ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2012, том 444, № 1, с. 35-37
УДК 531.1
ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
БИФУРКАЦИЯ РЕЗОНАНСА ПРИ ФЛАТТЕРЕ ЛОПАТОК РОТОРА ТУРБОКОМПРЕССОРА © 2012 г. Академик Р. Ф. Ганиев, О. Б. Балакшин, Б. Г. Кухаренко
Поступило 02.02.2012 г.
Изучается бифуркация траектории резонанса лопаток ротора аксиального турбокомпрессора, приводящая к флаттеру каскада лопаток. Ротор турбокомпрессора обладает круговой симметрией, что составляет основу синхронных колебаний каскада лопаток. Соседние лопатки ротора колеблются с одинаковой частотой и постоянным сдвигом фазы стт. Величина этого сдвига фаз, обеспечивающая периодичность на колесе ротора, отличается от постоянной фазы при резонансе и определяется формулой
2пт
G m = '
Nh
m = 0, ±1, ±2,..., ± (Nh -1),
(1)
Институт машиноведения им. А.А. Благонравова Российской Академии наук, Москва
Пусть ф — угол по окружности статора компрессора. В системе координат, связанной со статором компрессора (индекс Р), одномерное азимутальное распределение давления рР ($, ф) при вращающемся срыве потока может быть разложено в ряд Фурье по круговым модам, характеризуемым числом т узловых диаметров — порядком круговой моды, в виде
p (t, ф) = Re
(
Y
I I
гтп ехр(/(2я/„(0)г + тф))
_ п=1 V т=-го )_
где Ртп = А^Хр (/Ф тп ) , ¿тп , Ф тп - соответственно амплитуда и фаза [4]. В системе координат, связанной со статором компрессора, вращающийся срыв
потока с частотой /(а\ п = 1,2,3,..., возбуждает все круговые моды (акустические диаметральные моды) порядков т = ±1, ±2, ±3,... с этой частотой. Переход в систему отсчета, связанную с колесом ротора (индекс Я), соответствует преобразованию ф ^ ^ Ф — где /К — частота вращения ротора, и
формула для распределения давления рК($, ф) при вращающемся срыве потока имеет вид
Я/
(3)
где Nb — число лопаток в секции колеса ротора компрессора, m определяет число узлов для круговой моды синхронных колебаний каскада лопаток ротора (называется также числом ее узловых диаметров) [1, 2]. Сдвиг фазы между колебаниями соседних лопаток ротора определяет аэродинамическое демпфирование на крутильной или из-гибной частоте лопатки, которое зависит от параметров m и Nb. В диапазоне сдвига фазы am от 0 до 180°, т.е. при числе наиболее значимых диаметров m = 1, 2, 3, аэродинамический фактор демпфирования (логарифмический декремент) 8 положительный и круговые моды коллективных колебаний лопаток неустойчивы [3]. Частота fmD моды пульсаций давления воздушного потока с m узловыми диаметрами связана с частотами крутильной моды fT и вращения ротора компрессора fR формулой
fmD = fT + mfR. (2)
Вращающийся срыв — это локализованная ячейка разделения (и/или обращения) потока, которая вращается вслед за ротором с частотой порядка от 30 до 70% от частоты вращения fR ротора. При вращающемся срыве потока в проточной камере компрессора имеют место почти периодические пульсации давления воздуха с частотой f1(0) < fR меньше частоты вращения ротора.
Р (t, ф)
= Re
I I PmexPO'(2TC/„<0)t + т(ф - 2tc/r0))
_ n=1 V m=—
Ю f с
= Re
I I PmexpdO-niff0 - mfR)t + mф))
_ n=1 Vm=-a
. (4)
В результате спектр частот пульсаций давления потока, воздействующих на отдельную лопатку ротора, дается формулой
(5)
/пт = п/1(0) - т/ц,
п = 1,2,3,...., т = ±1,±2,±3,... При срывном флаттере колебания лопаток ротора копируют пространственное распределение пульсаций давления воздушного потока (4). В результате выполняются равенство собственной частоты лопаток одной из частот (5) и условие синхронных колебаний со сдвигом фаз (1).
Условия резонанса лопаток в системе ротор— лопатки и возникновения синхронных колеба-
35
3*
36
ГАНИЕВ и др.
х, В 0.8
-0.2 -0.4 -0.6 -0.8
/, Гц 650
600
550
500
450
400
350
300
250
200
200
г, с
200
г, с
Рис. 1. Запись колебания лопатки ротора в процессе наступления флаттера.
Рис. 2. Зависимость от времени: оборотной частоты /к (1), второй (2) и третьей (3) гармоник оборотной частоты.
5, с-1 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0
-0.2 -0.4
/т, Гц
- 2/ ' \ \ \ \ \ \ \ \
1111 Л ......
