ВЕСТНИК ЮЖНОГО НАУЧНОГО ЦЕНТРА Том 10, № 3, 2014, стр. 3-9
= МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
УДК 539.3:534.1
БИФУРКАЦИЯ РАВНОВЕСИЯ МИКРОПОЛЯРНОГО СТЕРЖНЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАДИЕНТНОГО МАТЕРИАЛА В УСЛОВИЯХ КОМБИНИРОВАННОГО НАГРУЖЕНИЯ
© 2014 г. Д.Н. Шейдаков1, И.Б. Михайлова1
Поступила 24.03.2014
В рамках общей теории устойчивости трехмерных тел проведен анализ выпучивания нелинейно-упругого кругового стержня при осевом сжатии и внешнем давлении. Для описания поведения стержня использовалась модель микрополярной сплошной среды. При этом предполагалось, что его упругие свойства изменяются вдоль радиуса. Для модели физически-линейного микрополярного материала получены линеаризованные уравнения равновесия, описывающие поведение неоднородного стержня в возмущенном состоянии. С использованием специальной подстановки исследование устойчивости сведено к решению линейной однородной краевой задачи для системы шести обыкновенных дифференциальных уравнений. В случае кругового стержня из пенополиуретана построены области устойчивости в плоскости параметров нагружения (относительное осевое сжатие и внешнее давление) для различных законов, описывающих изменение упругих свойств стержня вдоль радиуса. Основываясь на этих результатах, в частности, установлено, что микрополярные стержни со степенным характером неоднородности более устойчивы по отношению к осевому сжатию, но менее устойчивы относительно внешнего давления. Кроме того, обнаружено, что небольшое внешнее давление оказывает стабилизирующее влияние на деформацию осевого сжатия кругового стержня.
Ключевые слова: нелинейная упругость, функционально-градиентные материалы, микрополярная среда, устойчивость деформируемых тел, влияние неоднородности, круговой стержень.
ВВЕДЕНИЕ
НАЧАЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ
Проблема устойчивости равновесия деформируемых тел очень важна с теоретической и практической точки зрения, так как исчерпание несущей способности и разрушение инженерных конструкций зачастую происходит именно в результате потери устойчивости под действием внешних нагрузок. Вследствие увеличения числа новых конструкционных материалов данная проблема становится все более актуальной для тел со сложной микроструктурой. Целью настоящего исследования является изучение бифуркации равновесия нелинейно-упругих стержней из функционально-градиентных микрополярных материалов, таких, например, как поликристаллические и композитные материалы, зернистые и порошкообразные материалы, а также пористые материалы [1-3].
1 Южный научный центр Российской академии наук (Southern Scientific Center of the Russian Academy of Sciences), 344006, г. Ростов-на-Дону, пр. Чехова, 41; тел. (863) 250-98-10, e-mail: sheidakov@mail.ru
В рамках модели микрополярной нелинейно-упругой среды [4-9] система уравнений статики при отсутствии массовых сил и моментов состоит из уравнений равновесия для напряжений [10, 11]
Шу D = 0, ШУ G + (С • D)x = 0, (1)
уравнении состояния
D _ dW(Y, L) h g _ dW(Y, L) 5Y , 5L
и геометрических соотношений [12-14]
Y _ C • HT, L x E _ -(grad H) • HT C _ grad R.
H
(2)
(3)
Здесь grad и Шу - операторы градиента и дивергенции в лагранжевых координатах, D и G - тензоры напряжений и моментных напряжений типа Пиолы, L) - удельная потенциальная энергия деформации, Y - мера деформации типа Коши, L -тензор изгибной деформации, C - градиент дефор-
мации, Я и Н - радиус-вектор и собственно ортогональный тензор микроповорота, определяющие положение и поворот частиц микрополярной среды в деформированном состоянии, Е - единичный тензор.
