Автоматика и телемеханика, № 6, 2015
© 2015 г. Б.Т. ПОЛЯК, д-р техн. наук (boris@ipu.ru) (Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва; Университет ИТМО, Санкт-Петербург), А.А. ТРЕМБА, канд. физ.-мат. наук (atremba@ipu.ru), М.В. ХЛЕБНИКОВ, д-р физ.-мат. наук (khlebnik@ipu.ru), П.С. ЩЕРБАКОВ, д-р физ.-мат. наук (sherba@ipu.ru) (Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва), Г.В. СМИРНОВ (smirnov@math.uminho.pt) (University of Minho, Braga, Portugal)
БОЛЬШИЕ ОТКЛОНЕНИЯ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ ПРИ НЕНУЛЕВЫХ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ1
Исследования переходных режимов в линейных системах при ненулевых начальных условиях были начаты еще в 1948 г. в пионерской работе А.А. Фельдбаума [1]. Однако затем эта линия исследований не получила должного развития; под переходными процессами в основном понимались реакции системы на единичный скачок при нулевых начальных условиях. Существенным прорывом стала статья Р.Н. Измайлова [2], где показана неизбежность больших отклонений траектории от нуля, если полюса замкнутой системы сильно сдвинуты в левую полуплоскость комплексной плоскости.
В статье продолжено изучение этого явления при ненулевых начальных условиях, оценена более точно величина всплеска и показано, что эффект больших отклонений возникает и при других расположениях полюсов. Оценивается и верхняя граница для отклонений с помощью техники линейных матричных неравенств. Этот же подход предлагается для уменьшения величины отклонений при стабилизации системы с помощью линейной обратной связи. Исследуются родственные задачи анализа переходного режима при нулевых начальных условиях и внешних возмущениях (единичном скачке или гармонических).
1. Введение
Рассмотрим устойчивую линейную систему
(1) x = Ax, x(t) € Rn,
c ненулевым начальным условием. Большой интерес представляет ее переходной процесс, т.е. поведение всей2 траектории x(t). В частности, очень важна величина
£(ж(0))=тахЩ
1 Работа частично поддержана Мегагрантом РФ, проект №14.Z50.31.0031, грантами РФФИ №14-07-00067-а, №14-08-01230-а, а также грантами Португалии FCT, COMPETE, QREN, FEDER, Project VARIANT (PTDC/MAT/111809/2009).
2 Ясно, что lim x(t) = 0 в силу устойчивости системы.
t-У^!
Рис. 1. Характерное поведение функции || eAt||.
(где | ■ | — та или иная векторная норма), т.е. величина максимального отклонения траектории от нуля в переходном режиме. Если эта величина значительна, будем говорить о больших отклонениях, а если отклонения происходят на начальном участке траектории, то об эффекте всплеска. Разумеется, такие характеристики переходного процесса относятся к числу важнейших и имеющих непосредственный инженерный смысл.
Заметим, что ненулевые начальные условия естественным образом возникают в самых разных ситуациях, например, в задачах стабилизации и управления при помощи наблюдателя [3] с неизвестным начальным состоянием, или же в системах с переключениями [4], когда к моменту переключения система приходит в некоторую точку фазового пространства. В разделе 5 покажем, что явление всплеска/отклонений очень близко по своей природе к хорошо изученному явлению перерегулирования в системах с нулевыми начальными условиями, на вход которых подается единичное возмущение.
Отметим еще, что эффект отклонений решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений при ненулевых начальных условиях хорошо известен не только в теории управления, но и в вычислительной математике. Поскольку решение системы (1) имеет вид
х(г) = вмх(0),
А . |x(t)| II At и
f = max max -——- = max e t>0 |x(0)| = 1 |x(0)| t^o
(где || ■ || — соответствующая подчиненная матричная норма), так что величина отклонений непосредственно связана с оценкой матричной экспоненты.
В знаменитой статье [5] (и ее продолжении [6]) о способах вычисления матричной экспоненты отмечается как общеизвестный факт наличие у кривой || eAt|| максимума, часто весьма значительного (в этих работах он называется hump, т.е. горб); см. рис. 1, заимствованный из [6].
В [6] также приведен ряд рисунков с примерами очень больших отклонений в реальных задачах стабилизации систем управления (так, в 55-мерной задаче стабилизации самолета Boeing 767 величина || eAt|| достигает 105, см. рис. 2. Однако оценке величины "горба" внимания в этих работах не уделено.
0 10 20 30 40 50 60
t
Рис. 2. График матричной экспоненты в задаче стабилизации самолета Boeing 767.
Ряд примеров и результатов о больших отклонениях получен в [7—11]. В частности, в [11] показано, что для матрицы п-го порядка
B =
/-1 -2 •• ■ ... —2\
0 -1 '•
• -1 -2
\0 ..... . 0 -1
справедлива оценка
е Иго
-> оо Vi > 0.
В данной статье обобщаются исследования больших отклонений и всплесков в линейных системах. Статья организована следующим образом. В разделе 2 обсуждаются два принципиальных результата — теоремы Фельдбаума (1948) и Измайлова (1987) о связи расположения собственных значений матрицы системы с характеристиками переходного режима. В разделе 3.1 получены точные оценки для решения уравнения (1) с матрицей во фробениусовой (иначе, сопровождающей) форме, т.е. вида
(2)
A =
0 0
\—ао -а\ -й2
0 0
—ага-1/
при равных вещественных собственных значениях матрицы А и различных начальных условиях. Случай фробениусовой формы допускает достаточно полное исследование, поэтому ему уделено специальное внимание. На его основе удается получить нижние оценки и для систем общего вида (см. раздел 3.5).