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220
г, с
Рис. 3. Зависимость фактора демпфирования от времени при бифуркации резонанса на частоте флаттера /т (1) и на третьей гармонике оборотной частоты /к (2).
200
г, с
Рис. 4. Зависимость от времени частоты флаттера /т.
ний со сдвигом фаз (1) (флаттера) на их собственной частоте в системе ротор—поток—лопатки препятствуют их одновременному наблюдению. В области резонанса в записях колебаний лопаток энергетически доминирует резонансная гармоника оборотной частоты ротора. В области флаттера, наоборот, энергетически доминирует его частота. Различие фазовых соотношений для колебаний лопаток при резонансе и флаттере приводит к явлению бифуркации траектории развития резонанса и его замещению флаттером лопаток ротора. При резонансе, возникающем при совпадении гармоники оборотной частоты ротора
с одной из собственных частот лопатки, колебание каждой лопатки имеет одинаковую разность фаз 180° с колебанием ротора на резонансной гармонике оборотной частоты. Непрерывный переход от резонанса к флаттеру лопаток с другим сдвигом фаз (1) невозможен. Стандартная для резонанса разность фаз 180° между колебаниями лопаток и возбуждением от гармоники частоты вращения ротора не может выполняться более чем для одной лопатки ротора. Настоящая работа основана на идентификации спектральных параметров по записям переходного процесса для колебаний лопаток ротора аксиального турбокомпрессора
БИФУРКАЦИЯ РЕЗОНАНСА
37
(рис. 1) в формате линейной теории колебаний. Анализ спектральных параметров и построение модели совмещены в компьютерной технологии спектрального анализа по методу Прони [5]. Спектральная декомпозиция Прони последовательного сегмента временного ряда имеет вид р
х[к] = ^4/М])^1 + п[к], к = 1,2,..., N, (6)
I=1
где р — число полюсов сегмента ряда; 1[Г] = = ехр(8[/] + у • 2п/[/]), I = 1,2,..., р, — полюса, где 5[/] и /[I] — соответственно фактор демпфирования и частота; г[1] = А[/]ехр(/ф[/]), I = 1,2,..., р, — вычеты в этих полюсах, где А[1 ] и ф[/] — соответственно амплитуда и фаза; п [к] — аддитивный шум. Оценка временной зависимости спектров факторов демпфирования и частот |5[/], /[/], I = 1,2,..., р} и соответствующих им спектров амплитуд и фаз {А[/],ф[/],/ = 1,2,..., р} осуществляется по записи колебания в результате последовательного сдвига временного окна фиксированной длины N (6). Для исследуемого аксиального компрессора на рис. 2 показаны временные зависимости частоты вращения ротора /К < 213 Гц и ее второй и третьей гармоник, определенные по записи колебания лопатки (рис. 1). На рис.1 резонанс лопаток на собственной крутильной частоте /т = 666 Гц становится заметным при г = 60 с. Бифуркация резонанса и переход к крутильному флаттеру происходят при г = 80 с, когда значение третьей гармоники частоты вращения ротора /К = 639 Гц отличается от частоты резонанса /т = 666 Гц на
27 Гц (рис. 2). После этого колебание каскада лопаток ротора развивается по сценарию флаттера. Смена резонанса флаттером лопаток подтверждается временными зависимостями для фактора демпфирования. На рис. 3 представлены зависимости от времени фактора демпфирования на третьей гармонике частоты вращения ротора 639 Гц и крутильной частоте /т = 666 Гц. Представленные на рис. 3 временные зависимости демпфирования подтверждают явление бифуркации резонанса и наступление флаттера лопаток ротора турбокомпрессора. Горизонтальный участок временных зависимостей демпфирования соответствует постоянной частоте вращения ротора /К = 213 Гц. Особенность развития флаттера на крутильной частоте лопаток — ее убывание (рис. 4) [3]. Стабилизация частоты вращения ротора турбокомпрессора не прерывает процесс развития флаттера каскада лопаток.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ганиев Р.Ф., Ковальчук П.С. Динамика систем твердых и упругих тел. М.: Машиностроение, 1980. 208 с.
2. Ганиев Р.Ф., Фазуллин Ф.Ф. // Докл. АН УССР. Серия А. 1976. № 11. С. 92-97.
3. Ганиев Р.Ф., Балакшин О.Б., Кухаренко Б.Г. // ДАН.
2009. Т.427. № 2. С. 179-182.
4. Ганиев Р.Ф., Балакшин О.Б., Кухаренко Б.Г. // ДАН.
2010. Т. 431. № 1. С. 36-38.
5. Балакшин О.Б., Кухаренко Б.Г. // ДАН. 2007. Т. 417. № 5. С. 627-630.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.