Рассмотрим круговой стержень из микрополярного материала, упругие свойства которого изменяются вдоль радиуса и описываются шестипарамет-рической моделью [10, 15]
Р =1 А(г)гг2(У - Е) +-1 г)^(У - Е)2 +
1
[ц (г) + к (г )М(У - Е) ■ (У - Е )т] +
+| С1( г )^г2 Ь + | С2( Г )1г( Ь ■ Ьт)-+| Сз( г )1г Ь2,
(4)
У = / 'е г 7 е г
/
-ае*7е*
Б = [АУ - Е)Е + п(Ут- Е) + (п + к)(У - Е)]-Н
= [ А« +*(/'-1)] е г -[ А? +1 (а-1)] е г1
А? + -1
г
/
(9)
? = /' + — + а-3, А = + к. г
Краевые условия
е г ■ Б |
-рЛег ■ С-т, 1(0) = 0; Л =аегС, (10)
где А, п - функции, характеризующие изменение классических параметров Ляме, к, с1, с2, с3, - функции, описывающие изменение микрополярных параметров. При осевом сжатии стержня в условиях внешнего гидростатического давления радиус-вектор Я и тензор микроповорота Н имеют вид [11, 16]:
Я = Аг)ея + агег, (5)
Н = ег 7 ек + е ф 7 еф + е* 7 ег, (6)
Я = /(г), Ф = {, Z = а*,
0<г < г0, 0 < { < 2 г, 0 < г < I.
Здесь г, {, г - цилиндрические координаты в отсчет-ной конфигурации (лагранжевы координаты), Я, Ф, Z - эйлеровы цилиндрические координаты, {ег, е{, е*} и {еЯ, еф, е^ - ортонормированные векторные базисы лагранжевых и эйлеровых координат соответственно, а - коэффициент осевого сжатия,/(г) -некоторая неизвестная функция, характеризующая радиальную деформацию неоднородного стержня, г0 и I - радиус и длина недеформированного стержня соответственно.
Из соотношений (2)-(6) следует, что тензор изгибной деформации Ь и тензор моментных напряжений типа Пиолы О равны нулю, а градиент деформации С, мера деформации типа Коши У, и тензор напряжений типа Пиолы Б выражаются следующим образом (здесь и далее ' обозначает производную по г):
/
С = /' е г 7 е я + — е ф 7 е ф + ае * 7 е ^ (7)
г
выражают действие гидростатического давления р (рассчитанного на единицу площади деформированной конфигурации) на боковой поверхности кругового стержня (г = г0) и отсутствие разрывов на его оси (г = 0). С учетом соотношений (7), (9) краевая задача (1), (10) записывается следующим образом:
А' 1\/
г г
/'+
\ А ' +1 ' \ А+1
1
/ +
+
г/ \А+| (а -3)А' -1 '
А+1
= 0,
[А (г0) +1 (г0)]/'(г0) + [ А (г 0) + ар ]
/( га)
г0
(8)
+(а -3) А(г0)- |(г0) = 0,4 /(0) = 0
Решая её, находим неизвестную функцию /(г). В большинстве случаев это делается численно, аналитическое решение может быть найдено только для некоторых простых случаев неоднородности материала.
ВОЗМУЩЕННОЕ РАВНОВЕСИЕ
Предположим, что помимо описанного выше состояния равновесия неоднородного стержня при тех же внешних нагрузках существует бесконечно близкое равновесное состояние, определяемое радиусом-вектором Я + ^ и тензором микроповорота Н - лН х Здесь л - малый параметр, V - вектор добавочных перемещений, ~ - линейный вектор добавочного поворота, характеризующий малый поворот частиц микрополярной среды, отсчитываемый от начального деформированного состояния. Возмущенное состояние равновесия микрополярной среды описывается уравнениями [14]
Шу Б- = 0,
ШУ О • + ^гаё V т ■ Б + С т ■ Б •] = 0, (11)
Б • = — Б (Я + Н -ЩН X ~ )| _=0, —Л
О • = — О (Я + Н -ЩН X ~ )|л=0, —л
где D• и G• - линеаризованные тензоры напряжений Уравнения нейтрального равновесия (11) с уче-
и моментных напряжений типа Пиолы. В случае том соотношений (6)-(9), (12), (13), (16), (17) запи-
неоднородного физически-линейного микрополяр- сываются следующим образом:
ного материала (4) для этих тензоров справедливы / А + | \ п(А + п)
следующие соотношения [17]: (А +1) У» + 1А +1 + хг
D• = (Х(ггY•)Е + (п + к)Y• + пУ^-И - (12)
(А +1) VR + (А ' +1
-VU -
(13)
- (Аtr(Y - Е)Е + п(Ут - Е) + (п + к)(У - Е)) - И X G^(т^ГГ)Е + с2С3L•г)-И --(71(Л )Е + с 2 L + С3 Lг )-И X Y• = (gradV + С X~)-Ит, L• = gradИт.