Остальная часть раздела 3 посвящена нижним оценкам всплеска при различном расположении собственных значений матрицы системы. В частности, в разделе 3.2 уточняются оценки, полученные в разделе 2; аналогичный результат устанавливается для малых собственных значений в разделе 3.3; эта
тематика завершается в разделе 3.4, где обсуждается общая проблема поведения решений при произвольном расположении собственных значений; вопрос заключается в оценке возможного минимума отклонений как функции порядка системы. В разделе 3.5 полученные результаты распространяются на случай произвольных линейных систем, однако нижние оценки при этом могут оказаться достаточно консервативными.
Вторая часть работы — раздел 4 — обсуждает проблему верхних оценок отклонений. В частности, предлагается метод синтеза систем, гарантирующий по возможности малые величины отклонений; этот подход основан на технике линейных матричных неравенств [12, 13]. Там же дается верхняя оценка величины всплеска. Работы в этом направлении ведутся давно, см. [14-17], и кажется естественным обсудить параллельно проблемы нижних и верхних оценок.
В разделе 5 обсуждаются близкие по своей природе явления отклонений в возмущенных системах с нулевыми начальными условиями и их связь с эффектами, рассматриваемыми в предыдущих разделах. Наконец, открытым проблемам посвящен заключительный раздел 6.
2. Теоремы Фельдбаума и Измайлова
Зависимость эффекта всплеска от спектра матрицы A (и других ее характеристик) интересовала специалистов по теории управления с самого начала становления этой научной дисциплины. Одной из первых работ в этом направлении явилась статья А.А. Фельдбаума [1] 1948 г. В ней рассматривались одномерные системы, которые можно трактовать как системы (1) с матрицей вида (2).
Характеристический полином матрицы (2) имеет вид (3) p(s) = sn + a,n-isn-1 + ••• + oq.
Пусть Ai,...,An — корни полинома p(s) (т.е. собственные значения матрицы A), а через xi(t), i = 1 ,...,n, будем обозначать i-ю компоненту решения x(t) системы (1).
А.А. Фельдбаум получил ряд результатов о связи расположения корней с характеристиками переходного режима. В частности, установлен следующий результат.
Утверждение 1 (теорема Фельдбаума). Пусть все корни полинома p(s) вещественны (кроме, может быть, одной комплексной пары) и их вещественные части отрицательны:
Re Ai ^ —а < 0, i = 1,..., n. Пусть начальное условие имеет вид
x(0) = (1 0 ••• 0)Т. Тогда для первой компоненты решения системы (1), (2) справедлива оценка
xi(t) ^ y(t), 0 < t< то,
где — 'решение дифференциального уравнения
в
(.8 + а)пуЦ)=0, 8 = -,
с начальным условием
у(0) = 1, у'(0) = ••• = у(п-1)(0) = 0;
иными словами
т2 тп-1
y(t) = v(ta), где v(t) = 1 + т + — Н-----Ь
2 (n - 1)!
Отметим, что y(t) - монотонно убывающая функция, так что для первой компоненты решения xi(t) и заданных начальных условиях эффекта всплеска не наблюдается. Оказывается, однако, что для последней компоненты решения и больших n, а всплеск очень велик.3 Более того, если рассматривать и другие начальные условия, и комплексные собственные значения, большие отклонения неизбежны и для первой компоненты.
Вопрос о существовании больших отклонений был поставлен в конце 1970-х гг. В.Н. Полоцким в ряде работ; см., например, [18, 19]. Достаточно полный ответ на этот вопрос был получен Р.Н. Измайловым в [2] в 1987 г.; приведем соответствующий результат.
Утверждение 2 (теорема Измайлова). Для системы (1), (2) при условии
Re Aj ^ —а < 0, i = 1,..., n,
справедлива оценка
(4) max max |x(t) | ^ cnan-1,
Osiisii No)| = i
о
где cn — положительная функция, зависящая только от размерности системы n, а | ■ | — некоторая норма в Rn.
Ясно, что при больших n и а > 1 из оценки (4) следует неизбежность больших отклонений. Более того, из утверждения 2 следует важный вывод об эффекте всплеска для задач стабилизации c произвольными матрицами, см. [2]. Наконец, заметим что оценка величины cn неявно выписана в [2].
Утверждение 3. Рассмотрим n-мерную систему со скалярным управлением
X = Ax + bu.
Для любой стабилизирующей обратной связи u = kTx такой, что собственные значения замкнутой системы удовлетворяют условию
ReAi(A + bkT) < — а < 0, i = 1,...,n,
найдется константа C = C(A,b) > 0, не зависящая от k и такая, что
max max |x(t)| ^ Can-1.
Ositsii N0)1 = 1 1
3 Как будет показано ниже, этот результат можно извлечь из утверждения 1.
Таким образом, "сдвиг" всех полюсов влево (что способствует более быстрой асимптотической скорости затухания процесса) приводит к неизбежной плате за это — к большим отклонениям траектории на начальном участке.
Эти важные результаты Измайлова б
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.