МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 1 • 2013
УДК 531.38; 681.5
© 2013 г. Ю. Н. ЧЕЛНОКОВ
БИКВАТЕРНИОННОЕ РЕШЕНИЕ КИНЕМАТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ ТВЕРДОГО ТЕЛА И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ КИНЕМАТИКИ РОБОТОВ-МАНИПУЛЯТОРОВ
Рассматривается в кинематической постановке задача приведения связанной с твердым телом системы координат к опорной (программной) системе координат, движущейся относительно основной системы координат с заданным мгновенным винтом скоростей по заданной траектории. В качестве математической модели движения используются бикватернионные кинематические уравнения движения твердого тела в нормированных и ненормированных бикватернионах конечных перемещений, а в качестве управлений — дуальные ортогональные проекции мгновенного винта скоростей движения тела на связанные с ним координатные оси.
Предложены различные виды коррекции (стабилизации), являющиеся бикватернионными аналогами позиционной и интегральной коррекций. Показано, что для предлагаемых видов коррекции получаются линейные (без линеаризации) и стационарные бикватернионные уравнения ошибок, инвариантные относительно любого выбранного программного движения опорной системы координат, а использование ненормированных бикватер-нионов конечных перемещений и четырехмерных дуальных управлений позволяет построить регулярные в целом законы управления. Построено общее решение уравнений ошибок, установлены условия асимптотической устойчивости программного движения. Дано приложение построенной теории кинематического управления движением к решению обратных задач кинематики роботов-манипуляторов.
Рассмотренная задача управления является обобщением изученной в [1, 2] кинематической задачи приведения связанной с твердым телом системы координат к опорной системе координат, вращающейся с заданной (программной) абсолютной угловой скоростью, а излагаемый метод решения обратных задач кинематики роботов-манипуляторов — развитием метода, предложенного в [3—5].
Ключевые слова: твердое тело, кинематическое управление, программное движение и управление, стабилизация, коррекция, манипулятор, обратная задача кинематики, устойчивость движения, бикватернион, кинематический винт.
1. Введение. В статье рассматривается задача построения с использованием принципа обратной связи кинематического винта скоростей, сообщение которого твердому телу обеспечивает его асимптотически устойчивый перевод из произвольного начального положения на любую выбранную программную траекторию винтового движения и дальнейшее асимптотически устойчивое движение по этой траектории с
заданным (программным) кинематическим винтом скоростей. Изучаемая задача относится к классу так называемых кинематических задач управления движением твердого тела. В кватернионной постановке задачи управления вращательным движением твердого тела впервые рассматривались в [6—8], а затем в [1, 2, 9—13].
В работах [8, 12] изучалась задача кинематического оптимального (в смысле быстродействия) пространственного разворота твердого тела. В этой задаче (а также в других кинематических задачах управления вращательным движением) роль управления играет вектор угловой скорости твердого тела. Фазовой переменной является нормированный кватернион ориентации твердого тела, математическая модель движения имеет вид кватернионного кинематического уравнения вращательного движения. Граничные условия накладываются на кватернион ориентации твердого тела. Эта задача для интегрального квадратичного (в отношении проекций вектора абсолютной угловой скорости твердого тела) функционала качества изучалась в работе [10]. В работах [1, 2, 6—9] рассматривалась кинематическая задача управления ориентацией твердого тела в рамках теории нелинейной стабилизации (с использованием кватер-нионных уравнений углового движения в отклонениях и управления, построенного по принципу обратной связи), а в работах [11, 13] — в рамках теории оптимальной нелинейной стабилизации.
Задача построения оптимального в смысле быстродействия винтового перемещения твердого тела из заданного начального положения в требуемое конечное в биква-тернионной постановке изучалась в [12, 14]. Для решения задачи использованы би-кватернионные кинематические уравнения винтового движения твердого тела, предложенные в [15].