Здесь У - линеаризованная мера деформации типа Коши, L• - линеаризованный тензор изгибных деформаций.
Линеаризованные краевые условия на боковой поверхности стержня (г = г0) записываются следующим образом [18]:
ег - D• | г=г0 = -рЛег - С-т - [(Diy V)Е - Gradvт],
А - А'r + (n +к) g + n
VR + ß(А + n) V' + ßA ' Vz -
e r' G I r = ro 0,
(14)
где Div и Grad - дивергенция и градиент в эйлеровых координатах.
Будем полагать, что на торцах стержня (z = 0, l) отсутствуют силы трения и задано постоянное нормальное перемещение. Это приводит к следующим линеаризованным граничным условиям:
ez D 'eR I z = 0, l = ez D 'еФ I z = 0, Г
e z-V | z=0,i = 0,
e ■ D • e
Z z = 0, l '
e r ~ |
=o, l
= e~ |z=o,i = 0.
п(А - А'r + 3n + 2к) n ^ nB3 ^ - —-^-L Vu + ßB2 Хф - -3Xz = 0,
r 2 r
n( А + n )rr' n( А + n' r + 3n +2i)
(П + к) Vu --VR ----Vr-
I , , n + к \T , nß(А + n) т n „ +( n' + к' + ---^ Vz - ßB i Xr -
( А + n) n 2 + n' r + (n + к) g
VU + B 3 XZ + B3 XZ = 0,
ß (А + n ' r + n) nB ^ (n + к) Vi - ß(А + n) VR - ^^-^ Vr + —lXr-
nß(А + n) ¡ , , n + к , ,
- Vu + ( n ' + к' + --IVZ - B2XU-
(А + n) ß2
g-1
(n + к)
Vi -1 B2 + — )Xu = 0
cXR
(18)
c ' + — )XR - ———XU - ß(c - T2)XZ -
r I r
(15) -
Запишем представление вектора добавочного перемещения v и вектора добавочного поворота ~ в базисе эйлеровых координат:
v = vReR + уфеф + vfiz ,
~ = ~ReR + юфеф + ~zez . (16)
Для решения линеаризованной краевой задачи (11), (14), (15) для системы шести дифференциальных уравнений в частных производных используется следующая подстановка:
vR = VR(r)cosn{ cos bz, ~R = XR(r)sinn{ sin bz, vф = Vu(r)sinn{cosbz, мф = Хф(r)cosn{sinbz, vz = Vz(r)cos n{ sin bz, tóz = Xz(r)sinn{ cos bz,
(17)
o rm „ - v 7
b = —, m, n = 0,1,2,...
которая приводит к отделению переменных { и z в задаче и позволяет удовлетворить линеаризованным граничным условиям (15) на торцах стержня.
c-c1 r+C2(g-Д) /f ---- I —+a p B1
Xr - ßc1 Xz +
n(С - C1 r + C2) о „ , nB1
----Xu -[ßB1 Vu +-Vz = 0,
С2 XU
n(С - С2)
XR
n(c + c3 r + С2)
Xfi
, , c^^ nß(С - С2) n „ „,
С2 + — )Xu --X' + ßB2 Vr + B2 Vz -
r r
(c - c2) n + c3 r + c2 g
-(f ' + a )B 2
Xu = 0,
rv I R/ \D' nß(c- c2^ nB3 c2 X' + ß (c - c2) Xr --Xu --Vr
c2 + —p XZ
r
ß (c + c3 r - c2)
B 3
^^Vu -r
cß2+Пт c2-B 31 f
Xr - B 3 V' -
f) XZ = 0.
r
2
г
2
г
г
r
2
г
Здесь использованы следующие обозначения:
7 = 71 + 72+ 73, С = П2+ г2 32 + 1, /
В1 = + ар + А? -1, В2 = п(/' + а) + А? -
В 3 = /' + /) + А? -1.
Линеаризованные краевые условия (14) на боковой поверхности стержня примут вид А (г0) + ар
[ А (г0) +1( ГЯ Ы + ^ Гя( г0) + п¥ф( г0)] ■
-з
А (ъ) +р
г0
/(
Гz (г0) = 0,
ар - а(г0)
[ц(г0) + к(г0)] Гф(г0)^ [пГя(^) + Гф(г0)] ■
г0
[пЫ + к(ГZЫ + 3
+В 3(г0) Xz Ы = 0,
/( г0)
р
г0
- п (
Гя(г0)
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.