БИЛИНЕИНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НАПРЯЖЕННОСТИ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ В ЗАДАЧЕ О ГАЛЬВАНОМАГНИТНЫХ СВОЙСТВАХ КОМПОЗИТОВ
Б. Я. Балагуров*
Институт биохимической физики им. Н. М. Эмануэля Российской академии паук
1193:Ц, Москва, Россия
Поступила в редакцию 21 августа 2014 г.
Рассмотрены некоторые общие свойства тензора эффективной проводимости а,-: композита, помещенного в магнитное поле напряженности Н. Показано, что производные от составляющих тензора <т,-: по их аргументам могут быть выражены через различные билинейные характеристики — средние значения произведений напряженностей электрического поля в исходной и «транспонированной» (отличающейся от исходной заменой Н —> —Н) системах. При Н —¥ 0 из полученных общих формул следуют известные выражения для коэффициента Холла и магнитосопротивления, справедливые для случая слабых магнитных полей.
ЕЮ1: 10.7868/80044451015010149 1. ВВЕДЕНИЕ
Изучение гальваномагнитных свойств неоднородных сред (в частности, композитов) представляет значительный интерес как с прикладной, так и с общефизической точек зрения. Хотя аналитический подход к этой задаче наталкивается на серьезные трудности, в двумерном случае в ее решении имеется определенный прогресс. Так, Дыхне [1] с помощью преобразования симметрии нашел в явном виде эффективный тензор проводимости сгс двумерной двухкомпонентной системы с критическим составом. В работах [2,3] установлен изоморфизм задач о гальваномагнитных свойствах двумерной бинарной системы и ее проводимости в отсутствие магнитного поля. Найденные в работах [2,3] соотношения изоморфизма позволили выразить составляющие тензора <тс через гальваномагнитные характеристики отдельных компонент и эффективную проводимость системы при Н = 0. Тем самым задача о гальваномагнитных свойствах двумерных двухком-понентных систем произвольной структуры фактически получила полное решение.
Преобразование симметрии, предложенное в работе [1] и использованное в работе [3], не переносит-
Е-таП: Ьа1ар;иго\гйч1<ют.chph.ras.ru, byabalagurovifflmail.ru
ся на трехмерный случай, так что здесь точных результатов столь же общего характера, как для двумерных систем, не найдено. По этой причине для трехмерных систем аналитические результаты получены только в некоторых предельных случаях. Так, например, в случае произвольных магнитных полей тензор эффективной проводимости сгс вычислялся в работах [4 6] для слабонеоднородной среды и в [6] в линейном по концентрации включений (произвольной формы) приближении. Коэффициент Холла в слабом магнитном поле исследовался аналитическими методами в работах [7,8] и численными в [9,10]. Последовательная теория гальваномагнитных свойств бинарных композитов в случае слабого магнитного поля дана в работе [11], где найдены общие выражения для коэффициента Холла и магнитосопротивления. В [11], кроме того, обращено внимание на важность исследования различных парциальных квадратичных эффективных характеристик средних значений квадратов напряженности электрического поля, вычисленных по объемам отдельных компонент.
Перспективность изучения подобных среднеквадратичных величин была продемонстрирована при численном исследовании [12] проводимости (при Н = 0) неупорядоченных трехмерных решеток. В работе [12], например, найдена производная от безразмерной эффективной проводимости компози-
та по одному из со аргументов без использования численного дифференцирования. Как показано в [12], определение среднеквадратичных характеристик напряженности электрического поля дает возможность более детально, чем в ходе стандартного численного эксперимента, исследовать окрестность порога протекания точки фазового перехода металл диэлектрик. Такой комплексный численный эксперимент позволяет провести всестороннюю проверку справедливости гипотезы подобия [13,14].
В настоящей работе обсуждаются некоторые общие свойства эффективного тензора проводимости <тс композитов, помещенных в магнитное поле Н произвольной величины. Основное внимание уделено выяснению связи производных от <тс с напряженностью электрического поля Е(г) в среде. Показано, что производные от составляющих тензора <тс по соответствующим аргументам выражаются через парциальные билинейные эффективные характеристики средние (по объемам отдельных компонент) значения произведений напряженностей электрического поля в исходной и «транспонированной», отличающейся от исходной только заменой Н — Н, системах. Рассмотрен также случай слабого магнитного поля и выяснено, как из общих формул настоящей работы в пределе Н —¥ 0 следуют результаты, полученные в работе [11].
2. ТЕНЗОР ЭФФЕКТИВНОЙ ПРОВОДИМОСТИ
Обсудим сначала постановку задачи о гальваномагнитных свойствах композита и введем необходимые обозначения. Для вычисления тензора эффективной проводимости неоднородной среды необходимо решить уравнения постоянного тока
гсЛЕ = 0, <1пч = 0 (1)
при соответствующих граничных условиях. В линейной задаче плотность тока j и напряженность электрического поля Е связаны законом Ома
j=¿(r)E, (2)
где <т(г) локальный тензор проводимости среды. Тензор эффективной проводимости сгс определяется обычным образом:
Ш = <МЕ), (3)
где (...) среднее по объему образца V при V ос.
Проводимость исходно изотропной среды, помещенной в магнитное поле напряженности Н, описывается тензором
( ох <7а 0 \
£Т = (Тх 0
\ 0 0 О": /
где принято, что поле Н направлено вдоль осп г. Для упрощения последующих формул в (4) введены обозначения стх = стхх = ауу, а- = <т--, ста = стху = = — гтух для поперечной, продольной и холловской составляющих тензора проводимости <т. Такой же вид, как (4), имеет и тензор эффективной проводимости <тс.