Рассматриваемая задача является обобщением исследованной в [1, 2, 13] задачи построения вектора угловой скорости, сообщение которого твердому телу обеспечивает его асимптотически устойчивый перевод из произвольного начального углового положения на произвольно выбранную программную траекторию углового движения и дальнейшее асимптотически устойчивое движение по этой траектории с заданной (программной) угловой скоростью. В изучаемой кинематической задаче управления движением твердого тела роль управления играет кинематический винт твердого тела, фазовой переменной является нормированный или ненормированный бикватернион перемещения твердого тела, математическая модель движения имеет вид бикватерни-онного кинематического уравнения движения свободного твердого тела. В статье приводится решение задачи в двух постановках: с использованием бикватернионных кинематических уравнений движения в нормированных бикватернионных переменных и в ненормированных бикватернионных переменных. При этом в первом случае в качестве управления выступает трехмерный винт управления (точнее, бикватернион кинематического винта с нулевой скалярной частью), а во-втором — четырехмерный би-кватернион управления с ненулевой дуальной скалярной частью, которая отвечает за изменение нормы бикватерниона конечного перемещения твердого тела (точнее, отвечает за управление нормой этого бикватерниона). Показывается, что использование ненормированных бикватернионных переменных позволяет построить регулярные законы управления, не содержащие особых точек, в то время как использование нормированных бикватернионных переменных приводит к законам управления, содержащим особую точку.
Основное внимание в работе уделяется задаче построения стабилизирующего (корректирующего) управления. Стабилизирующее управление формируется по принципу обратной связи в виде нелинейной бикватернионной функции компонент бикватер-ниона ошибки по местоположению твердого тела (угловому и линейному) так, чтобы нелинейные нестационарные дифференциальные уравнения возмущенного движения твердого тела, замкнутые построенными законами управления, принимали эталон-
ный вид, инвариантный относительно любого выбранного программного движения: вид дуальных линейных стационарных дифференциальных уравнений первого или второго порядка относительно бикватернионной переменной, характеризующей конечную ошибку по местоположению твердого тела. Постоянные коэффициенты (скалярные, матричные, бикватернионные) этих (эталонных) уравнений имеют смысл коэффициентов усиления нелинейных обратных связей по местоположению тела, реализуемых системой управления движением твердого тела, а сами уравнения описывают эталонную динамику переходных процессов. Это позволяет аналитически точно определять коэффициенты усиления нелинейных обратных связей исходя из желаемых качественных и количественных характеристик переходного процесса.
Центральную роль в построенной теории играют нелинейные нестационарные дифференциальные уравнения возмущенного движения твердого тела. Использование бикватернионов конечных перемещений позволяет получить компактные и наглядные уравнения возмущенного движения твердого тела, удобные для построения асимптотически устойчивых в большом или в целом управлений движением твердого тела. В работе рассматриваются два бикватернионных способа описания ошибки по местоположению твердого тела: с помощью бикватерниона ошибки положения, определенного своими компонентами в основной системе координат, и с помощью биква-терниона ошибки положения, определенного своими компонентами в связанной с твердым телом системе координат (с помощью собственного бикватерниона ошибки положения). Кроме этого, рассматриваются два способа формирования полного управления: винтовой, когда это управление формируется в виде винтовой суммы стабилизирующего и программного управлений (кинематических винтов); формальный, когда дуальные ортогональные проекции полного управления на оси связанной системы координат формируются в виде суммы дуальных ортогональных проекций программного и стабилизирующего управлений (кинематических винтов) на оси программной и связанной систем координат соответственно (т.е. на оси разных систем координат). Полученные с помощью этих способов дифференциальные уравнения возмущенного движения различаются как по форме, так и по смыслу используемых переменных, что приводит к разным законам формирования управления.
На основе двух разных бикватернионных дифференциальных уравнений возмущенного движения построены две группы законов управления, использующих различные кинематические параметры движения твердого тела: винтовые части нормированных бикватернионов перемещений и ненормированные бикватернионы перемещений. Использование нормированных бикватернионов перемещений в теории и практике управления движением твердого тела и роботов-манипуляторов стало достаточно распространенным, поскольку они являются наиболее компактным и удобным средством математического описания винтового движения твердого тела. Использование (при синтезе второй группы законов управления) ненормированных бикватер-нионов перемещений приводит к необходимости введения расширенного (четырехмерного) бикватерниона управления вместо обычно используемого трехмерного винта управления. Роль переменной состояния твердого тела играет в этом случае ненормированный бикватернион перемещения твердого тела, а роль управления — бикватернион кинематического винта с ненулевой скалярной частью. Такое введение дуального вектора состояния и дуального вектора управления позволяет провести синтез четырехмерного стабилизирующего управления в бикватернионном виде без разделения бикватернионных уравнений движения на скалярную и винтовую части. Выделение скалярной и винтовой частей, необходимое для построения кинематическог
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.