.2) следует, что стационарный профиль осредненной скорости полностью определяется компонентой т12(х2) тензора корреляций. Для замыкания системы требуется выра-

(a)

U(h) = 0

= const

(б)

U(h) = Uh d<P>

dx1

Х1

Фиг. 1. Ламинарное и турбулентное течения в канале с постоянным перепадом давления (а) и в сдвиговом слое при постоянном давлении (б).

Хп

2

зить т22, 11 и 12 через и1 и т12. Слагаемое 12 описывает процесс диффузии корреляции т12 (см. [3]). Для него мы примем выражение (см. [4])

д Г.. 5x12

I2 I, (2.4)

дХ2 ^ dX2 J

где vT — турбулентная вязкость, в общем случае зависящая от х2. Слагаемое 11 описывает релаксационные процессы, приводящие к затуханию т12. Простое модельное выражение для I1, пригодное как для больших, так и для малых чисел Рейнольдса (см. [1]), может быть записано в виде

I1 =ат12 -Т22т12, а = const > 0. (2.5)

h vT

Подставляя выражения (2.4) и (2.5) в уравнение (2.1), получаем

Чт[ (V + VT ^ + T22 + " T121 + т2 ат12 = 0. (2.6)

дх2 \ дх2 J удх2 Vt J h

Для диагонального элемента т 22 воспользуемся соотношением, связывающим напряжения т12 с плотностью кинетической энергии пульсаций e, предложенным в [5] и [6]:

Т12 = ae. (2.7)

Как замечено в [1], элемент т12 будет знакопостоянным при постоянстве величины a1, что не может быть выполнено для произвольного плоского течения. Выражение для этого коэффициента было предложено в [7]:

a ~ ^. (2.8)

дх2

Предполагая, что турбулентность приближенно является локально изотропной, положим т22 ~ e. Для того чтобы окончательное выражение, связывающее элементы т22 и т12 тензора корреляций, согласовывалось с аналогичным выражением из [3], примем коэффициент пропорциональности зависящим от числа Рейнольдса:

т22 = -с Re(hdUl Т12, С = const > 0. (2.9)

\Uю дх2 J

Наконец, перейдем к безразмерным переменным, используя масштабы длины h и скорости U*:

y = х2, U = ^, 1 = ^, у = ^. (2.10)

h U* U* U*h

Используя соотношение (2.9), (2.10), приведем уравнения (2.6) к окончательному виду (штрих означает производную по y):

-6 ((s + y)t ')'- cMu' + т] + 6 2ат = 0, 6 = — (2.11)

U' v Yy Re

с граничными условиями для корреляции

т (0) = т (1) = 0. (2.12)

Полученная система (уравнение (1.2), замыкаемое уравнением (2.11)) должна описывать рассматриваемый здесь класс простых плоских течений как в ламинарном, так и в турбулентном случае. Заметим, что уравнение (2.11) с граничными условиями (2.12) всегда будет иметь тривиальное решение т = 0, которое соответствует ламинарному режиму течения. В [4] для уравнений такого вида показано наличие точки бифуркации, в которой возникает второе (нетривиальное) решение. В частности, для параметра s (обратное число Рейнольдса) должно существовать некоторое критическое значение scr такое, что при выполнении условия s < 6cr уравнение (2.11) будет обладать единственным отличным от тривиального решением. Именно при наличии второго решения будем говорить, что режим течения является турбулентным.

3. БИФУРКАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ ТУРБУЛЕНТНОГО ТЕЧЕНИЯ В КАНАЛЕ

И СДВИГОВОМ СЛОЕ

Рассмотрим два частных случая описанного выше течения: плоский канал с постоянным перепадом давления (фиг. 1а) и течение между пластинами, движущимися с постоянными отличными друг от друга скоростями (сдвиговый слой, фиг. 1б).

Для течения в канале уравнение (1.2) принимает следующий вид:

АС -vdUiW 1 ^ = а. (3.1)

&2 ^ dx2) р dxj

В качестве масштабов длины и скорости примем толщину канала h и динамическую скорость

U * = (crh)0'5 соответственно. Связанное с ними число Рейнольдса будет варьироваться величиной перепада давления а. Запишем (3.1) в безразмерных переменных (2.10):

(x-sU')' = 1, U(0) = U(1) = 0' (3.2)

Стоит отметить, что построение бифуркационной модели для течения в плоском канале впервые было предложено в [3]. Модель, предложенная в этой работе, совпадает с уравнением для турбулентных напряжений (2.11), за исключением несущественных различий. Расчеты, выполненные с помощью бифуркационной модели в [3], хорошо согласуются с экспериментальными данными (с учетом простоты предложенной модели).

Рассмотрим другой частный случай — течение между пластинами без перепада давления. Положим, что пластина с координатой x2 = 0 покоится, а вторая пластина (x2 = h) движется с постоянной скоростью U* = Uh (фиг. 1б). Число Рейнольдса в данном случае варьируется скоростью верхней пластины. Уравнение (3.1) с граничными условиями для сдвигового слоя в безразмерных переменных примет вид

t-S^ 1 = 0, U (0) = 0, U (h) = 1' (3.3)

dy J

Полученные уравнения для осредненных скоростей (3.2) и (3.3), замыкаемые уравнением для напряжений Рейнольдса (2.11) с граничными условиями (2.12), описывают как ламинарное, так и турбулентное течение в канале и сдвиговом слое соответственно. Увеличение числа Рейнольдса для любого из течений ведет к уменьшению параметра б, в результате чего в уравнении (2.11) и возникает второе решение. Таким образом, в основу моделей рассматриваемых здесь течений ложится единый принцип замыкания цепочки Рейнольдса, приводящий нас к уравнению (2.11), вид которого остается неизменным при переходе от одного частного случая к другому. Для проведения расчетов по каждой из моделей остается выбрать значения модельных параметров а и с, отвечающих за критическое значение числа Рейнольдса, а также выражение для турбуле

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»