Для бинарного композита тензор а (г) принимает постоянные значения а\ и £т2 соответственно в первой н второй компонентах. Эффективный тензор проводимости в этом случае зависит от семи аргументов:
¿с = &с(Р\<Г1х1<Г1-.1<Г1а\(Г2х1<Г2-,(Г2а), (5)
где р безразмерная концентрация (доля занимаемого объема) первой компоненты. Определение трех многопараметрических функций асх, <тс. и сгса вида (5) является основной задачей теории гальваномагнитных свойств двухкомпонентных композитов. Эта задача крайне сложна и в общем виде вряд ли разрешима. В то же время некоторые общие свойства тензора <тс могут быть установлены без решения уравнений постоянного тока (1) с заданным а (г). Такой подход, использующий, как и в работе [11], следствия различных преобразований симметрии, естественно назвать феноменологическим.
Как отмечено, например, в работах [3,11], уравнения постоянного тока (1) сохраняют свой вид при преобразовании
Е = Е\ л = л' + СЕ', (6)
где С независящий от координат произвольный антисимметричный тензор: ; = С'т ■ Тензор проводимости «штрихованной» системы имеет вид
&'(г) = а(г)-С. (7)
Таким же соотношением связаны тензоры эффективной проводимости исходной <тс н штрихованной а'с систем:
<тс = а'с + С. (8)
Рассмотрим бинарную среду и положим С = £т2а, где а2а антисимметричная (холловская) часть тензора проводимости второй компоненты <т2. Тогда в
штрихованной системе для холловских составляющих получаем: а!2а = 0 и а'1а = <т1а — <т2а. Таким образом, тензор а'(: зависит от <т1а и <т2а только в виде разности (Т1а — <т2а. Это означает, что в исходной системе величины асх, ас, и аса —ача также зависят ТОЛЬКО ОТ (Т1а — 0-2а • Заметим, ЧТО при (Т1а = <Т2а = аа имеем аса = аа.
Как известно, при изменении знака напряженности магнитного поля тензор проводимости переходит в транспонированный: <т(—Н) = <тт(Н). Поэтому составляющие ах и а- четные функции Н, а аа нечетная функция Н: ах(—Н) = ах(Н), <т,(-Н) = <т-(Н), сга(—Н) = —ста(Н). Этими же свойствами обладает и тензор эффективной проводимости <тс. Таким образом, соображения симметрии и четности приводят к выводу, что составляющие тензора <тс могут быть представлены в виде
= ocí, (р-, а1х, а!-/, а2х, о2,-, о1а - <т2а),
v = .г.//.
О)
Оса = <72а + (oía ~ 02а) X
X F (jp; 0\х , <7"1 - ; 0"2х , <72: i <7la ~ <Т2а ) ■ (Ю)
Здесь функции асх и F раскладываются в ряд по четным степеням <т1а — <т2а. Заметим, что выражение (10) записано с учетом условия аса = аа при (т1а = а2а = аа. Отметим также, что при Н 0 холловские составляющие a.¡a лииейиы по Н, а поправки в выражениях для а¡х и a.¡, квадратичны. Этими же свойствами обладают и составляющие тензора <тс.
Из формул (9), (10) следует, что производные от а(:х, <тс- и аса по аргументам <т1а и <т2а связаны между собой соотношениями
дас
дас
da-
la
да
v = .(;,
1а
да г
до2а
В (12) учтено, что
dF
= 1
да г
да
1а
da-
la
dF да
la
(11) (12)
(13)
Равенства (11), (12) позволяют ограничиться вычислением производных только по одному из аргументов: (Т1а или <т2а.
Величины асх, ас- и аса являются однородными функциями первого порядка по отношению к аргументам а}х, (Т.;. и ща. Поэтому по теореме Эйлера об однородных функциях должно выполняться равенство
= Е
дас дас дас 1 aix---h <r.¿- —--b aia -- } . (14)
da.¡:
da
da.in
В то же время величина I*1 нз (10) является однородной функцией нулевого порядка, так что для нее имеем
Е
dF dF dF . n aix ---h o i- ---h aia -- } = 0. (lo)
da,.
da¡
da.¡,
Равенства (14) и (15) справедливы для /¿-компонентных (г = 1,... ,п) сред. Для бинарных систем эти соотношения с учетом (11) (13) могут быть преобразованы к виду
ас = а2о
Е
¿=i
Е
¿=i
dF daix
da(: das,
dF das-
да с
das.
dác:
(Ola ^ 02a)-;-, (16)
doia
dF
+ {oía ~ 02a) - = 0. (17)
dola
В (16) á2a антисимметричная часть тензора проводимости второй компоненты <т2.
Для бинарных случайно-неоднородных сред одновременная замена р 1 — р и а\ ^ а2 не меняет их макроскопических свойств, так что
óc(p',ói,(T2) = ас(1 — р\ á2, ái)• (18)
Отсюда с учетом (9) и (10) следуют соотношения
осv (р\ oix, <ti -; а2х, о-2 -; а1а - а2а ) =
= ocí,( 1 — p\ a-2x■o-2-', o\x, <Ti-; a±a (19)
F('P\ oix, (Ti~; o2x, o-2-; ala - a2a) -+ F( 1 - P\ 02x. o-2-; olx, аг-; alo
02a) = 1. (20)
Соотношения (19), (20) могут быть полезны в качестве проверочных при численном изучении гальваномагнитных свойств неупорядоченных решеток.
Необходимость в
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.